Հոդվածներ

2.1E վարժություններ բաժնի 2.1 - Մաթեմատիկա


2.1. Հաշվարկի նախադիտում

1 - 3, միավորների վարժությունների համար (P (1,2) ) և (Q (x, y) ) գտնվում են ֆունկցիայի գծապատկերի վրա (f (x) = x ^ 2 + 1 ).

1) [T] Լրացրե՛ք հետևյալ աղյուսակը համապատասխան արժեքներով. (Y ) - (Q ) - ի կոորդինատ, կետի (Q (x, y) ) և անցողիկ գծի թեքության միջի կետերը (P ) և (Q ): Ձեր պատասխանը կլորացրու ութ նշանակալի թվանշանի վրա:

(x ) (y ) (Q (x, y) ) (m_ {sec} )
1.1աե.ես
1.01բզ.ժ
1.001գէ.կ
1.0001դժլ
Պատասխանել
ա 2.2100000
բ 2.0201000
գ 2.0020010 թ
դ 2.0002000
ե. (1.1000000, 2.2100000)
զ. (1.0100000, 2.0201000)
է. (1.0010000, 2.0020010)
ժ (1.0001000, 2.0002000)
ես 2.1000000
ժ 2.0100000
կ 2.0010000
լ 2.0001000

2) Օգտագործեք նախորդ վարժության աղյուսակի աջ սյունակի արժեքները գուշակելու համար գծի թեքության արժեքը (f ) - ին (x = 1 ):

3) Օգտագործեք նախորդ զորավարժության արժեքը ՝ (P ) կետում գտնելու շոշափելի գծի հավասարումը: Գրաֆիկը (f (x) ) և շոշափող գիծը:

Պատասխանել
(y = 2x )

4-6 վարժությունների համար (P (1,1) ) և (Q (x, y) ) կետերը գտնվում են գործառույթի գծապատկերի վրա (f (x) = x ^ 3 ):

4) [T] Լրացրե՛ք հետևյալ աղյուսակը համապատասխան արժեքներով. (Y ) - (Q ) կոորդինատ, կետի (Q (x, y) ) և անցողիկ գծի թեքության միջով կետերը (P ) և (Q ): Ձեր պատասխանը կլորացրու ութ նշանակալի թվանշանի վրա:

(x ) (y ) (Q (x, y) ) (m_ {sec} )
1.1աե.ես
1.01բզ.ժ
1.001գէ.կ
1.0001դժլ .2

5) Օգտագործեք նախորդ վարժության աղյուսակի աջ սյունակի արժեքները գուշակելու համար շոշափող գծի թեքության արժեքը (f ) - ի վրա (x = 1 ):

Պատասխանել
(3)

6) Օգտագործեք նախորդ զորավարժության արժեքը ` (P ) կետում գտնելու շոշափելի գծի հավասարումը: Գրաֆիկը (f (x) ) և շոշափող գիծը:

7 - 9 վարժությունների համար (P (4,2) ) և (Q (x, y) ) կետերը գտնվում են գործառույթի գծապատկերի վրա (f (x) = sqrt {x} ) ,

7) [T] Լրացրե՛ք հետևյալ աղյուսակը համապատասխան արժեքներով. (Y ) - (Q ) - ի կոորդինատ, կետի (Q (x, y) ) և անցողիկ գծի թեքության միջի կետերը (P ) և (Q ): Ձեր պատասխանը կլորացրու ութ նշանակալի թվանշանի վրա:

(x ) (y ) (Q (x, y) ) (m_ {sec} )
4.1աե.ես
4.01բզ.ժ
4.001գէ.կ
4.0001դժլ
Պատասխանել
ա 2.024845
բ 2.0024984
գ 2.0002500
դ 2.0000250
ե. (4.1000000,2.0248457)
զ. (4.0100000,2.0024984)
է. (4.0010000,2.0002500)
ժ (4.00010000,2.0000250)
ես 0.24845673
ժ 0.24984395
կ 0.24998438
լ 0.24999844

8) Օգտագործեք նախորդ վարժության աղյուսակի աջ սյունակի արժեքները գուշակելու համար շոշափող գծի թեքության արժեքը (f ) - ից (x = 4 ):

9) Նախորդ վարժությունում օգտագործիր արժեքը ` (P ) կետում գտնելու շոշափելի գծի հավասարումը:

Պատասխանել
(y = frac {x} {4} +1 )

10-12 վարժությունների համար (P (1.5,0) ) և (Q (ϕ, y) ) կետերը գտնվում են գործառույթի գրաֆիկի վրա (f (ϕ) = cos (πϕ) ):

10) [T] Լրացրե՛ք հետևյալ աղյուսակը համապատասխան արժեքներով. (Y ) - (Q ) - ի կոորդինատ, կետի (Q (), y) ) և անցողիկ գծի թեքության լանջ: կետերը (P ) և (Q ): Ձեր պատասխանը կլորացրու ութ նշանակալի թվանշանի վրա:

(x ) (y ) (Q (ϕ, y) ) (m_ {sec} )
1.4աե.ես
1.49բզ.ժ
1.499գէ.կ
1.4999դժլ

11) Օգտագործեք նախորդ վարժության աղյուսակի աջ սյունակում տրված արժեքները գուշակելու համար շոշափող գծի թեքության արժեքը f- ին (ϕ = 1,5 ):

Պատասխանել
(π )

12) Նախորդ վարժությունում օգտագործիր արժեքը ՝ (P ) կետում գտնելու շոշափելի գծի հավասարումը:

13 - 15 վարժությունների համար (P ((1, −1) ) և (Q (x, y) ) կետերը գտնվում են գործառույթի գծապատկերի վրա (f (x) = frac {1} { x} ):

13) [T] Լրացրե՛ք հետևյալ աղյուսակը համապատասխան արժեքներով. (Y ) - (Q ) - ի կոորդինատ, կետի (Q (x, y) ) և անցողիկ գծի թեքության միջի կետերը (P ) և (Q ): Ձեր պատասխանը կլորացրու ութ նշանակալի թվանշանի վրա:

(x ) (y ) (Q (x, y) ) (m_ {sec} )
-1.05աե.ես
-1.01բզ.ժ
-1.005գէ.կ
-1.001դժլ
Պատասխանել
ա .0.95238095
բ .0.99009901
գ .0.99502488
դ .0,99900100
ե. (−1; .0500000, −0; .95238095)
զ. (−1; .0100000, −0; .9909901)
է. (−1; .0050000, −0; .99502488)
ժ (1.0010000, −0; .99900100)
ես .0.95238095
ժ .0.99009901
կ .0.99502488
լ .0,99900100

14) Օգտագործեք նախորդ վարժության աղյուսակի աջ սյունակի արժեքները գուշակելու համար գծի թեքության արժեքը (f ) - ին (x = −1 ):

15) Նախորդ վարժությունում օգտագործիր արժեքը ` (P ) կետում գտնելու շոշափելի գծի հավասարումը:

Պատասխանել
(y = −x − 2 )

16 - 17 վարժությունների համար 200 մետր բարձրությամբ շենքի գագաթից ցած ընկած գնդակի դիրքի գործառույթը տրվում է (s (t) = 200−4.9t ^ 2 ) - ով, որտեղ դիրքը (s) է չափվում է մետրերով և ժամանակը (t ) չափվում է վայրկյաններով: Ձեր պատասխանը կլորացրու ութ նշանակալի թվանշանի վրա:

16) [T] Հաշվարկել գնդակի միջին արագությունը տրված ժամանակային ընդմիջումներով:

ա [4.99,5]

բ [5,5.01]

գ [4.999,5]

դ [5,5.001]

17) Օգտագործեք նախորդ վարժությունը գնդակի ակնթարթային արագությունը գուշակելու համար (t = 5 ) վրկ:

Պատասխանել
(- 49 ) մ / վ (գնդակի արագությունը 49 մ / վ վայր է դեպի ներքև)

18 - 19 վարժությունների համար հաշվի առեք հողի մակարդակից օդ նետված քարը 15 մ / վ սկզբնական արագությամբ: Դրա բարձրությունը մետրով t վայրկյանում կազմում է (h (t) = 15t − 4.9t ^ 2 ):

18) [T] Հաշվարկել քարի միջին արագությունը տրված ժամանակային ընդմիջումներով:

ա [1,1.05]

բ [1,1.01]

գ [1,1.005]

դ [1,1.001]

19) Օգտագործեք նախորդ վարժությունը ՝ քարի ակնթարթային արագությունը գուշակելու համար (t = 1 ) վրկ:

Պատասխանել
(5.2 ) մ / վրկ

20 - 21 վարժությունների համար հաշվի առեք այն հրթիռը, որը կրակում է օդ, որն այնուհետև վերադառնում է Երկիր: Հրթիռի բարձրությունը մետրերով տրվում է (h (t) = 600 + 78.4t − 4.9t ^ 2 ), որտեղ (t ) չափվում է վայրկյաններով:

20) [T] Հաշվարկել հրթիռի միջին արագությունը տրված ժամանակային ընդմիջումներով:

ա [9,9.01]

բ [8.99,9]

գ [9,9.001]

դ [8.999,9]

21) Օգտագործեք նախորդ վարժությունը ՝ հրթիռի ակնթարթային արագությունը գուշակելու համար (t = 9 ) վրկ:

Պատասխանել
(- 9,8 ) մ / վրկ

Վարժությունների համար հաշվի առեք մի մարզիկ, որը վազում է 40 մ երկարություն: Մարզիկի դիրքը տալիս է (d (t) = frac {t ^ 3} {6} + 4t ), որտեղ (d ) դիրքն է մետրերով, իսկ (t ) ՝ ժամանակը: անցավ, վայրկյաններով չափված:

22) [T] Հաշվարկել վազողի միջին արագությունը տրված ժամանակային ընդմիջումներով:

ա [1.95,2.05]

բ [1.995,2.005]

գ [1.9995,2.0005]

դ [2,2.00001]

23) Օգտագործեք նախորդ վարժությունը ՝ վազորդի ակնթարթային արագությունը գուշակելու համար (t = 2 ) վրկ:

Պատասխանել
(6 ) մ / վրկ

24 - 25 վարժությունների համար հաշվի առեք գործառույթը (f (x) = | x | ):

24) [((= 1,2 )] միջակայքում ուրվագծիր (f ) գրաֆիկը և ստվերում դիրքը (x ) - առանցքի վերևում:

25) Օգտագործեք նախորդ վարժությունը ՝ (x ) - առանցքի և (f ) - ի գրաֆիկի միջև ընկած հատվածի ճշգրիտ արժեքը գտնելու համար [ (- 1,2 )] միջակայքում ՝ օգտագործելով ուղղանկյուններ: Ուղղանկյունների համար օգտագործեք քառակուսի միավորները և մոտավոր գծերի վերևից և ներքևից: Օգտագործեք երկրաչափություն ՝ ճշգրիտ պատասխանը գտնելու համար:

Պատասխանել
Տակ, 1 (միավոր ^ 2 ); ավելի քան ՝ 4 (միավոր ^ 2 ):
Երկու եռանկյունիների ճշգրիտ մակերեսը ( frac {1} {2} (1) (1) + frac {1} {2} (2) (2) = 2,5 միավոր ^ 2 ):

26 - 27 վարժությունների համար հաշվի առեք գործառույթը (f (x) = sqrt {1 − x ^ 2} ): (Ակնարկ. Սա 1 շառավղի շրջանի վերին կեսն է, որը տեղադրված է ( (0,0 )) կետում:)

26) f- ի գծապատկերը ուրվագծեք [ (- 1,1 )] միջակայքի վրա:

27) Օգտագործեք նախորդ վարժությունը ` (x ) - առանցքի և (f ) գծապատկերի միջև ճշգրիտ տարածություն գտնելու համար [ (- 1,1 )] միջանկյալ ուղղանկյունների միջոցով: Ուղղանկյունների համար օգտագործեք քառակուսիներ 0.4 0.4 միավորով և մոտավորեք ինչպես գծերից վեր, այնպես էլ ներքևում: Օգտագործեք երկրաչափություն ՝ ճշգրիտ պատասխանը գտնելու համար:

Պատասխանել
Տակ, (0.96 ; text {units} ^ 2 ); ավարտված, (1.92 ; տեքստ {միավորներ} ^ 2 )):
1 շառավղով կիսաշրջանի ճշգրիտ մակերեսը ( frac {π (1) ^ 2} {2} = frac {π} {2} ; տեքստ {միավորներ} ^ 2 )

28 - 29 վարժությունների համար հաշվի առեք գործառույթը (f (x) = - x ^ 2 + 1 ):

28) ուրվագծեք (f ) գծապատկերը [ (- 1,1 )] միջակայքում:

29) Մոտավոր գնահատել տարածաշրջանի տարածքը (x ) - առանցքի և (f ) գծապատկերի միջև [ (- 1,1 )] միջակայքում:

Պատասխանել
Մոտավորապես (1.3333333 ; text {units} ^ 2 )

2.2. Ֆունկցիայի սահմանը

Սահմանների ինտուիտիվ սահմանում

1 - 2 վարժությունների համար հաշվի առեք գործառույթը (f (x) = dfrac {x ^ 2−1} {| x − 1 |} ):

1) [T] Գործառույթի համար լրացրեք հետևյալ աղյուսակը: Կլորացրեք ձեր լուծումները չորս տասնորդական դրվագների վրա:

(x ) (զ (x) ) (x ) (զ (x) )
0.9ա1.1ե.
0.99բ1.01զ.
0.999գ1.001է.
0.9999դ1.0001ժ

2) Ի՞նչ են ցույց տալիս նախորդ վարժությունում ձեր արդյունքները երկկողմանի սահմանի մասին ( displaystyle lim_ {x → 1} f (x) ): Բացատրեք ձեր պատասխանը:

Պատասխանել

( displaystyle lim_ {x to 1} f (x) ) գոյություն չունի, քանի որ ( displaystyle lim_ {x to 1 ^ -} f (x) = - 2 ≠ lim_ {x to 1 ^ +} զ (x) = 2 ):

3 - 5 վարժությունների համար հաշվի առեք գործառույթը (f (x) = (1 + x) ^ {1 / x} ):

3) [T] Կազմեք աղյուսակ, որը ցույց կտա (f ) - ի արժեքները (x = −0.01, ; - 0.001, ; - 0.0001, ; - 0.00001 ) և (x = 0.01, ) արժեքների համար: ; 0.001, ; 0.0001, ; 0.00001 ): Կլորացրե՛ք ձեր լուծումները հինգ տասնորդական կետով:

(x ) (զ (x) ) (x ) (զ (x) )
-0.01ա0.01ե.
-0.001բ0.001զ.
-0.0001գ0.0001է.
-0.00001դ0.00001ժ

4) Ի՞նչ է ցույց տալիս նախորդ վարժության արժեքների աղյուսակը գործառույթի մասին (f (x) = (1 + x) ^ {1 / x} ) գործառույթի մասին:

Պատասխանել
( displaystyle lim_ {x դեպի 0} (1 + x) ^ {1 / x} մոտ 2.7183 ):

5) Ո՞ր մաթեմատիկական հաստատուն են թվում, որ նախորդ վարժության արժեքները մոտենում են: Սա այստեղ իրական սահմանն է:

6 - 8 վարժություններում օգտագործեք տրված արժեքները սահմանելու համար աղյուսակ կազմելու համար: Կլորացրե՛ք ձեր լուծումները ութ տասնորդական կետով:

6) [T] ( displaystyle lim_ {x to 0} frac { sin 2x} {x}; quad ± 0,1, ; ± 0,01, ; ± 0,001, ; ± .0001 )

(x ) ( frac { sin 2x} {x} ) (x ) ( frac { sin 2x} {x} )
-0.1ա0.1ե.
-0.01բ0.01զ.
-0.001գ0.001է.
-0.0001դ0.0001ժ
Պատասխանել
ա 1.98669331; բ 1.99986667; գ 1.99999867; դ 1.99999999; ե. 1.98669331; զ. 1.99986667; է. 1.99999867; ժ 1.99999999;
( displaystyle lim_ {x to 0} frac { sin 2x} {x} = 2 )

7) [T] ( displaystyle lim_ {x to 0} frac { sin 3x} {x} ± 0,1, ; ± 0,01, ; ± 0,001, ; ± 0,0001 )

(x ) ( frac { sin 3x} {x} ) (x ) ( frac { sin 3x} {x} )
-0.1ա0.1ե.
-0.01բ0.01զ.
-0.001գ0.001է.
-0.0001դ0.0001ժ

8) Օգտագործեք նախորդ երկու վարժությունները ՝ գուշակելու (գուշակելու) հետևյալ սահմանի արժեքը. (A ) - ի համար ( displaystyle lim_ {x to 0} frac { sin ax} {x} ), դրական իրական արժեք:

Պատասխանել
( displaystyle lim_ {x to 0} frac { sin ax} {x} = a )

[T] 9 - 14 վարժություններում կազմեք արժեքների աղյուսակ ՝ նշված սահմանը գտնելու համար: Կլոր ութ նիշ:

9) ( displaystyle lim_ {x to 2} frac {x ^ 2−4} {x ^ 2 + x − 6} )

(x ) ( frac {x ^ 2−4} {x ^ 2 + x − 6} ) (x ) ( frac {x ^ 2−4} {x ^ 2 + x − 6} )
1.9ա2.1ե.
1.99բ2.01զ.
1.999գ2.001է.
1.9999դ2.0001ժ

10) ( displaystyle lim_ {x to 1} (1−2x) )

(x ) (1−2x ) (x ) (1−2x )
0.9ա1.1ե.
0.99բ1.01զ.
0.999գ1.001է.
0.9999դ1.0001ժ
Պատասխանել
ա 0.80000000 բ .0.98000000; գ .0,99800000; դ .0,99980000; ե. .2001.2000000; զ. .01.0200000; է. .001.0020000; ժ .00010002000;
( displaystyle lim_ {x to 1} (1−2x) = - 1 )

11) ( displaystyle lim_ {x to 0} frac {5} {1 − e ^ {1 / x}} )

(x ) ( frac {5} {1 − e ^ {1 / x}} ) (x ) ( frac {5} {1 − e ^ {1 / x}} )
-0.1ա0.1ե.
-0.01բ0.01զ.
-0.001գ0.001է.
-0.0001դ0.0001ժ

12) ( displaystyle lim_ {z to 0} frac {z − 1} {z ^ 2 (z + 3)} )

(զ ) ( frac {z − 1} {z ^ 2 (z + 3)} ) (զ ) ( frac {z − 1} {z ^ 2 (z + 3)} )
-0.1ա0.1ե.
-0.01բ0.01զ.
-0.001գ0.001է.
-0.0001դ0.0001ժ
Պատասխանել
ա −37.931934; բ 773377.9264; գ 3333,777,93; դ 33,337,778 ֆունտ ստեռլինգ; ե. −29.032258; զ. −3289.0365; է. 32332,889,04 ժ 33,328,889 −
( displaystyle lim_ {x to 0} frac {z − 1} {z ^ 2 (z + 3)}} = - ∞ )

13) ( displaystyle lim_ {t to 0 ^ +} frac { cos t} {t} )

(տ ) ( frac { cos t} {t} )
0.1ա
0.01բ
0.001գ
0.0001դ

14) ( displaystyle lim_ {x to 2} frac {1− frac {2} {x}} {x ^ 2−4} )

(x ) ( frac {1− frac {2} {x}} {x ^ 2−4} ) (x ) ( frac {1− frac {2} {x}} {x ^ 2−4} )
1.9ա2.1ե.
1.99բ2.01զ.
1.999գ2.001է.
1.9999դ2.0001ժ
Պատասխանել
ա 0.13495277; բ 0.12594300; գ 0.12509381; դ 0.12500938; ե. 0.11614402; զ. 0.12406794; է. 0.12490631; ժ 0.12499063;
( displaystyle ∴ lim_ {x to 2} frac {1− frac {2} {x}} {x ^ 2−4} = 0.1250 = frac {1} {8} )

[T] 15 - 16 վարժություններում կազմեք արժեքների աղյուսակ և կլորացրեք ութ նշանակալի թվանշանները: Արժեքների աղյուսակի հիման վրա գուշակիր, թե որն է սահմանը: Դրանից հետո գործառույթը գծագրելու և սահմանը որոշելու համար օգտագործեք հաշվիչ: Գուշակությունը ճի՞շտ էր: Եթե ​​ոչ, ինչու է սեղանների մեթոդը ձախողվում:

15) ( displaystyle lim_ {θ դեպի 0} sin ձախ ( frac {π} {θ} աջ) )

(θ ) ( sin ձախ ( frac {π} {θ} աջ) ) (θ ) ( sin ձախ ( frac {π} {θ} աջ) )
-0.1ա0.1ե.
-0.01բ0.01զ.
-0.001գ0.001է.
-0.0001դ0.0001ժ

16) ( displaystyle lim_ {α to 0 ^ +} frac {1} {α} cos ձախ ( frac {π} {α} աջ) )

(ա ) ( frac {1} {α} cos ձախ ( frac {π} {α} աջ) )
0.1ա
0.01բ
0.001գ
0.0001դ
Պատասխանել

ա 10.00000 − բ .00100.00000; գ 1000.0000 −; դ 10,000,000 −;
Գուշակիր. ( Displaystyle lim_ {α → 0 ^ +} frac {1} {α} cos ձախ ( frac {π} {α} աջ) = ∞ );
Փաստացի ՝ DNE

17 - 20 վարժություններում հաշվի առեք այստեղ ներկայացված (y = f (x) ) ֆունկցիայի գծապատկերը: (Y = f (x) ) - ի վերաբերյալ պնդումներից որո՞նք են ճիշտ, որոնք ՝ կեղծ: Բացատրեք, թե ինչու է հայտարարությունը կեղծ:

17) ( displaystyle lim_ {x → 10} f (x) = 0 )

18) ( displaystyle lim_ {x → −2 ^ +} f (x) = 3 )

Պատասխանել
Կեղծ; ( displaystyle lim_ {x → −2 ^ +} f (x) = + ∞ )

19) ( displaystyle lim_ {x → −8} f (x) = f (−8) )

20) ( displaystyle lim_ {x → 6} f (x) = 5 )

Պատասխանել
Կեղծ; ( displaystyle lim_ {x → 6} f (x) ) DNE, քանի որ ( displaystyle lim_ {x → 6 ^ -} f (x) = 2 ) և ( displaystyle lim_ {x) 6 ^ +} զ (x) = 5 ):

21 - 25 վարժություններում օգտագործեք (y = f (x) ) ֆունկցիայի հետևյալ գրաֆիկը ՝ հնարավորությունները գտնելու համար, արժեքները գտնելու համար: Գնահատեք անհրաժեշտության դեպքում:

21) ( displaystyle lim_ {x → 1 ^ -} f (x) )

22) ( displaystyle lim_ {x → 1 ^ +} f (x) )

Պատասխանել
(2)

23) ( displaystyle lim_ {x → 1} f (x) )

24) ( displaystyle lim_ {x → 2} f (x) )

Պատասխանել
(1)

25) (զ (1) )

26 - 29 վարժություններում օգտագործեք (y = f (x) ) գործառույթի գրաֆիկը ՝ հնարավորությունները գտնելու համար արժեքները գտնելու համար: Գնահատեք անհրաժեշտության դեպքում:

26) ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ -} f (x) )

Պատասխանել
(1)

27) ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} f (x) )

28) ( displaystyle lim_ {x → 0} f (x) )

Պատասխանել
DNE

29) ( displaystyle lim_ {x → 2} f (x) )

30 - 35 վարժություններում օգտագործեք (y = f (x) ) գործառույթի գրաֆիկը ՝ հնարավորությունները գտնելու համար արժեքները գտնելու համար: Գնահատեք անհրաժեշտության դեպքում:

30) ( displaystyle lim_ {x → ^2 ^ -} f (x) )

Պատասխանել
(0)

31) ( displaystyle lim_ {x → −2 ^ +} f (x) )

32) ( displaystyle lim_ {x → −2} f (x) )

Պատասխանել
DNE

33) ( displaystyle lim_ {x → 2 ^ -} f (x) )

34) ( displaystyle lim_ {x → 2 ^ +} f (x) )

Պատասխանել
(2)

35) ( displaystyle lim_ {x → 2} f (x) )

36 - 38 վարժություններում օգտագործեք (y = g (x) ) ֆունկցիայի գծապատկերը ՝ հնարավորությունները գտնելու համար արժեքները գտնելու համար: Գնահատեք անհրաժեշտության դեպքում:

36) ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ -} g (x) )

Պատասխանել
(3)

37) ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} g (x) )

38) ( displaystyle lim_ {x → 0} g (x) )

Պատասխանել
DNE

39 - 41 վարժություններում օգտագործեք (y = h (x) ) գործառույթի գրաֆիկը ՝ հնարավորությունները գտնելու համար արժեքները գտնելու համար: Գնահատեք անհրաժեշտության դեպքում:

39) ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ -} ժ (x) )

40) ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} ժ (x) )

Պատասխանել
(0)

41) ( displaystyle lim_ {x → 0} ժ (x) )

42 - 46 վարժություններում օգտագործեք (y = f (x) ) ֆունկցիայի գծապատկերը ՝ հնարավորությունները գտնելու համար արժեքները գտնելու համար: Գնահատեք անհրաժեշտության դեպքում:

42) ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ -} f (x) )

Պատասխանել
(-2)

43) ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} f (x) )

44) ( displaystyle lim_ {x → 0} f (x) )

Պատասխանել
DNE

45) ( displaystyle lim_ {x → 1} f (x) )

46) ( displaystyle lim_ {x → 2} f (x) )

Պատասխանել
(0)

Անսահման սահմաններ

47 - 51 վարժություններում ուրվագծիր տրված հատկություններով գործառույթի գրաֆիկը:

47) ( displaystyle lim_ {x → 2} f (x) = 1, quad lim_ {x → 4 ^ -} f (x) = 3, quad lim_ {x → 4 ^ +} f (x) = 6, quad x = 4 ) սահմանված չէ:

48) ( displaystyle lim_ {x → −∞} f (x) = 0, quad lim_ {x → −1 ^ -} f (x) = - ∞, quad lim_ {x → −1 ^ +} f (x) = ∞, quad lim_ {x → 0} f (x) = f (0), quad f (0) = 1, quad lim_ {x → ∞} f (x ) = - ∞ )

Պատասխանել

Պատասխանները կարող են տարբեր լինել

49) ( displaystyle lim_ {x → −∞} f (x) = 2, quad lim_ {x → 3 ^ -} f (x) = - ∞, quad lim_ {x → 3 ^ + } f (x) = ∞, quad lim_ {x → ∞} f (x) = 2, quad f (0) = - frac {1} {3} )

50) ( displaystyle lim_ {x → −∞} f (x) = 2, quad lim_ {x → }2} f (x) = - ∞, quad lim_ {x → ∞} f ( x) = 2, quad f (0) = 0 )

Պատասխանել

Պատասխանը կարող է տարբեր լինել

51) ( displaystyle lim_ {x → −∞} f (x) = 0, quad lim_ {x → −1 ^ -} f (x) = ∞, quad lim_ {x → −1 ^ +} f (x) = - ∞, quad f (0) = - 1, quad lim_ {x → 1 ^ -} f (x) = - ∞, quad lim_ {x → 1 ^ +} f (x) = ∞, quad lim_ {x → ∞} f (x) = 0 )

52) Շոկային ալիքները ծագում են բազմաթիվ ֆիզիկական կիրառություններում `սկսած գերնոր աստղերից մինչ պայթեցման ալիքներ: Shownնցման ալիքի խտության գծապատկերը հեռավորության նկատմամբ, (x ), ներկայացված է այստեղ: Մեզ հիմնականում հետաքրքրում է ցնցման ճակատի գտնվելու վայրը, որը գծապատկերում նշված է (X_ {SF} ) պիտակով:

ա Գնահատեք ( displaystyle lim_ {x → X_ {SF} ^ +} ρ (x) ):

բ Գնահատեք ( displaystyle lim_ {x → X_ {SF} ^ -} ρ (x) ):

գ Գնահատեք ( displaystyle lim_ {x → X_ {SF}} ρ (x) ): Բացատրեք ձեր պատասխանների հիմքում ընկած ֆիզիկական իմաստները:

Պատասխանել
ա (ρ_2 ) բ. (ρ_1 ) գ. DNE եթե (ρ_1 = ρ_2 ): Աջից (X_ {SF} ) մոտենալուն պես գտնվում եք հարվածի բարձր խտության տարածքում: Երբ ձախ եք մոտենում, դուք դեռ չեք զգացել «ցնցումը» և գտնվում եք ավելի ցածր խտության մեջ:

53) Վազքուղին օգտագործում է արագ փեղկով տեսախցիկ `ժամանակի նկատմամբ վազողի դիրքը գնահատելու համար: Այստեղ տրված է մարզիկի դիրքի արժեքների աղյուսակը ժամանակի համեմատ, որտեղ (x ) դիրքն է վազքի մետրում, իսկ (t ) - ը վայրկյաններով: Ի՞նչ է ( displaystyle lim_ {t → 2} x (t) ): Ի՞նչ է դա նշանակում ֆիզիկապես:

(տ (վրկ) ) (x (մ) )
1.754.5
1.956.1
1.996.42
2.016.58
2.056.9
2.258.5

2.3. Սահմանային օրենքները

1-4 վարժություններում օգտագործեք սահմանային օրենքները `յուրաքանչյուր սահմանը գնահատելու համար: Հիմնավորեք յուրաքանչյուր քայլ ՝ նշելով համապատասխան սահմանային օրենք (ներ) ը:

1) ( displaystyle lim_ {x → 0} , (4x ^ 2−2x + 3) )

Պատասխանել

Օգտագործեք անընդհատ բազմակի և տարբերության օրենքներ.

( displaystyle lim_ {x → 0} , (4x ^ 2−2x + 3) = 4 lim_ {x → 0} x ^ 2−2 lim_ {x → 0} x + lim_ {x → 0 } 3 = 0 + 0 + 3 = 3 )

2) ( displaystyle lim_ {x → 1} frac {x ^ 3 + 3x ^ 2 + 5} {4−7x} )

3) ( displaystyle lim_ {x → −2} sqrt {x ^ 2−6x + 3} )

Պատասխանել
Օգտագործեք արմատային օրենք. ( Displaystyle lim_ {x → −2} sqrt {x ^ 2−6x + 3} = sqrt { lim_ {x → −2} (x ^ 2−6x + 3)} = sqrt {19} )

4) ( displaystyle lim_ {x → −1} (9x + 1) ^ 2 )

5-10 վարժություններում օգտագործեք ուղղակի փոխարինում `յուրաքանչյուր շարունակական գործառույթի սահմանը գնահատելու համար:

5) ( displaystyle lim_ {x → 7} x ^ 2 )

Պատասխանել
( displaystyle lim_ {x → 7} x ^ 2 ; = ; 49 )

6) ( displaystyle lim_ {x → −2} (4x ^ 2−1) )

7) ( displaystyle lim_ {x → 0} frac {1} {1+ sin x} )

Պատասխանել
( displaystyle lim_ {x → 0} frac {1} {1+ sin x} ; = ; 1 )

8) ( displaystyle lim_ {x → 2} e ^ {2x − x ^ 2} )

9) ( displaystyle lim_ {x → 1} frac {2−7x} {x + 6} )

Պատասխանել
( displaystyle lim_ {x → 1} frac {2−7x} {x + 6} ; = ; - frac {5} {7} )

10) ( displaystyle lim_ {x → 3} ln e ^ {3x} )

11 - 20 վարժություններում օգտագործեք ուղղակի փոխարինում ՝ ցույց տալու համար, որ յուրաքանչյուր սահման տանում է դեպի անորոշ ձև (0/0): Դրանից հետո վերլուծեք գնահատված սահմանը:

11) ( displaystyle lim_ {x → 4} frac {x ^ 2−16} {x − 4} )

Պատասխանել
( displaystyle lim_ {x → 4} frac {x ^ 2−16} {x − 4} = frac {16−16} {4−4} = frac {0} {0}; )
ապա, ( displaystyle lim_ {x → 4} frac {x ^ 2−16} {x − 4} = lim_ {x → 4} frac {(x + 4) (x − 4)} { x − 4} = lim_ {x → 4} (x + 4) = 4 + 4 = 8 )

12) ( displaystyle lim_ {x → 2} frac {x − 2} {x ^ 2−2x} )

13) ( displaystyle lim_ {x → 6} frac {3x − 18} {2x − 12} )

Պատասխանել
( displaystyle lim_ {x → 6} frac {3x − 18} {2x − 12} = frac {18−18} {12−12} = frac {0} {0}; )
ապա, ( displaystyle lim_ {x → 6} frac {3x − 18} {2x− 12} = lim_ {x → 6} frac {3 (x − 6)} {2 (x − 6) } = lim_ {x → 6} frac {3} {2} = frac {3} {2} )

14) ( displaystyle lim_ {h → 0} frac {(1 + h) ^ 2−1} {h} )

15) ( displaystyle lim_ {t → 9} frac {t − 9} { sqrt {t} 3} )

Պատասխանել
( displaystyle lim_ {x → 9} frac {t − 9} { sqrt {t} 3} = frac {9−9} {3−3} = frac {0} {0}; )
ապա, ( displaystyle lim_ {t → 9} frac {t − 9} { sqrt {t} 3} = lim_ {t → 9} frac {t − 9} { sqrt {t} 3} frac { sqrt {t} +3} { sqrt {t} +3} = lim_ {t → 9} frac {(t − 9) ( sqrt {t} +3)} { t - 9} = lim_ {t → 9} ( sqrt {t} +3) = sqrt {9} + 3 = 6 )

16) ( displaystyle lim_ {h → 0} frac { dfrac {1} {a + h} - dfrac {1} {a}} {h} ), որտեղ (a ) a իրական արժեքով հաստատուն

17) ( displaystyle lim_ {θ → π} frac { sin θ} { tan θ} )

Պատասխանել
( displaystyle lim_ {θ → π} frac { sin θ} { tan θ} = frac { sin π} { tan π} = frac {0} {0}; )
ապա, ( displaystyle lim_ {θ → π} frac { sin θ} { tan θ} = lim_ {θ → π} frac { sin θ} { frac { sin θ} { cos θ}} = lim_ {θ → π} cos θ = cos π = −1 )

18) ( displaystyle lim_ {x → 1} frac {x ^ 3−1} {x ^ 2−1} )

19) ( displaystyle lim_ {x → 1/2} frac {2x ^ 2 + 3x − 2} {2x − 1} )

Պատասխանել
( displaystyle lim_ {x → 1/2} frac {2x ^ 2 + 3x − 2} {2x − 1} = frac { frac {1} {2} + frac {3} {2} −2} {1−1} = frac {0} {0}; )
ապա, ( displaystyle lim_ {x → 1/2} frac {2x ^ 2 + 3x − 2} {2x − 1} = lim_ {x → 1/2} frac {(2x 1) ( x + 2)} {2x − 1} = lim_ {x → 1/2} (x + 2) = frac {1} {2} + 2 = frac {5} {2} )

20) ( displaystyle lim_ {x → −3} frac { sqrt {x + 4} −1} {x + 3} )

21 - 24 վարժություններում օգտագործեք ուղղակի փոխարինում ՝ չսահմանված արտահայտություն ստանալու համար: Դրանից հետո գործառույթը պարզեցնելու և սահմանը որոշելու համար օգտագործեք սույն բաժնի 9-րդ օրինակում օգտագործված մեթոդը:

21) ( displaystyle lim_ {x → −2 ^ -} frac {2x ^ 2 + 7x − 4} {x ^ 2 + x − 2} )

Պատասխանել
(−∞)

22) ( displaystyle lim_ {x → −2 ^ +} frac {2x ^ 2 + 7x − 4} {x ^ 2 + x − 2} )

23) ( displaystyle lim_ {x → 1 ^ -} frac {2x ^ 2 + 7x − 4} {x ^ 2 + x − 2} )

Պատասխանել
(−∞)

24) ( displaystyle lim_ {x → 1 ^ +} frac {2x ^ 2 + 7x − 4} {x ^ 2 + x − 2} )

25 - 32 վարժություններում ենթադրեք, որ ( displaystyle lim_ {x → 6} f (x) = 4, quad lim_ {x → 6} g (x) = 9 ), և ( displaystyle lim_ {x → 6} ժ (x) = 6 ), Յուրաքանչյուր սահմանը գնահատելու համար օգտագործեք այս երեք փաստերը և սահմանային օրենքները:

25) ( displaystyle lim_ {x → 6} 2f (x) g (x) )

Պատասխանել
( displaystyle lim_ {x → 6} 2f (x) g (x) = 2 ձախ ( lim_ {x → 6} f (x) աջ) ձախ ( lim_ {x → 6} գ ( x) աջ) = 2 (4) (9) = 72 )

26) ( displaystyle lim_ {x → 6} frac {g (x) −1} {f (x)} )

27) ( displaystyle lim_ {x → 6} ձախ (f (x) + frac {1} {3} g (x) աջ) )

Պատասխանել
( displaystyle lim_ {x → 6} ձախ (f (x) + frac {1} {3} g (x) աջ) = lim_ {x → 6} f (x) + frac { 1} {3} lim_ {x → 6} g (x) = 4 + frac {1} {3} (9) = 7 )

28) ( displaystyle lim_ {x → 6} frac { big (h (x) big) ^ 3} {2} )

29) ( displaystyle lim_ {x → 6} sqrt {g (x) −f (x)} )

Պատասխանել
( displaystyle lim_ {x → 6} sqrt {g (x) −f (x)} = sqrt { lim_ {x → 6} g (x) - lim_ {x → 6} f (x )} = sqrt {9-4} = sqrt {5} )

30) ( displaystyle lim_ {x → 6} x⋅h (x) )

31) ( displaystyle lim_ {x → 6} [(x + 1) ⋅f (x)] ]

Պատասխանել
( displaystyle lim_ {x → 6} [(x + 1) f (x)] = ձախ ( lim_ {x → 6} (x + 1) աջ) ձախ ( lim_ {x → 6 } f (x) աջ) = 7 (4) = 28 )

32) ( displaystyle lim_ {x → 6} (f (x) ⋅g (x) −h (x)) )

[T] 33 - 35 վարժություններում օգտագործեք հաշվիչ ՝ գծելով յուրաքանչյուր մասի համար սահմանված գործառույթի գծապատկերը և ուսումնասիրեք գծապատկերը ՝ տրված սահմանները գնահատելու համար:

33) (f (x) = սկիզբ {դեպքեր} x ^ 2, & x≤3 x + 4, & x> 3 ավարտ {դեպքեր} )

ա ( displaystyle lim_ {x → 3 ^ -} f (x) )

բ ( displaystyle lim_ {x → 3 ^ +} f (x) )

Պատասխանել

ա (9 ); բ. (7 )

34) (g (x) = սկիզբ {դեպքեր} x ^ 3−1, & x≤0 1, & x> 0 վերջ {դեպքեր} )

ա ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ -} g (x) )

բ ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} g (x) )

35) (h (x) = սկիզբ {դեպքեր} x ^ 2−2x + 1, & x <2 3 − x, & x≥2 ավարտ {դեպքեր} )

ա ( ցուցադրման ոճ lim_ {x → 2 ^ -} ժ (x) )

բ ( ցուցադրման ոճ lim_ {x → 2 ^ +} ժ (x) )

36 - 43 վարժություններում օգտագործեք հետևյալ գծապատկերները և սահմանային օրենքները ՝ յուրաքանչյուր սահմանը գնահատելու համար:

36) ( displaystyle lim_ {x → −3 ^ +} (f (x) + g (x)) )

37) ( displaystyle lim_ {x → −3 ^ -} (f (x) −3g (x)) )

Պատասխանել
( displaystyle lim_ {x → −3 ^ -} (f (x) −3g (x)) = lim_ {x → ^3 ^ -} f (x) −3 lim_ {x → −3 ^ -} g (x) = 0 + 6 = 6 )

38) ( displaystyle lim_ {x → 0} frac {f (x) g (x)} {3} )

39) ( displaystyle lim_ {x → −5} frac {2 + g (x)} {f (x)} )

Պատասխանել
( displaystyle lim_ {x → −5} frac {2 + g (x)} {f (x)} = frac {2+ ձախ ( displaystyle lim_ {x → −5} g (x ) աջ)} { ցուցադրման ոճ lim_ {x → −5} f (x)} = frac {2 + 0} {2} = 1 )

40) ( displaystyle lim_ {x → 1} (f (x)) ^ 2 )

41) ( displaystyle lim_ {x → 1} sqrt {f (x) −g (x)} )

Պատասխանել
( displaystyle lim_ {x → 1} sqrt [3] {f (x) −g (x)} = sqrt [3] { lim_ {x → 1} f (x) - lim_ {x → 1} գ (x)} = sqrt [3] {2 + 5} = sqrt [3] {7} )

42) ( displaystyle lim_ {x → −7} (x⋅g (x)) )

43) ( displaystyle lim_ {x → −9} [x⋅f (x) + 2⋅g (x)] )

Պատասխանել
( displaystyle lim_ {x → −9} (xf (x) + 2g (x)) = ձախ ( lim_ {x → −9} x աջ) ձախ ( lim_ {x → −9} f (x) աջ) +2 lim_ {x → −9} g (x) = (- 9) (6) +2 (4) = - 46 )

44 - 46 վարժությունների համար գնահատեք սահմանը ՝ օգտագործելով ճզմման թեորեմը: Գործառույթները գծագրելու համար օգտագործեք հաշվիչ (f (x), ; g (x) ), և (h (x) ) երբ հնարավոր է:

44) [T] ueի՞շտ է, թե՞ կեղծ: Եթե ​​ (2x − 1≤g (x) ≤x ^ 2−2x + 3 ), ապա ( displaystyle lim_ {x → 2} g (x) = 0 ):

45) [T] ( displaystyle lim_ {θ → 0} θ ^ 2 cos ձախ ( frac {1} {θ} աջ) )

Պատասխանել

Սահմանը զրո է:

46) ( displaystyle lim_ {x → 0} f (x) ), որտեղ (f (x) = սկիզբ {դեպքեր} 0, & x տեքստ {ռացիոնալ} x ^ 2, & x տեքստ {անխոհեմ} վերջ {դեպքեր} )

47) [T] Ֆիզիկայում, վակուումում հեռավորության վրա (r ) հեռավորության վրա կետային լիցքի արդյունքում առաջացող էլեկտրական դաշտի մեծությունը կարգավորվում է Կուլոնի օրենքով. (E (r) = dfrac {q} {4πε_0r ^ 2} ), որտեղ (E ) ներկայացնում է էլեկտրական դաշտի մեծությունը, (q ) մասնիկի լիցքն է, (r ) մասնիկի միջև հեռավորությունն է և որտեղ դաշտի ուժն է չափված է, և ( dfrac {1} {4πε_0} ) Կուլոնի հաստատունն է. (8.988 × 109N⋅m ^ 2 / C ^ 2 ):

ա Օգտագործեք գրաֆիկական հաշվիչ (E (r) ) գծապատկերի համար ՝ հաշվի առնելով, որ մասնիկի լիցքը (q = 10 ^ {- 10} ) է:

բ Գնահատեք ( displaystyle lim_ {r → 0 ^ +} E (r) ): Ո՞րն է այս քանակի ֆիզիկական իմաստը: Ֆիզիկապես արդի՞ք է: Ինչու եք ճիշտ գնահատում:

Պատասխանել

ա

բ ∞: Q մասնիկին մոտենալիս էլեկտրական դաշտի մեծությունը դառնում է անսահման: Բացասական հեռավորությունը գնահատելը ֆիզիկական իմաստ չունի:

48) [T] Առարկայի խտությունը տրվում է նրա զանգվածով բաժանված իր ծավալով. (Ρ = մ / Վ.)

ա Օգտագործեք հաշվիչ ՝ ծավալը գծելու համար ՝ որպես խտության գործառույթ ((V = մ / ρ) ), ենթադրելով, որ դուք ուսումնասիրում եք զանգվածի (8 ) կգ ( (մ = 8 )):

բ Գնահատեք ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} V ( rho) ) և բացատրեք ֆիզիկական իմաստը:

2.4. Շարունակականություն

1-8 վարժությունների համար որոշեք այն կետը (կետերը), եթե այդպիսիք կան, որոնցում յուրաքանչյուր գործառույթ ընդհատվում է: Դասակարգեք ցանկացած ընդհատում ՝ ցատկել, շարժական, անսահման, կամ այլ.

1) (f (x) = dfrac {1} { sqrt {x}} )

Պատասխանել
Գործառույթը սահմանված է բոլորի համար ((x ) ընդմիջման մեջ ((0, ∞) ):

2) (f (x) = dfrac {2} {x ^ 2 + 1} )

3) (f (x) = dfrac {x} {x ^ 2 x} )

Պատասխանել
Շարժական անջատում ՝ (x = 0 ); անսահման ընդհատում ՝ (x = 1 ) կետում:

4) (g (t) = t ^ {- 1} +1 )

5) (f (x) = dfrac {5} {e ^ x − 2} )

Պատասխանել
Անսահման ընդհատում ՝ (x = ln 2 ) կետում

6) (f (x) = dfrac {| x − 2 |} {x − 2} )

7) (H (x) = tan 2x )

Պատասխանել
Անսահման ընդհատումներ (x = dfrac {(2k + 1) π} {4} ) կետում, (k = 0, , ± 1, , ± 2, , ± 3, ,… ) համար

8) (f (t) = dfrac {t + 3} {t ^ 2 + 5t + 6} )

9 - 14 վարժությունների համար որոշեք, արդյոք գործառույթը շարունակական է տվյալ կետում: Եթե ​​դա անխափան է, ապա ի՞նչ տիպի ընդհատում է դա:

9) ( dfrac {2x ^ 2−5x + 3} {x − 1} ) ժամը (x = 1 )

Պատասխանել
Ոչ: Դա շարժական դադար է:

10) (h (θ) = dfrac { sin θ− cos θ} { tan θ} ) ժամը (θ = π )

11) (g (u) = start {cases} dfrac {6u ^ 2 + u − 2} {2u 1}, & text {if} u ≠ 12 frac {7} {2} , & տեքստը {եթե} u = 12 վերջ {դեպքեր} ), ժամը (u = frac {1} {2} )

Պատասխանել
Այո Այն շարունակական է:

12) (f (y) = dfrac { sin (πy)} { tan (πy)} ), ժամը (y = 1 )

13) (f (x) = սկիզբ {դեպքեր} x ^ 2 ^ e ^ x, & text {if} x <0 x − 1, & text {if} x≥0 end {գործեր } ), ժամը (x = 0 )

Պատասխանել
Այո Այն շարունակական է:

14) (f (x) = սկիզբ {դեպքեր} x sin (x), & տեքստ {if} x≤π x tan (x), & տեքստ {if} x> π վերջ {դեպքեր} ), ժամը (x = π )

15 - 19 վարժություններում գտեք դրանց արժեքը (ներ) ը (կ ) որը յուրաքանչյուր գործառույթը անընդհատ է դարձնում տվյալ ընդմիջման ընթացքում:

15) (f (x) = սկիզբ {դեպքեր} 3x + 2, & տեքստ {եթե} x

Պատասխանել
(k = −5 )

16) (f (θ) = սկիզբ {դեպքեր} sin θ, & տեքստ {եթե} 0≤θ < frac {π} {2} cos (θ + կ), & տեքստ { եթե} frac {π} {2} ≤θ≤π վերջ {դեպքեր} )

17) (f (x) = սկիզբ {դեպքեր} dfrac {x ^ 2 + 3x + 2} {x + 2}, & տեքստ {if} x ≠ −2 k, & text {եթե } x = −2 վերջ {դեպքեր} )

Պատասխանել
(k = −1 )

18) (f (x) = սկիզբ {դեպքեր} e ^ {kx}, & տեքստ {if} 0≤x <4 x + 3, & text {if} 4≤x≤8 վերջ {դեպքեր} )

19) (f (x) = սկիզբ {դեպքեր} sqrt {kx}, & տեքստ {եթե} 0≤x≤3 x + 1, & տեքստ {եթե} 3

Պատասխանել
(k = frac {16} {3} )

20 - 21 վարժություններում օգտագործեք Միջանկյալ արժեքի թեորեմ (IVT):

20) Եկեք (h (x) = սկսենք {դեպքեր} 3x ^ 2−4, & տեքստ {if} x≤2 5 + 4x, & տեքստ {if} x> 2 վերջ {գործեր} ) Ընդմիջումից ([0,4] ) չկա (x ) արժեք այնպիսի, որ (h (x) = 10 ), չնայած (h (0) <10 ) և (ժ (4)> 10 ): Բացատրեք, թե ինչու դա չի հակասում IVT- ին:

21) Գծի երկայնքով շարժվող մասնիկը ժամանակի համար (t ) ունի դիրքի գործառույթ (s (t) ), որը շարունակական է: Ենթադրենք (s (2) = 5 ) և (s (5) = 2 ): Մեկ այլ մասնիկ շարժվում է այնպես, որ իր դիրքը տրվի (h (t) = s (t) −t ) - ով: Բացատրեք, թե ինչու պետք է (c ) արժեք լինի (2

Պատասխանել
Քանի որ և (s ), և (y = t ) ամենուր շարունակական են, ապա (h (t) = s (t) −t ) շարունակական է ամենուր, և, մասնավորապես, այն շարունակական է փակ միջակայքում [ (2,5 )]: Բացի այդ, (h (2) = 3> 0 ) և (h (5) = - 3 <0 ): Հետևաբար, IVT- ի կողմից գոյություն ունի (x = c ) այնպիսի արժեք, որը (h (c) = 0 ):

22) [T] Օգտագործեք « (t ) կոսինուսը հավասար է (t ) խորանարդի» արտահայտությունը:

ա Գրեք պնդման մաթեմատիկական հավասարումը:

բ Ապացուցեք, որ հավասարումը մասում ա. ունի առնվազն մեկ իրական լուծում:

գ Օգտագործեք հաշվիչ `գտնելու լուծում պարունակող (0,01 ) երկարության ընդմիջում:

23) Կիրառեք IVT- ն `որոշելու համար, թե (2 ^ x = x ^ 3 ) ընդմիջումներից մեկը [ (1.25,1.375 )] կամ [ (1.375,1.5 )] ընդմիջումներով լուծում ունի: Համառոտ բացատրեք ձեր պատասխանը յուրաքանչյուր ընդմիջման համար:

Պատասխանել
(F (x) = 2 ^ x − x ^ 3 ) գործառույթը շարունակական է [ (1.25,1.375 )] միջակայքում և վերջնակետերում ունի հակառակ նշաններ:

24) Դիտարկենք ֆունկցիայի գծապատկերը (y = f (x) ), որը ցույց է տրված հետևյալ գծապատկերում:

ա Գտեք բոլոր այն արժեքները, որոնց համար գործառույթն անընդհատ է:

բ Ա. Մասի յուրաքանչյուր արժեքի համար նշեք, թե ինչու չի կիրառվում շարունակականության պաշտոնական սահմանումը:

գ Դասակարգեք յուրաքանչյուր անդադարությունը կամ ցատկելու, շարժական կամ անսահման:

25) Եկեք (f (x) = սկսենք {դեպքեր} 3x, & տեքստ {եթե} x> 1 x ^ 3, & տեքստ {եթե} x <1 վերջ {դեպքեր} ):

ա Ուրվագծեք (f ) գծապատկերը:

բ Հնարավո՞ր է գտնել այնպիսի արժեք, որը (f (1) = k ) այնպիսի լինի, որը (f (x) ) շարունակական է դարձնում բոլոր իրական թվերի համար (f (x) ): Համառոտ բացատրեք.

Պատասխանել

ա

բ Հնարավոր չէ վերասահմանել (f (1) ), քանի որ դադարեցումը ցատկման դադար է:

26) Եկեք (f (x) = dfrac {x ^ 4−1} {x ^ 2−1} ) համար (x ≠ −1,1 ):

ա Հնարավո՞ր է գտնել (k_1 ) և (k_2 ) այնպիսի արժեքներ, ինչպիսիք են (f (−1) = k ) և (f (1) = k_2 ), և դա կազմում է (f (x ) ) շարունակական է բոլոր իրական թվերի համար? Համառոտ բացատրեք.

27) ուրվագծել գործառույթի գրաֆիկը (y = f (x) ) i հատկություններով: vii- ի միջոցով:

ես (F ) տիրույթն է ( ((- ∞, + ∞ )):

ii. (f ) անվերջ դադարեցում ունի (x = −6 ):

iii. (f (−6) = 3 )

iv ( displaystyle lim_ {x → −3 ^ -} f (x) = lim_ {x → −3 ^ +} f (x) = 2 )

v. (f (−3) = 3 )

vi. (f ) մնացել է շարունակական, բայց ոչ աջ շարունակական ՝ (x = 3 ) - ում:

vii ( displaystyle lim_ {x → −∞} f (x) = - ∞ ) և ( displaystyle lim_ {x → + ∞} f (x) = + ∞ )

Պատասխանել

Պատասխանները կարող են տարբեր լինել. տե՛ս հետևյալ օրինակը.

28) ուրվագծեք գործառույթի գրաֆիկը (y = f (x) ) i հատկություններով: iv- ի միջոցով

ես (F ) տիրույթը [ (0,5 )] է:

ii. ( displaystyle lim_ {x → 1 ^ +} f (x) ) և ( displaystyle lim_ {x → 1 ^ -} f (x) ) գոյություն ունեն և հավասար են:

iii. (f (x) ) մնացել է շարունակական, բայց ոչ շարունակական (x = 2 ) - ում, և աջ շարունակական, բայց ոչ շարունակական ` (x = 3 ) - ում:

iv (f (x) ) շարժական անջատում ունի (x = 1 ), ցատկման անջատում ՝ (x = 2 ) և հետևյալ սահմանները ՝ ( displaystyle lim_ {x → 3 ^ -} f (x) = - ∞ ) և ( displaystyle lim_ {x → 3 ^ +} f (x) = 2 ):

Ենթադրենք 29 - 30 վարժություններում (y = f (x) ) սահմանված է բոլորի համար (x ) Յուրաքանչյուր նկարագրության համար գծեք գծապատկեր նշված հատկությամբ:

29) Անընդհատ (x = 1 ) ժամը ( displaystyle lim_ {x → −1} f (x) = - 1 ) և ( displaystyle lim_ {x → 2} f (x) = 4 )

Պատասխանել

Պատասխանները կարող են տարբեր լինել. տե՛ս հետևյալ օրինակը.

30) Անընդհատ ժամը (x = 2 ), բայց շարունակական այլուր ՝ ( displaystyle lim_ {x → 0} f (x) = frac {1} {2} )

Որոշեք տրված պնդումներից յուրաքանչյուրը ճիշտ է: Ձեր պատասխանը հիմնավորեք բացատրությամբ կամ օրինակով:

31) (f (t) = dfrac {2} {e ^ t − e ^ {- t}} ) շարունակական է ամենուր:

Պատասխանել
Կեղծ Այն շարունակական է ( (- ∞, 0 )) ∪ ( (0, ∞ )):

32) Եթե (f (x) ) - ի ձախ և աջ սահմանները, որպես (x → a ), գոյություն ունեն և հավասար են, ապա (f ) - ը չի կարող անխափան լինել (x = a ) - ում ,

33) Եթե մի կետում ֆունկցիան շարունակական չէ, ապա այդ կետում այն ​​սահմանված չէ:

Պատասխանել
Կեղծ Հաշվի առնենք (f (x) = սկիզբը {գործերը} x, & տեքստը {եթե} x ≠ 0 4, & տեքստը {եթե} x = 0 վերջ {դեպքերը} ):

34) Համաձայն IVT- ի, ( cos x− sin x − x = 2 ) ունի լուծում [ (- 1,1 )] միջակայքի վրա:

35) Եթե (f (x) ) շարունակական է, այնպես որ (f (a) ) և (f (b) ) ունենան հակառակ նշաններ, ապա (f (x) = 0 ) ունի ճիշտ մեկը լուծում [ (a, b )] - ում:

Պատասխանել
Կեղծ Դիտարկենք (f (x) = cos (x) ) [ (- π, 2π )] - ի վրա:

36) (f (x) = dfrac {x ^ 2−4x + 3} {x ^ 2−1} ) գործառույթը շարունակական է [ (0,3 )] միջակայքում:

37) Եթե (f (x) ) շարունակական է ամենուր և (f (a), f (b)> 0 ), ապա [ u200b u200b միջակայքում չկա (f (x) ) արմատ: (ա, բ )]:

Պատասխանել
Կեղծ IVT- ն հակառակը չի գործում: Դիտարկենք ((x − 1) ^ 2 ) ընդմիջումից [ (- 2,2 )]:

[T] Հետևյալ խնդիրները հաշվի են առնում Կուլոնի օրենքի սկալային ձևը, որը նկարագրում է էլեկտրաստատիկ ուժը երկու կետային լիցքերի միջև, ինչպիսիք են էլեկտրոնները: Այն տրված է հավասարման միջոցով (F (r) = k_e dfrac {| q_1q_2 |} {r ^ 2} )որտեղ (k_e ) Կուլոնի հաստատունն է, (q_i ) are the magnitudes of the charges of the two particles, and (r) is the distance between the two particles.

38) To simplify the calculation of a model with many interacting particles, after some threshold value (r=R), we approximate (F) as zero.

ա Explain the physical reasoning behind this assumption.

բ What is the force equation?

գ Evaluate the force (F) using both Coulomb’s law and our approximation, assuming two protons with a charge magnitude of (1.6022×10^{−19}) coulombs (C), and the Coulomb constant (k_e=8.988×10^9Nm^2/C^2) are 1 m apart. Also, assume (R<1) m. How much inaccuracy does our approximation generate? Is our approximation reasonable?

դ Is there any finite value of R for which this system remains continuous at R?

39) Instead of making the force (0) at (R), we let the force be (10−20) for (r≥R). Assume two protons, which have a magnitude of charge (1.6022×10^{−19};C), and the Coulomb constant (k_e=8.988×10^9;Nm^2/C^2). Is there a value (R) that can make this system continuous? If so, find it.

Պատասխանել
(R=0.0001519) m

Recall the discussion on spacecraft from the chapter opener. The following problems consider a rocket launch from Earth’s surface. The force of gravity on the rocket is given by (F(d)=−mk/d^2), where m is the mass of the rocket, (դ ) is the distance of the rocket from the center of Earth, and (k) is a constant.

40) [T] Determine the value and units of (k) given that the mass of the rocket on Earth is 3 million kg. (Hint: The distance from the center of Earth to its surface is 6378 km.)

41) [T] After a certain distance (D) has passed, the gravitational effect of Earth becomes quite negligible, so we can approximate the force function by (F(d)=egin{cases}−dfrac{mk}{d^2}, & ext{if }d

Պատասխանել
(D=63.78) km

42) As the rocket travels away from Earth’s surface, there is a distance D where the rocket sheds some of its mass, since it no longer needs the excess fuel storage. We can write this function as (F(d)=egin{cases} −dfrac{m_1k}{d^2}, & ext{if }d

In Exercises 43 - 44, prove each function is continuous everywhere.

43) (f(θ)=sin θ)

Պատասխանել
For all values of (a), (f(a)) is defined, (displaystyle lim_{θ→a}f(θ)) exists, and (displaystyle lim_{θ→a}f(θ)=f(a)). Therefore, (f(θ)) is continuous everywhere.

44) (g(x)=|x|)

45) Where is (f(x)=egin{cases} 0, & ext{if } x ext{ is irrational} 1, & ext{if }x ext{ is rational}end{cases}) continuous?

Պատասխանել
Nowhere

2.5: The Precise Definition of a Limit

In exercises 1 - 4, write the appropriate (ε−δ) definition for each of the given statements.

1) (displaystyle lim_{x→a}f(x)=N)

2) (displaystyle lim_{t→b}g(t)=M)

Պատասխանել
For every (ε>0), there exists a (δ>0), so that if (0<|t−b|<δ), then (|g(t)−M|<ε)

3) (displaystyle lim_{x→c}h(x)=L)

4) (displaystyle lim_{x→a}φ(x)=A)

Պատասխանել
For every (ε>0), there exists a (δ>0), so that if (0<|x−a|<δ), then (|φ(x)−A|<ε)

The following graph of the function (f) satisfies (displaystyle lim_{x→2}f(x)=2), In the following exercises, determine a value of (δ>0) that satisfies each statement.

5) If (0<|x−2|<δ), then (|f(x)−2|<1).

6) If (0<|x−2|<δ), then (|f(x)−2|<0.5).

Պատասխանել
(δ≤0.25)

The following graph of the function (f) satisfies (displaystyle lim_{x→3}f(x)=−1), In the following exercises, determine a value of (δ>0) that satisfies each statement.

7) If (0<|x−3|<δ), then (|f(x)+1|<1).

8) If (0<|x−3|<δ), then (|f(x)+1|<2).

Պատասխանել
(δ≤2)

The following graph of the function (f) satisfies (displaystyle lim_{x→3}f(x)=2), In the following exercises, for each value of (ε), find a value of (δ>0) such that the precise definition of limit holds true.

9) (ε=1.5)

10) (ε=3)

Պատասխանել
(δ≤1)

[T] In exercises 11 - 12, use a graphing calculator to find a number (δ) such that the statements hold true.

11) (left|sin(2x)−frac{1}{2} ight|<0.1), whenever (left|x−frac{π}{12} ight|<δ)

12) (left|sqrt{x−4}−2 ight|<0.1), whenever (|x−8|<δ)

Պատասխանել
(δ<0.3900)

In exercises 13 - 17, use the precise definition of limit to prove the given limits.

13) (displaystyle lim_{x→2},(5x+8)=18)

14) (displaystyle lim_{x→3}frac{x^2−9}{x−3}=6)

Պատասխանել
Let (δ=ε). If (0<|x−3|<ε), then (|x+3−6|=|x−3|<ε).

15) (displaystyle lim_{x→2}frac{2x^2−3x−2}{x−2}=5)

16) (displaystyle lim_{x→0}x^4=0)

Պատասխանել
Let (δ=sqrt[4]{ε}). If (0<|x|

17) (displaystyle lim_{x→2},(x^2+2x)=8)

In exercises 18 - 20, use the precise definition of limit to prove the given one-sided limits.

18) (displaystyle lim_{x→5^−}frac{5−x}=0)

Պատասխանել
Let (δ=ε_2). If (5−ε^2

19) (displaystyle lim_{x→0^+}f(x)=−2), where (f(x)=egin{cases}8x−3, & ext{if }x<04x−2, & ext{if }x≥0end{cases}).

20) (displaystyle lim_{x→1^−}f(x)=3), where (f(x)=egin{cases}5x−2, & ext{if }x<17x−1, & ext{if }x≥1end{cases}).

Պատասխանել
Let (δ=ε/5). If (1−ε/5

In exercises 21 - 23, use the precise definition of limit to prove the given infinite limits.

21) (im_{x→0}frac{1}{x^2}=∞)

22) (displaystyle lim_{x→−1}frac{3}{(x+1)^2}=∞)

Պատասխանել
Let (δ=sqrt{frac{3}{N}}). If (0<|x+1|N).

23) (displaystyle lim_{x→2}−frac{1}{(x−2)^2}=−∞)

24) An engineer is using a machine to cut a flat square of Aerogel of area (144 , ext{cm}^2). If there is a maximum error tolerance in the area of (8 , ext{cm}^2), how accurately must the engineer cut on the side, assuming all sides have the same length? How do these numbers relate to (δ), (ε), (a), and (L)?

Պատասխանել
(0.033 ext{ cm}, ,ε=8,,δ=0.33,,a=12,,L=144)

25) Use the precise definition of limit to prove that the following limit does not exist: (displaystyle lim_{x→1}frac{|x−1|}{x−1}.)

26) Using precise definitions of limits, prove that (displaystyle lim_{x→0}f(x)) does not exist, given that (f(x)) is the ceiling function. (Hint: Try any (δ<1).)

Պատասխանել
Answer may very.

27) Using precise definitions of limits, prove that (displaystyle lim_{x→0}f(x)) does not exist: (f(x)=egin{cases}1, & ext{if }x ext{ is rational}, & ext{if }x ext{ is irrational}end{cases}). (Hint: Think about how you can always choose a rational number (0

28) Using precise definitions of limits, determine (displaystyle lim_{x→0}f(x)) for (f(x)=egin{cases}x, & ext{if }x ext{ is rational}, & ext{if }x ext{ is irrational}end{cases}). (Hint: Break into two cases, (x) rational and (x) irrational.)

Պատասխանել
(0)

29) Using the function from the previous exercise, use the precise definition of limits to show that (displaystyle lim_{x→a}f(x)) does not exist for (a≠0)

For exercises 30 - 32, suppose that (displaystyle lim_{x→a}f(x)=L) և (displaystyle lim_{x→a}g(x)=M) both exist. Use the precise definition of limits to prove the following limit laws:

30) (displaystyle lim_{x→a}(f(x)−g(x))=L−M)

Պատասխանել
(f(x)−g(x)=f(x)+(−1)g(x))

31) (displaystyle lim_{x→a}[cf(x)]=cL) for any real constant (c) (Hint: Consider two cases: (c=0) and (c≠0).)

32) (displaystyle lim_{x→a}[f(x)g(x)]=LM). (Hint: (|f(x)g(x)−LM|= |f(x)g(x) −f(x)M +f(x)M −LM| ≤|f(x)||g(x) −M| +|M||f(x)−L|.))

Պատասխանել
Answer may vary.

Chapter Review Exercises

True or False, In exercises 1 - 4, justify your answer with a proof or a counterexample.

1) A function has to be continuous at (x=a) if the (displaystyle lim_{x→a}f(x)) exists.

2) You can use the quotient rule to evaluate (displaystyle lim_{x→0}frac{sin x}{x}).

Պատասխանել
False, since we cannot have (displaystyle lim_{x→0}x=0) in the denominator.

3) If there is a vertical asymptote at (x=a) for the function (f(x)), then (f) is undefined at the point (x=a).

4) If (displaystyle lim_{x→a}f(x)) does not exist, then (f) is undefined at the point (x=a).

Պատասխանել
False. A jump discontinuity is possible.

5) Using the graph, find each limit or explain why the limit does not exist.

ա (displaystyle lim_{x→−1}f(x))

բ (displaystyle lim_{x→1}f(x))

գ (displaystyle lim_{x→0^+}f(x))

դ (displaystyle lim_{x→2}f(x))

In exercises 6 - 15, evaluate the limit algebraically or explain why the limit does not exist.

6) (displaystyle lim_{x→2}frac{2x^2−3x−2}{x−2})

Պատասխանել
(5)

7) (displaystyle lim_{x→0}3x^2−2x+4)

8) (displaystyle lim_{x→3}frac{x^3−2x^2−1}{3x−2})

Պատասխանել
(8/7)

9) (displaystyle lim_{x→π/2}frac{cot x}{cos x})

10) (displaystyle lim_{x→−5}frac{x^2+25}{x+5})

Պատասխանել
DNE

11) (displaystyle lim_{x→2}frac{3x^2−2x−8}{x^2−4})

12) (displaystyle lim_{x→1}frac{x^2−1}{x^3−1})

Պատասխանել
(2/3)

13) (displaystyle lim_{x→1}frac{x^2−1}{sqrt{x}−1})

14) (displaystyle lim_{x→4}frac{4−x}{sqrt{x}−2})

Պատասխանել
(−4)

15) (displaystyle lim_{x→4}frac{1}{sqrt{x}−2})

In exercises 16 - 17, use the squeeze theorem to prove the limit.

16) (displaystyle lim_{x→0}x^2cos(2πx)=0)

Պատասխանել
Since (−1≤cos(2πx)≤1), then (−x^2≤x^2cos(2πx)≤x^2). Since (displaystyle lim_{x→0}x^2=0=lim_{x→0}−x^2), it follows that (displaystyle lim_{x→0}x^2cos(2πx)=0).

17) (displaystyle lim_{x→0}x^3sinleft(frac{π}{x} ight)=0)

18) Determine the domain such that the function (f(x)=sqrt{x−2}+xe^x) is continuous over its domain.

Պատասխանել
([2,∞])

In exercises 19 - 20, determine the value of (c) such that the function remains continuous. Draw your resulting function to ensure it is continuous.

19) (f(x)=egin{cases}x^2+1, & ext{if } x>c2^x, & ext{if } x≤cend{cases})

20) (f(x)=egin{cases}sqrt{x+1}, & ext{if } x>−1x^2+c, & ext{if } x≤−1end{cases})

In exercises 21 - 22, use the precise definition of limit to prove the limit.

21) (displaystyle lim_{x→1},(8x+16)=24)

22) (displaystyle lim_{x→0}x^3=0)

Պատասխանել
(δ=sqrt[3]{ε})

23) A ball is thrown into the air and the vertical position is given by (x(t)=−4.9t^2+25t+5). Use the Intermediate Value Theorem to show that the ball must land on the ground sometime between 5 sec and 6 sec after the throw.

24) A particle moving along a line has a displacement according to the function (x(t)=t^2−2t+4), where (x) is measured in meters and (t) is measured in seconds. Find the average velocity over the time period (t=[0,2]).

Պատասխանել
(0) m/sec

25) From the previous exercises, estimate the instantaneous velocity at (t=2) by checking the average velocity within (t=0.01) sec.