Հոդվածներ

15.5E. Շեղում և գանգրացում (վարժություններ) - մաթեմատիկա


Հաջորդ վարժությունների համար որոշեք ՝ արդյոք պնդումը Ճիշտ կամ Կեղծ.

1. Եթե ​​ ( vecs F: mathbb {R} ^ 3 rightarrow mathbb {R} ^ 3 ) կոորդինատային գործառույթները ունեն շարունակական երկրորդ մասնակի ածանցյալներ, ապա ( text {curl} , ( text {div } , vecs F) ) հավասար է զրոյի:

2. ( vecs nabla cdot (x , mathbf { hat i} + y , mathbf { hat j} + z , mathbf { hat k}) = 1 ):

Պատասխան.
Կեղծ

3. Ձևի բոլոր վեկտորային դաշտերը ( vecs F (x, y, z) = f (x) , mathbf { hat i} + g (y) , mathbf { hat j} + h (z ) , mathbf { hat k} ) պահպանողական են:

4. Եթե ​​ ( text {curl} , vecs F = vecs 0 ), ապա ( vecs F ) պահպանողական է:

Պատասխան.
Ճիշտ

5. Եթե ​​ ( vecs F ) կայուն վեկտորի դաշտ է, ապա ( text {div} , vecs F = 0 ):

6. Եթե ​​ ( vecs F ) կայուն վեկտորի դաշտ է, ապա ( text {curl} , vecs F = vecs 0 ):

Պատասխան.
Ճիշտ

Հետևյալ վարժությունների համար գտեք ( vecs F ) գանգուրը:

7. ( vecs F (x, y, z) = xy ^ 2z ^ 4 , mathbf { hat i} + (2x ^ 2y + z) , mathbf { hat j} + y ^ 3 z ^ 2 , mathbf { hat k} )

8. ( vecs F (x, y, z) = x ^ 2 z , mathbf { hat i} + y ^ 2 x , mathbf { hat j} + (y + 2z) , mathbf { hat k} )

Պատասխան.
( text {curl} , vecs F = , mathbf { hat i} + x ^ 2 , mathbf { hat j} + y ^ 2 , mathbf { hat k} )

9. ( vecs F (x, y, z) = 3xyz ^ 2 , mathbf { hat i} + y ^ 2 sin z , mathbf { hat j} + xe ^ {2z} , mathbf { hat k} )

10. ( vecs F (x, y, z) = x ^ 2 yz , mathbf { hat i} + xy ^ 2 z , mathbf { hat j} + xyz ^ 2 , mathbf { գլխարկ k} )

Պատասխան.
( text {curl} , vecs F = (xz ^ 2 - xy ^ 2) , mathbf { hat i} + (x ^ 2 y - yz ^ 2) , mathbf { hat j } + (y ^ 2z - x ^ 2z) , mathbf { hat k} )

11. ( vecs F (x, y, z) = (x , cos y) , mathbf { hat i} + xy ^ 2 , mathbf { hat j} )

12. ( vecs F (x, y, z) = (x - y) , mathbf { hat i} + (y - z) , mathbf { hat j} + (z - x) , mathbf { hat k} )

Պատասխան.
( text {curl} , vecs F = , mathbf { hat i} + , mathbf { hat j} + , mathbf { hat k} )

13. ( vecs F (x, y, z) = xyz , mathbf { hat i} + x ^ 2y ^ 2z ^ 2 , mathbf { hat j} + y ^ 2z ^ 3 , mathbf { hat k} )

14. ( vecs F (x, y, z) = xy , mathbf { hat i} + yz , mathbf { hat j} + xz , mathbf { hat k} )

Պատասխան.
( text {curl} , vecs F = - y , mathbf { hat i} - z , mathbf { hat j} - x , mathbf { hat k} )

15. ( vecs F (x, y, z) = x ^ 2 , mathbf { hat i} + y ^ 2 , mathbf { hat j} + z ^ 2 , mathbf { hat k } )

16. ( vecs F (x, y, z) = ax , mathbf { hat i} + by , mathbf { hat j} + c , mathbf { hat k} ) հաստատունների համար (ա, , բ, , գ ):

Պատասխան.
( text {curl} , vecs F = vecs 0 )

Հետևյալ վարժությունների համար գտեք ( vecs F ) տարաձայնությունը:

17. ( vecs F (x, y, z) = x ^ 2 z , mathbf { hat i} + y ^ 2 x , mathbf { hat j} + (y + 2z) , mathbf { hat k} )

18. ( vecs F (x, y, z) = 3xyz ^ 2 , mathbf { hat i} + y ^ 2 sin z , mathbf { hat j} + xe ^ 2 , mathbf { hat k} )

Պատասխան.
( text {div} , vecs F = 3yz ^ 2 + 2y , sin z + 2xe ^ {2z} )

19. ( vecs {F} (x, y) = ( sin x) , mathbf { hat i} + ( cos y) , mathbf { hat j} )

20. ( vecs F (x, y, z) = x ^ 2 , mathbf { hat i} + y ^ 2 , mathbf { hat j} + z ^ 2 , mathbf { hat k } )

Պատասխան.
( text {div} , vecs F = 2 (x + y + z) )

21. ( vecs F (x, y, z) = (x - y) , mathbf { hat i} + (y - z) , mathbf { hat j} + (z - x) , mathbf { hat k} )

22. ( vecs {F} (x, y) = dfrac {x} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} , mathbf { hat i} + dfrac {y} { sqrt { x ^ 2 + y ^ 2}} , mathbf { hat j} )

Պատասխան.
( text {div} , vecs F = dfrac {1} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} )

23. ( vecs {F} (x, y) = x , mathbf { hat i} - y , mathbf { hat j} )

24. ( vecs F (x, y, z) = ax , mathbf { hat i} + by , mathbf { hat j} + c , mathbf { hat k} ) հաստատունների համար (ա, , բ, , գ ):

Պատասխան.
( text {div} , vecs F = a + b )

25. ( vecs F (x, y, z) = xyz , mathbf { hat i} + x ^ 2y ^ 2z ^ 2 , mathbf { hat j} + y ^ 2z ^ 3 , mathbf { hat k} )

26. ( vecs F (x, y, z) = xy , mathbf { hat i} + yz , mathbf { hat j} + xz , mathbf { hat k} )

Պատասխան.
( text {div} , vecs F = x + y + z )

27-րդ և 28-րդ վարժությունների համար որոշեք `տրված scalar գործառույթներից յուրաքանչյուրը ներդաշնակ է:

27. (u (x, y, z) = e ^ {- x} ( cos y - sin y) )

28. (w (x, y, z) = (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {- 1/2} )

Պատասխան.
Ներդաշնակ

29. Եթե ​​ ( vecs F (x, y, z) = 2 , mathbf { hat i} + 2x j + 3y k ) և ( vecs G (x, y, z) = x , mathbf { hat i} - y , mathbf { hat j} + z , mathbf { hat k} ), գտնել ( text {curl} , ( vecs F times vecs G ) ):

30. Եթե ​​ ( vecs F (x, y, z) = 2 , mathbf { hat i} + 2x j + 3y k ) և ( vecs G (x, y, z) = x , mathbf { hat i} - y , mathbf { hat j} + z , mathbf { hat k} ), գտնել ( text {div} , ( vecs F times vecs G ) )

Պատասխան.
( տեքստ {div} , ( vecs F անգամ vecs G) = 2z + 3x )

31. Գտեք ( text {div} , vecs F ), հաշվի առնելով, որ ( vecs F = vecs nabla f ), որտեղ (f (x, y, z) = xy ^ 3z ^ 2 )

32. Գտեք ( vecs F ) տարաձայնությունը վեկտորային դաշտի համար ( vecs F (x, y, z) = (y ^ 2 + z ^ 2) (x + y) , mathbf { hat i} + (z ^ 2 + x ^ 2) (y + z) , mathbf { hat j} + (x ^ 2 + y ^ 2) (z + x) , mathbf { hat k} ) ,

Պատասխան.
( text {div} , vecs F = 2r ^ 2 )

33. Գտեք ( vecs F ) տարաձայնությունը վեկտորային դաշտի համար ( vecs F (x, y, z) = f_1 (y, z) , mathbf { hat i} + f_2 (x, z) , mathbf { hat j} + f_3 (x, y) , mathbf { hat k} ):

34 - 36 վարժությունների համար օգտագործեք (r = | vecs r | ) և ( vecs r (x, y, z) = langle x, y, z rangle ):

34. Գտեք ( text {curl} , vecs r )

Պատասխան.
( text {curl} , vecs r = vecs 0 )

35. Գտեք ( text {curl} , dfrac { vecs r} {r} ):

36. Գտեք ( text {curl} , dfrac { vecs r} {r ^ 3} ):

Պատասխան.
( text {curl} , dfrac { vecs r} {r ^ 3} = vecs 0 )

37. Եկեք ( vecs {F} (x, y) = dfrac {-y , mathbf { hat i} + x , mathbf { hat j}} {x ^ 2 + y ^ 2} ), որտեղ ( vecs F ) սահմանված է ( big {(x, y) mathbb {R} | (x, y) neq (0,0) big } ) , Գտեք ( text {curl} , vecs F ):

Հաջորդ վարժությունների համար օգտագործեք համակարգչային հանրահաշիվ համակարգ ՝ գտնելու տրված վեկտորային դաշտերի ոլորումը:

38. [T] ( vecs F (x, y, z) = arctan ձախ ( dfrac {x} {y} աջ) , mathbf { hat i} + ln sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} , mathbf { hat j} + , mathbf { hat k} )

Պատասխան.
( text {curl} , vecs F = dfrac {2x} {x ^ 2 + y ^ 2} , mathbf { hat k} )

39. [T] ( vecs F (x, y, z) = sin (x - y) , mathbf { hat i} + sin (y - z) , mathbf { hat j} + sin (z - x) , mathbf { hat k} )

Հաջորդ վարժությունների համար գտեք ( vecs F ) - ի տարաձայնությունը տվյալ կետում:

40. ( vecs F (x, y, z) = , mathbf { hat i} + , mathbf { hat j} + , mathbf { hat k} ) ժամը ((2, -1, 3) )

Պատասխան.
( text {div} , vecs F = 0 )

41. ( vecs F (x, y, z) = xyz , mathbf { hat i} + y , mathbf { hat j} + z , mathbf { hat k} ) ժամը ( (1, 2, 3) )

42. ( vecs F (x, y, z) = e ^ {- xy} , mathbf { hat i} + e ^ {xz} , mathbf { hat j} + e ^ {yz} , mathbf { hat k} ) հասցեում ((3, 2, 0) )

Պատասխան.
( text {div} , vecs F = 2 - 2e ^ {- 6} )

43. ( vecs F (x, y, z) = xyz , mathbf { hat i} + y , mathbf { hat j} + z , mathbf { hat k} ) ժամը ( (1, 2, 1) )

44. ( vecs F (x, y, z) = e ^ x sin y , mathbf { hat i} - e ^ x cos y , mathbf { hat j} ) ժամը (( 0, 0, 3) )

Պատասխան.
( text {div} , vecs F = 0 )

45-49 վարժությունների համար տրված կետում գտեք ( vecs F ) ոլորումը:

45. ( vecs F (x, y, z) = , mathbf { hat i} + , mathbf { hat j} + , mathbf { hat k} ) ժամը ((2, -1, 3) )

46. ( vecs F (x, y, z) = xyz , mathbf { hat i} + y , mathbf { hat j} + z , mathbf { hat k} ) ժամը ( (1, 2, 3) )

Պատասխան.
( text {curl} , vecs F = mathbf { hat j} - 3 , mathbf { hat k} )

47. ( vecs F (x, y, z) = e ^ {- xy} , mathbf { hat i} + e ^ {xz} , mathbf { hat j} + e ^ {yz} , mathbf { hat k} ) հասցեում ((3, 2, 0) )

48. ( vecs F (x, y, z) = xyz , mathbf { hat i} + y , mathbf { hat j} + z , mathbf { hat k} ) ժամը ( (1, 2, 1) )

Պատասխան.
( text {curl} , vecs F = 2 , mathbf { hat j} - , mathbf { hat k} )

49. ( vecs F (x, y, z) = e ^ x sin y , mathbf { hat i} - e ^ x cos y , mathbf { hat j} ) ժամը (( 0, 0, 3) )

50. Եկեք ( vecs F (x, y, z) = (3x ^ 2 y + az) , mathbf { hat i} + x ^ 3 , mathbf { hat j} + (3x + 3z ^ 2) , mathbf { hat k} ): (A ) - ի ո՞ր արժեքի համար է ( vecs F ) պահպանողական:

Պատասխան.
(a = 3 )

51. Տրված է վեկտորային դաշտ ( vecs {F} (x, y) = dfrac {1} {x ^ 2 + y ^ 2} langle -y, x rangle ) տիրույթում (D = dfrac { mathbb {R} ^ 2} { {(0,0) }} = big {(x, y) in mathbb {R} ^ 2 | (x, y) neq (0,0) մեծ } ), ( vecs F ) պահպանողական է:

52. Տրված է վեկտորի դաշտը ( vecs {F} (x, y) = dfrac {1} {x ^ 2 + y ^ 2} լեզու x, y rangle ) տիրույթում (D = dfrac { mathbb {R} ^ 2} { {(0,0) }} ), ( vecs F ) պահպանողական է:

Պատասխան.
( vecs F ) պահպանողական է:

53. Գտեք ուժային դաշտով կատարված աշխատանքը ( vecs {F} (x, y) = e ^ {- y} , mathbf { hat i} - xe ^ {- y} , mathbf { hat j } ) օբյեկտը (P (0, 1) ) - ից (Q (2, 0) ) տեղափոխելուց: Ուժային դաշտը պահպանվա՞ծ է:

54. Հաշվարկել տարաձայնությունը ( vecs F (x, y, z) = ( sinh x) , mathbf { hat i} + ( cosh y) , mathbf { hat j} - xyz , mathbf { hat k} ):

Պատասխան.
( text {div} , vecs F = cosh x + sinh y - xy )

55. Հաշվարկել ( text {curl} , vecs F = ( sinh x) , mathbf { hat i} + ( cosh y) , mathbf { hat j} - xyz , mathbf { hat k} ):

Հետևյալ վարժությունների համար հաշվի առեք կոշտ մարմին, որը պտտվում է (x ) - առանցքի շուրջը ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ ՝ անընդհատ անկյունային արագությամբ ( vecs omega = a, b, c rangle ): Եթե ​​ (P ) մարմնի մեջ կետ է, որը գտնվում է ( vecs r = x , mathbf { hat i} + y , mathbf { hat j} + z , mathbf { hat k} ), (P ) - ում արագությունը տրվում է վեկտորային դաշտով ( vecs F = vecs omega անգամ vecs r ):

56. Express ( vecs F ) (, mathbf { hat i}, ; , mathbf { hat j}, ) և (, mathbf { hat k} ) վեկտորներ.

Պատասխան.
( vecs F = (bz - cy) , mathbf { hat i} + (cx - az) , mathbf { hat j} + (ay - bx) , mathbf { hat k} )

57. Գտեք ( text {div} , F ):

58. Գտեք ( text {curl} , F )

Պատասխան.
( text {curl} , vecs F = 2 vecs omega )

Հաջորդ վարժություններում ենթադրեք, որ ( vecs nabla cdot vecs F = 0 ) և ( vecs nabla cdot vecs G = 0 ):

59. ( Vecs F + vecs G ) անպայման զրոյական շեղում ունի՞:

60. ( Vecs F անգամ vecs G ) անպայման զրոյական շեղում ունի՞:

Պատասխան.
( vecs F անգամ vecs G ) չունի զրոյական շեղում:

Հետևյալ վարժություններում ենթադրենք, որ ( mathbb {R} ^ 3 ) - ում ամուր առարկան ունի (T (x, y, z) ) տրված ջերմաստիճանի բաշխում: Օբյեկտում ջերմության հոսքի վեկտորի դաշտը ( vecs F = - k vecs nabla T ) է, որտեղ (k> 0 ) նյութի հատկությունն է: Երմային հոսքի վեկտորը ցույց է տալիս գրադիենին հակառակ ուղղությամբ, որը ջերմաստիճանի ամենամեծ նվազման ուղղությունն է: Theերմային հոսքի վեկտորի տարաձայնությունը ( vecs nabla cdot vecs F = -k vecs nabla cdot vecs nabla T = - k vecs nabla ^ 2 T ):

61. Հաշվարկել ջերմային հոսքի վեկտորի դաշտը:

62. Հաշվարկել տարաձայնությունը:

Պատասխան.
( vecs nabla cdot vecs F = -200 k [1 + 2 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)] e ^ {- x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} )

63. [T] Հաշվի առնենք պտտվող արագության դաշտը ( vecs v = langle 0,10z, -10y rangle ): Եթե ​​paddlewheel- ը տեղադրվի հարթության մեջ (x + y + z = 1 ) իր հարթության համար նորմալ իր առանցքով, օգտագործելով համակարգչային հանրահաշվային համակարգ, հաշվարկեք, թե որքան արագ է պտտվում պտտաձողը պտտվող միավորներով մեկ միավորի ընթացքում:

Gilիլբերտ Սթրանգը (MIT) և Էդվին «edեդ» Հերմանը (Հարվի Մուդ) ՝ շատ ներդրող հեղինակներով: OpenStax- ի այս բովանդակությունը լիցենզավորված է CC-BY-SA-NC 4.0 լիցենզիայով: Ներբեռնեք անվճար http://cnx.org կայքում: