Հոդվածներ

8.1. Տարրական և չափելի գործառույթներ


Սահմանված գործառույթներից մենք այժմ վերադառնում ենք կետային գործառույթներ

[
զ: S աջակողմյան ձախ ձախ (T, rho ^ { Prime} աջ)
]

որի տիրույթը (D_ {f} ) բաղկացած է մի հավաքածուի կետերից (S. ) տիրույթի տարածքը (T ) հիմնականում կլինի (E, ), այսինքն ՝ (E ^ {1}, E ^ {*}, C, E ^ {n}, ) կամ այլ նորմավորված տարածություն: Ենթադրում ենք (f (x) = 0 ), եթե այլ բան նախատեսված չէ: (Ընդհանուր մետրային տարածքում (T, ) մենք կարող ենք վերցնել որոշակի ֆիքսված տարր (q ) (0. ) - ի համար) Այսպիսով, (D_ {f} ) ամբողջը (S ) է, միշտ ,

Մենք նաև ընդունում ենք հարմար նշում ՝ հավաքածուների համար.

[
"A (P)" text {for} " {x in A | P (x) }":
]

Այսպիսով

[
սկսեք {հարթեցված} A (f neq a) & = {x A- ում | f (x) neq a }, A (f = g) & = {x A- ում | f (x) = g (x) }, A (f> g) & = {x A- ում | f (x)> g (x) }, տեքստ {և այլն} վերջ {հավասարեցված}
]

Սահմանում

Չափելի տարածությունը սահմանում է (S neq emptyset ) և (S, ) նշվող (S, mathcal {M}) ենթաբազմությունների սահմանված օղակի ( mathcal {M} ) )

Այսուհետ, ((S, mathcal {M}) ) ֆիքսված է:

Սահմանում

Կոմպլեկտիայի M- բաժանումը (A ) հաշվարկվող բազմության ընտանիք է ( mathcal {P} = ձախ {A_ {i} աջ } ) այնպես, որ

[
A = bigcup_ {i} A_ {i} (d i s j o i n t),
]

(A, A_ {i} mathcal {M} ) - ով:

Մենք հակիրճ ասում ենք «միջնորմ (A = bigcup A_ {i}. )»:

( Mathcal {M} ) - միջնորմ ( mathcal {P} ^ { prime} = ձախ {B_ {ik} աջ } ) ճշգրտում է ( mathcal {P} = ձախ {A_ {i} աջ } ձախ ( տեքստ {կամ} mathcal {P} ^ { պարզ} տեքստ {լրամշակում} աջ: ) ( mathcal {P}, ) կամ ( mathcal {P} ^ { prime} ) ավելի լավ է, քան ( mathcal {P}) ) iff

[
( ամբողջությամբ i) quad A_ {i} = bigcup_ {k} B_ {i k}
]

այսինքն ՝ յուրաքանչյուր (B_ {i k} ) պարունակվում է որոշ (A_ {i} ) մեջ:

( Mathcal {P} ^ { prime} = ձախ {A_ {) խաչմերուկը ( mathcal {P} ^ { prime} cap mathcal {P} ^ { prime prime} ) խաչմերուկը: i} right } ) և ( mathcal {P} ^ { prime prime} = left {B_ {k} right } ) հասկացվում է, որ ձևի բոլոր հավաքածուների ընտանիքն է:

[
A_ {i} cap B_ {k}, quad i, k = 1,2, կետեր
]

Դա ( mathcal {M} ) -բաժին է, որը կատարելագործում է և ( mathcal {P} ^ { prime} ) և ( mathcal {P} ^ { prime prime} պրիմիտիվ):

Սահմանում

Քարտեզը (գործառույթը) (f: S rightarrow T ) տարրական է, կամ ( mathcal {M} ) - տարրական, բազմության վրա (A in mathcal {M} ), եթե կա M (partition) ( mathcal {P} = ձախ {A_ {i} աջ } ) ՝ (A ) - ի այնպիսի, որ (f ) կայուն լինի ( ձախ (f = a_ {i } աջ) ) յուրաքանչյուրի վրա (A_ {i}. )

Եթե ​​ ( mathcal {P} = ձախ {A_ {1}, ldots, A_ {q} աջ } ) վերջավոր է, մենք ասում ենք, որ (f ) պարզ է, կամ ( mathcal {M} ) - պարզ, միացված է (Ա. )

Եթե ​​ (A_ {i} ) ինտերվալներ են (E ^ {n}, ) - ում մենք (f ) անվանում ենք քայլ գործառույթ; դա պարզ քայլ ֆունկցիա է, եթե ( mathcal {P} ) վերջավոր է:

Ֆունկցիայի արժեքները (a_ {i} ) (T ) (հնարավոր է վեկտորների) տարրեր են: Դրանք կարող են անսահման լինել, եթե (T = E ^ {*}. ) Իհարկե, ցանկացած պարզ քարտեզ նույնպես տարրական է:

Սահմանում

Նշվում է, որ քարտեզը (f: S rightarrow ձախ (T, rho ^ { prime} աջ) ) չափելի է (կամ ( mathcal {M} ) -չափելի () ) ՝ a ( operatorname {set} A ) ((S, mathcal {M}) ) մեջ եթե

[
f = lim _ {m rightarrow infty} f_ {m} quad ( text {pointwise}) text {on} A
]

գործառույթների որոշ հաջորդականության համար (f_ {m}: S rightarrow T, ) բոլորը տարրական են (Ա. ) (տե՛ս Գլուխ 4, §12 ՝ «կետային» համար):

Նշում 1. Սա ենթադրում է (A in mathcal {M}, ), ինչպես հետևում է սահմանումներից 2 և (3. ( Mathrm {Why} text {?}) )

Եզրակացություն ( PageIndex {1} )

Եթե ​​ (f: S rightarrow ձախ (T, rho ^ { prime} աջ) ) տարրական է (A, ) - ի վրա, այն չափելի է (A. )

Ապացույց

Սահմանեք (f_ {m} = f, m = 1,2, ldots, ) Սահմանման մեջ (4. ) Ապա հստակ (f_ {m} աջ անկյուն f ) միացման մեջ (A ): (հրապարակ )

Եզրակացություն ( PageIndex {2} )

Եթե ​​ (f ) ((S, mathcal {M}) - ում (A ) - ի վրա պարզ է, տարրական կամ չափելի, ) այն ունի նույն հատկությունը ցանկացած ենթաբազմության վրա (B ենթածրագիր A ) հետ (B in mathcal {M} ):

Ապացույց

Թող (f ) պարզ լինի (A; ) - ով, այնպես որ (f = a_ {i} ) ՝ (A_ {i}, i = 1,2, ldots, n, ) վրա մի քանի վերջավորների համար ( mathcal {M} ) -բաժին, (A = bigcup_ {i = 1} ^ {n} A_ {i} ):

Եթե ​​ (A supseteq B in mathcal {M}, ) ապա

[
ձախ {B cap A_ {i} աջ }, quad i = 1,2, ldots, n,
]

(B ( տեքստը {ինչու?}), ) և (f = a_ {i} ) վերջավոր ( m = {m} ) և (f = a_ {i} ) բաժինը (B cap A_ {i} ; ) այնպես որ (f ) պարզ է (B ) վրա:

Տարրական քարտեզների համար օգտագործեք հաշվելի բաժանմունքներ:

Այժմ (f ) չափելի լինի (A, ) - ի վրա, այսինքն ՝

[
f = lim _ {m rightarrow անպիտան} f_ {m}
]

որոշ տարրական քարտեզների համար (f_ {m} ) միացված է (Ա. ) Ինչպես ցույց է տրված վերևում, (f_ {m} ) տարրական են նաև (B, ) և (f_ {m}) վրա: rightarrow f ) միացված է (B; ) այնպես որ (f ) չափելի է (B. quad հրապարակ ) վրա

Եզրակացություն ( PageIndex {3} )

Եթե ​​ (f ) տարրական է կամ չափելի յուրաքանչյուր (հաշվարկելիորեն շատ () ) հավաքածուի վրա (A_ {n} ) ((S, mathcal {M}), ) այն նույնն է գույք նրանց միության վրա (A = bigcup_ {n} A_ {n} ):

Ապացույց

Թող (f ) տարրական լինի յուրաքանչյուրի վրա (A_ {n} ) (ուստի (A_ {n} in mathcal {M} ) Note 1-ով ՝ () ):

7-րդ գլխի 1-ին եզրակացության, 1,

[
A = bigcup A_ {n} = bigcup B_ {n}
]

որոշ տարանջատված հավաքածուների համար (B_ {n} subseteq A_ {n} ձախ (B_ {n} in mathcal {M} աջ) ):

Հետևաբար (2, f ) տարրական է յուրաքանչյուրի վրա (B_ {n}; ), այսինքն ՝ հաստատուն է որոշ ( mathcal {M} ) -բաժնի հավաքածուների վրա ( ձախ {B_ {ni} (B_ {i} ) - ի աջ } ):

Բոլոր (B_ {n i} ) համակցված (բոլորի համար (n ) և բոլոր (i) ) կազմում են ( mathcal {M} ) - (A ) - ի բաժին,

[
A = bigcup_ {n} B_ {n} = bigcup_ {n, i} B_ {n i}:
]

Քանի որ (f ) հաստատուն է յուրաքանչյուրի վրա (B_ {n i}, ) տարրական է (Ա. )

Չափելի գործառույթների համար (f, ) փոքր-ինչ փոփոխեք Արդյունքում օգտագործված մեթոդը (2. Քառակուսի )

Եզրակացություն ( PageIndex {4} )

Եթե ​​ (f: S rightarrow ձախ (T, rho ^ { prime} աջ) ) չափելի է (A ) - ում ((S, mathcal {M}), ), ապա տրամադրված կոմպոզիտային քարտեզը (g circ f, ) (g: T rightarrow ձախ (U, rho ^ { Prime Prime} աջ) ) համեմատաբար շարունակական է (f [A] )

Ապացույց

Ենթադրելով,

[
f = lim _ {m rightarrow infty} f_ {m} text {(կետով)}
]

որոշ տարրական քարտեզների համար (f_ {m} ) միացված է (A ):

Հետևաբար (g ) - ի շարունակականությամբ,

[
g ձախ (f_ {m} (x) աջ) rightarrow g (f (x)),
]

այսինքն, (g circ f_ {m} rightarrow g circ f ) (կետային) ՝ (A ) վրա:

Ավելին, բոլորը (g circ f_ {m} ) տարրական են (A ) (համար (g circ f_ {m} ) - ը կայուն է ցանկացած բաժանման վրա, եթե (f_ {m} ) ) է):

Այսպիսով, (g circ f ) չափելի է (A, ) - ի վրա, ինչպես պնդվում է: ( քառակուսի )

Թեորեմ ( PageIndex {1} )

Եթե ​​ (f, g, h: S rightarrow E ^ {1} (C) ) քարտեզները պարզ, տարրական կամ չափելի են (A ) - ի վրա ((S, mathcal {M}), ) այդպես են նաև (f pm g, fh, | f | ^ {{}}) (իրականի համար (a neq 0) ) և (f / h ) (եթե (h neq 0 ) վրա ) .)

Նմանապես վեկտորով գնահատված (f ) և (g ) և սկալարային արժեք ունեցող (h ):

Ապացույց

Նախ, թող (f ) և (g ) տարրական լինեն (Ա.) Վրա: Այնուհետև կան երկու ( mathcal {M} ) - բաժիններ,

[
A = bigcup A_ {i} = bigcup B_ {k},
]

այնպիսի, որ (f = a_ {i} ) միացված լինի (A_ {i} ) և (g = b_ {k} ) միացված (B_ {k}, ) ասեն:

Կոմպլեկտները (A_ {i} cap B_ {k} ) (բոլորի համար (i ) և (k) ) այնուհետև կազմում են (A- ի) նոր ( mathcal {M} ) -բաժին: ( text {ինչու?}) ), այնպես, որ և (f ) և (g ) հաստատուն են յուրաքանչյուրի վրա (A_ {i} cap B_ {k} ( text {ինչու?); հետևաբար այդպես է} f pm g ):

Այսպիսով, (f pm g ) տարրական է (Ա. ) Նմանապես պարզ գործառույթների համար:

Հաջորդը, թող (f ) և (g ) չափելի լինեն (A; ) - ի վրա, այնպես որ

[
f = lim f_ {m} text {և} g = lim g_ {m} text {(կետով)}} A- ի վրա
]

որոշ տարրական քարտեզների համար (f_ {m}, g_ {m} ):

Վերևում ցույց տրվածի համաձայն, (f_ {m} pm g_ {m} ) տարրական է յուրաքանչյուրի համար (մ. ) Նաև,

[
f_ {m} pm g_ {m} rightarrow f pm g ( text {pointwise}) text {on} A,
]

Այսպիսով, (f pm g ) չափելի է (A ) վրա:

Մնացյալ թեորեմը հետևում է բավականին նման կերպով: ( քառակուսի )

Եթե ​​միջակայքի տարածքը (E ^ {n} ձախ է ( տեքստ {կամ} C ^ {n} աջ), ) ապա (f ) ունի (n ) իրական (բարդ) բաղադրիչներ ( f_ {1}, ldots, f_ {n}, ) ինչպես 4-րդ գլխի §3 (II մաս): Սա տալիս է հետևյալ թեորեմը:

Թեորեմ ( PageIndex {2} )

Գործառույթը (f: S rightarrow E ^ {n} ձախ (C ^ {n} աջ) ) պարզ, տարրական կամ չափելի է (A ) բազմության վրա ((S, mathcal {M}) ) եթե բոլոր (n ) բաղադրիչի գործառույթները (f_ {1}, f_ {2}, ldots, f_ {n} ) են:

Ապացույց

Պարզության համար հաշվի առեք (f: S rightarrow E ^ {2}, f = ձախ (f_ {1}, f_ {2} աջ) ):

Եթե ​​ (f_ {1} ) և (f_ {2} ) պարզ կամ տարրական են (A ) - ի վրա, ապա (ճիշտ ինչպես 1-ին թեորեմում () ), կարելի է հասնել, որ երկուսն էլ հաստատուն են բազմությունների վրա: (A_ {i} cap B_ {k} ) մեկ և միևնույն ( mathcal {M} ) - (Ա. ) Միջնորմը, հետևաբար (f = ձախ (f_ {1}, f_ {2} աջ), ) նույնպես, ըստ պահանջի, հաստատուն է յուրաքանչյուրի վրա (A_ {i} գլխարկ B_ {k}, ):

Ընդհակառակը ՝ թող

[
f = overline {c} _ {i} = left (a_ {i}, b_ {i} right) text {on} C_ {i}
]

ոմանց համար ( mathcal {M} ) - միջնորմ

[
A = bigcup C_ {i}:
]

Ապա ըստ սահմանման ՝ (f_ {1} = a_ {i} ) և (f_ {2} = b_ {i} ) միացված (C_ {i}; ) վրա, այնպես որ երկուսն էլ տարրական են (կամ պարզ) (Ա. )

Ընդհանուր դեպքում ( ձախ (E ^ {n} տեքստ {կամ} C ^ {n} աջ), ) ապացույցը անալոգ է:

Չափելի գործառույթների համար ապացույցը նվազեցնում է տարրական քարտեզների սահմանները (օգտագործելով 3-րդ գլխի 2-րդ թեորեմ, §15): Մանրամասները թողնում են ընթերցողին: ( քառակուսի )

Նշում 2. Քանի որ (C = E ^ {2}, ) բարդ գործառույթը (f: S rightarrow C ) պարզ է, տարրական կամ չափելի (A ) - ի վրա, եթե դրա իրական և մտացածին մասերն են:

Ըստ սահմանման (4, ) չափելի ֆունկցիան տարրական քարտեզների կետային սահմանն է: Այնուամենայնիվ, եթե ( mathcal {M} ) օղակ է ( սիգմա ), կարելի է սահմանը դարձնել միատարր: Իրոք, մենք ունենք հետևյալ թեորեմը:

Թեորեմ ( PageIndex {3} )

Եթե ​​ ( mathcal {M} ) - ը ( sigma ) - օղակ է, և (f: S աջակողմյան ձախ) (T, rho ^ { prime} աջ) ) ՝ ( mathcal {M} ) - չափելի է (A, ) ապա

[
f = lim _ {m rightarrow infty} g_ {m} text {(միատեսակ)} A- ի վրա
]

որոշ վերջավոր տարրական քարտեզների համար (g_ {m} ):

Ապացույց

Այսպիսով տրված ( varepsilon> 0, ) կա վերջավոր տարրական քարտեզ (g ) այնպես, որ ( rho ^ { prime} (f, g) < varepsilon )
վրա).

Թեորեմ ( PageIndex {4} )

Եթե ​​ ( mathcal {M} ) ( sigma ) - զանգահարեք (S, ), եթե

[
f_ {m} rightarrow f ( text {pointwise}) text {on} A
]

( ձախ (f_ {m}: S rightarrow ձախ (T, rho ^ { Prime} աջ) աջ), ) և եթե բոլորը (f_ {m} ) mathcal են {M} ) - չափելի է (A, ) - ի վրա, այնպես որ նաև (f ):

Կարճ ասած. (Ա ) չափելի քարտեզների կետային չափը չափելի է (ի տարբերություն շարունակական քարտեզների. Տես ՝ Գլուխ 4, §12):

Ապացույց

Թեորեմի երկրորդ կետով (3, ) յուրաքանչյուր (f_ {m} ) միատեսորեն մոտավորվում է որոշ տարրական քարտեզով (g_ {m} ) միացված (A, ) վրա, այնպես որ վերցնելով ( Վարեպսիլոն = 1 / մ, մ = 1,2, կետեր ),

[
rho ^ { prime} ձախ (f_ {m} (x), g_ {m} (x) աջ) < frac {1} {m} quad text {բոլորի համար} x A տեքստ {և բոլորը} մ:
]

Յուրաքանչյուր (m, ) համար ամրացնելով այդպիսի (g_ {m} ) մենք ցույց ենք տալիս, որ (g_ {m} աջ սլաքը f ( տեքստը {pointwise}) ) վրա (A, ) վրա, ինչպես պահանջվում է Սահմանում (4. )

Իրոք, շտկեք ցանկացած (x Ա-ում: ) Ենթադրելով, (f_ {m} (x) աջակողմյան զ (x): ) Ուստի տրված է ( դելտա> 0 ),

[
( գոյություն ունի k) ( forall m> k) quad rho ^ { prime} ձախ (f (x), f_ {m} (x) աջ) < դելտա:
]

Վերցրեք (կ ) այնքան մեծ, որ, ի լրումն,

[
( forall m> k) quad frac {1} {m} < դելտա:
]

Հետո եռանկյունու օրենքով և ((1), ) - ով մենք ստանում ենք (m> k ) - ի համար

[
սկսեք {հարթեցված} rho ^ { պարզ} ձախ (f (x), g_ {m} (x) աջ) & leq rho ^ { Prime} ձախ (f (x), f_ { m} (x) աջ) + rho ^ { prime} ձախ (f_ {m} (x), g_ {m} (x) աջ) & < delta + frac {1} {m } <2 դելտա վերջ {հավասարեցված}:
]

Քանի որ ( delta ) կամայական է, սա ենթադրում է ( rho ^ { prime} ձախ (f (x), g_ {m} (x) աջ) rightarrow 0, ), այսինքն ՝ (g_ {m} (x) rightarrow f (x) ) ցանկացած (ֆիքսված) (x A- ում ), այդպիսով ապացուցելով (f. quad square ) չափելիությունը

Նշում 3. Եթե

[
mathcal {M} = mathcal {B} (= text {Բորելի դաշտ} S- ում),
]

մենք հաճախ ասում ենք «Borel չափելի» -ի համար ( mathcal {M} ) - չափելիի համար: Եթե

[
mathcal {M} = ձախ { տեքստ {Lebesgue- ի չափելի բազմությունները} E ^ {n} աջ } -ում,
]

փոխարենը մենք ասում ենք «Lebesgue (L) չափելի»: Նմանապես «Lebesgue-Stieltjes (LS) չափելի» -ի համար:


Տարրական գործառույթները և համակարգված երկրաչափությունըՄԱՏԹ-128

Նախահաշիվային դասընթաց, որը ներառում է տարրական ֆունկցիաների, դրանց գծապատկերների և կիրառությունների ուսումնասիրություն, այդ թվում ՝ բազմանդամ, ռացիոնալ, հանրահաշվական գործառույթներ, էքսպոնենտալ, լոգարիթմական և շրջանաձև կամ եռանկյունաչափական գործառույթներ: Մաթեմատիկայում ավագ դպրոցի ուժեղ պատրաստվածություն ունեցող ուսանողների համար, ովքեր պատրաստ չեն հաշվարկի:

Այս դասընթացի նախադրյալների վերաբերյալ տեղեկատվություն ստանալու համար դիմեք Ակադեմիական դասընթացների կատալոգին:


Բովանդակություն

Առնվազն երեք հիմնական դրդապատճառներ կան σ- հանրահաշիվների համար ՝ միջոցառումներ սահմանելը, բազմությունների սահմանները շահարկելը և լրակազմերով բնութագրվող մասնակի տեղեկատվության կառավարումը:

Չափել խմբագրումը

Միջոցառում X գործառույթ է, որը ոչ-բացասական իրական համար է հատկացնում ենթաբազմություններին X կարելի է համարել, որ այն ճշգրիտ հասկացություն է դարձնում «չափի» կամ «ծավալի» հասկացությունների համար: Մենք ուզում ենք, որ տարանջատված բազմությունների միության չափը լինի դրանց անհատական ​​չափերի հանրագումարը, նույնիսկ տարանջատված բազմությունների անսահման հաջորդականության համար:

Ինչ-որ մեկը կցանկանար նշանակել ամեն ենթաբազմություն X, բայց շատ բնական միջավայրերում դա հնարավոր չէ: Օրինակ ՝ ընտրության աքսիոմը ենթադրում է, որ երբ դիտարկվող չափը իրական գծի ենթաբազմությունների երկարության սովորական հասկացությունն է, ապա գոյություն ունեն հավաքածուներ, որոնց համար չափ չկա, օրինակ ՝ Վիտալիի բազմությունները: Այս պատճառով փոխարենը կարելի է համարել արտոնյալ ենթաբազմությունների ավելի փոքր հավաքածու X, Այս ենթաբազմությունները կկոչվեն չափելի բազմություններ: Դրանք փակվում են գործառնությունների ներքո, որոնք կարելի էր ակնկալել չափելի բազմությունների համար, այսինքն ՝ չափելի բազմության լրացումը չափելի բազմություն է, իսկ չափելի բազմությունների հաշվելի միությունը չափելի բազմություն է: Այս հատկություններով հավաքածուների ոչ դատարկ հավաքածուները կոչվում են σ-հանրահաշիվներ:

Հավաքածուների սահմանները Խմբագրել

Չափման շատ կիրառումներ, ինչպիսիք են գրեթե հավաստի կոնվերգենցիայի հավանականության գաղափարը, ներառում են բազմությունների հաջորդականությունների սահմաններ: Դրա համար առաջնային է փակվելը հաշվող միությունների և խաչմերուկների ներքո: Սահմանված սահմանները սահմանվում են հետևյալ կերպ σ-հանրահաշիվների վրա.

    Հաջորդականության սահմանային գերակայությունը Ա1, Ա2, Ա3, որոնցից յուրաքանչյուրը ենթաբազմություն է X, է

Ենթածր σ-հանրահաշիվներ

Ամենայն հավանականությամբ, հատկապես պայմանական ակնկալիքի առկայության դեպքում, մեկը վերաբերում է այն հավաքածուներին, որոնք ներկայացնում են դիտարկվող բոլոր հնարավոր տեղեկությունների միայն մի մասը: Այս մասնակի տեղեկատվությունը կարելի է բնութագրել ավելի փոքր σ-հանրահաշվով, որը հիմնական σ- հանրահաշվի ենթաբազմություն է, այն բաղկացած է միայն ենթակետերի հավաքածուից, որոնք կարևոր են միայն և որոշվում են միայն մասնակի տեղեկատվությամբ: Այս գաղափարը լուսաբանելու համար բավական է մի պարզ օրինակ:

Պատկերացրեք, որ դուք և մեկ այլ անձ խաղադրույք եք կատարում մի խաղի վրա, որը ենթադրում է մի քանի անգամ մետաղադրամ նետել և դիտել, թե արդյոք դա գլուխներ է գալիս (Հ) կամ Tails (Տ) Քանի որ դուք և ձեր մրցակիցը յուրաքանչյուրն անսահման հարուստ եք, խաղը տևելու սահմանափակում չկա: Սա նշանակում է, որ ընտրանքային տարածքը Ω պետք է բաղկացած լինի բոլոր հնարավոր անսահման հաջորդականություններից Հ կամ Տ:

Այնուամենայնիվ, հետո ն մետաղադրամի մատնացույց անելը, գուցե ցանկանաք որոշել կամ վերանայել ձեր խաղադրույքների ռազմավարությունը հաջորդ մատով հարվածելուց առաջ: Այդ պահին դիտարկվող տեղեկատվությունը կարելի է նկարագրել առաջինի համար 2 n հնարավորությունների տեսանկյունից ն մատով խփել Ձևականորեն, քանի որ անհրաժեշտ է օգտագործել Ω ենթաբազմություն, սա կոդավորվում է որպես σ-հանրահաշիվ

Սահմանում Խմբագրել

  1. Σ < displaystyle Sigma> - ը փակվում է X- ի լրացման տակ. Եթե S < displaystyle S> - ը Σ < displaystyle Sigma> - ի տարր է, ապա դրա լրացումը X ∖ S է: < displaystyle X setminus S.>
    • Այս համատեքստում X < displaystyle X> համարվում է ունիվերսալ բազմություն:
  2. Σ < displaystyle Sigma> պարունակում է X < displaystyle X> որպես տարր՝ X ∈ Σ < displaystyle X in Sigma.>
    • Ենթադրելով, որ (1) -ը պահպանում է, այս պայմանը համարժեք է դատարկ հավաքածուն պարունակող Σ < displaystyle Sigma> - ին. ∅ ∈ Σ:
    • Σ < displaystyle Sigma> փակ է հաշվելի միավորների ներքոԵթե ​​S 1, S 2, S 3,… < displaystyle S_ <1>, S_ <2>, S_ <3>, ldots> հանդիսանում են Σ < displaystyle Sigma> - ի տարրեր, ապա նրանց միությունը ⋃ i = 1 ∞ S i: = S 1 ∪ S 2 ∪ S 3 ∪ ⋯: < textstyle bigcup _^ < անպիտան> S_: = S_ <1> բաժակ S_ <2> բաժակ S_ <3> բաժակ cdots.>
      • Ենթադրելով, որ (1) և (2) ուժի մեջ են, Դե Մորգանի օրենքներից հետեւում է, որ այս պայմանը համարժեք է Σ < displaystyle Sigma> փակ է հաշվելի խաչմերուկների տակԵթե ​​S 1, S 2, S 3,… < displaystyle S_ <1>, S_ <2>, S_ <3>, ldots> հանդիսանում են Σ < displaystyle Sigma> - ի տարրեր, ապա նրանց խաչմերուկը նույնպես ⋂ i = 1 ∞ S i: = S 1 ∩ S 2 ∩ S 3 ∩ ⋯: < textstyle bigcap _^ < անպիտան> S_: = S_ <1> cap S_ <2> cap S_ <3> cap cdots.>

Համարժեքորեն, σ-հանրահաշիվը բազմությունների հանրահաշիվ է, որը փակվում է հաշվելի միությունների տակ:

Σ-հանրահաշվի տարրերը կոչվում են չափելի բազմություններ: Պատվիրված զույգ (X, Σ), որտեղ X < displaystyle X> բազմություն է, իսկ Σ < displaystyle Sigma> σ- հանրահաշիվ է X- ի վրա, < displaystyle X,> կոչվում է a չափելի տարածություն, Երկու չափելի տարածությունների միջև ֆունկցիան կոչվում է չափելի գործառույթ, եթե յուրաքանչյուր չափելի բազմության նախապատկերը չափելի է: Չափելի տարածությունների հավաքածուն կազմում է կատեգորիա ՝ չափելի գործառույթներով ՝ որպես մորֆիզմներ: Չափերը սահմանվում են որպես գործառույթների որոշակի տեսակներ `σ-հանրահաշվից մինչև [0, ∞]:

Σ-հանրահաշիվը և՛ π – համակարգ է, և՛ Դինկինի համակարգ (λ– համակարգ): Հակադարձումը նույնպես ճիշտ է ՝ Դինկինի թեորեմով (ներքևում):

Դինկինի π-λ թեորեմ Խմբագրել

Այս թեորեմը (կամ դրա հետ կապված միատոն դասի թեորեմը) էական գործիք է հատուկ σ-հանրահաշիվների հատկությունների վերաբերյալ շատ արդյունքներ ապացուցելու համար: Այն կապիտալացնում է հավաքածուների երկու ավելի պարզ դասերի բնույթը, մասնավորապես հետևյալը.

A π-համակարգ Պ X ենթաբազմությունների հավաքածու է, որը փակ է վերջապես շատ խաչմերուկների ներքո, և Dynkin համակարգը (կամ λ- համակարգը) Դ X- ի ենթաբազմությունների հավաքածու է, որը պարունակում է X և փակ է լրացման ներքո և հաշվարկելի միավորումների ներքո անջատվել ենթաբազմություն:

Դինկինի π-λ թեորեմն ասում է, եթե Պ π համակարգ է և Դ պարունակում է Dynkin համակարգ Պ ապա σ-հանրահաշիվ σ (Պ) գեներացվել է Պ պարունակվում է Դ, Քանի որ որոշակի π համակարգերը համեմատաբար պարզ դասեր են, գուցե դժվար չլինի ստուգել, ​​թե բոլոր ներմուծումները ինչ-որ բան են Պ վայելեք քննարկվող գույքը, մինչդեռ, մյուս կողմից, ցույց տալով, որ հավաքածուն Դ հատկության հետ կապված բոլոր ենթաբազմություններից Dynkin համակարգը կարող է նաև լինել պարզ: Դինկինի π-λ թեորեմը ենթադրում է, որ բոլոր հավաքածուները σՊ) վայելել գույքը ՝ խուսափելով այն ստուգել σ – ում կամայական կազմի համար (Պ).

Π-λ թեորեմի հիմնարար օգտագործումներից մեկը `առանձին սահմանված չափումների կամ ինտեգրալների համարժեքության ցուցադրելն է: Օրինակ, այն օգտագործվում է X < displaystyle X> պատահական փոփոխականի հավանականությունը հավասարեցնելու համար Lebesgue-Stieltjes ինտեգրալը, որը սովորաբար կապված է հավանականության հաշվարկման հետ.

Համատեղելով σ-հանրահաշիվները Խմբագրել

    Σ-հանրահաշիվների հավաքածուի խաչմերուկը σ-հանրահաշիվ է: Որպես իր ս-հանրահաշիվ բնույթն ընդգծելու համար, այն հաճախ նշվում է.

Σ-հանրահաշիվներ ենթատարածքների համար Խմբագրել

Կապված σ օղակի Խմբագրման հետ

Σ-հանրահաշիվ Σ < displaystyle Sigma> պարզապես σ օղակ է, որը պարունակում է X ունիվերսալ հավաքածու: < displaystyle X.> [4] Ս-օղակը չպետք է լինի σ-հանրահաշիվ, քանի որ, օրինակ, իրական գծում զրոյական չափման Lebesgue չափման ենթախմբերը ս-օղակ են, բայց ոչ իրական σ. հանրահաշիվ ունի անսահման չափս և այդպիսով հնարավոր չէ ստանալ նրանց հաշվարկելի միավորմամբ: Եթե ​​զրոյական չափման փոխարեն վերցվում է վերջնական Lebesgue չափման չափելի ենթաբազմություն, դրանք օղակ են, բայց ոչ σ-օղակ, քանի որ իրական գիծը կարող է ստացվել նրանց հաշվելի միության կողմից, բայց դրա չափը վերջավոր չէ:

Տպագրական գրառում Խմբագրել

Առանձնվող σ-հանրահաշիվներ Խմբագրել

Ա բաժանվող σ- հանրահաշիվ (կամ տարանջատելի σ-դաշտ) ս-հանրահաշիվ F < ցուցադրման ոճ < mathcal է >>, որը տարանջատելի տարածություն է, երբ դիտվում է որպես մետրային ρ (A, B) = μ (A △ B) < ցուցադրման ոճ rho (A, B) = mu (A < mathbin < եռանկյուն>) մետրային տարածք > B)> համար A, B ∈ F < displaystyle A, B in < mathcal >> և տրված չափում μ < displaystyle mu> (և △ < displaystyle triangle> սիմետրիկ տարբերության օպերատոր լինելով): [5] Նկատի ունեցեք, որ հավաքածուների հաշվարկելի հավաքածուի կողմից առաջացած ցանկացած σ-հանրահաշիվը տարանջատելի է, բայց հակառակը կարիք չունի: Օրինակ, Lebesgue σ-հանրահաշիվը տարանջատելի է (քանի որ Lebesgue- ի յուրաքանչյուր չափելի բազմություն համարժեք է Borel- ի որոշ հավաքածուի), բայց հաշվարկված չէ (քանի որ նրա կարդինալությունն ավելի բարձր է, քան շարունակականությունը):

Բաժանվող չափման տարածությունն ունի բնական կեղծիքաչափականություն, որը այն բաժանում է որպես կեղծիքաչափական տարածք: Երկու բազմությունների միջեւ հեռավորությունը սահմանվում է որպես երկու բազմությունների սիմետրիկ տարբերության չափիչ: Ուշադրություն դարձրեք, որ երկու հստակ բազմությունների սիմետրիկ տարբերությունը կարող է ունենալ զրո չափ, ուստի վերևում նշված կեղծաչափականությունը չպետք է լինի իրական չափանիշ: Այնուամենայնիվ, եթե այն լրակազմերը, որոնց սիմետրիկ տարբերությունը զրոյի չափ ունի, նույնականացվեն մեկ համարժեքության մեկ դասի, արդյունքում ստացված գործակիցների հավաքածուն կարող է պատշաճ կերպով չափագրվել ինդուկցված մետրիկով: Եթե ​​չափման տարածքը տարանջատելի է, կարելի է ցույց տալ, որ համապատասխան մետրային տարածությունն էլ է:

Պարզ հավաքածուի վրա հիմնված օրինակներ Խմբագրել

  • Ընտանիքը բաղկացած է միայն դատարկ հավաքածուից և հավաքածուից X, կոչվում է նվազագույն կամ տրիվիալ σ-հանրահաշիվ ավարտվել է X.
  • Էլեկտրաէներգիայի հավաքածուն X, կոչվում է դիսկրետ σ-հանրահաշիվ.
  • Հավաքածուն <∅, Ա, Ա գ, X> ենթաբազմության կողմից առաջացած պարզ σ-հանրահաշիվն է Ա.
  • Ենթաբազմությունների հավաքածու X որոնք հաշվարկելի են, կամ որոնց լրացումները հաշվարկելի են `σ- հանրահաշիվ է (որը տարբերվում է էներգիայի հավաքածուից) X եթե և միայն եթե X անհաշվելի է): Սա ս – հանրահաշիվն է, որը առաջացնում է առանձնատների դասերը X, Նշում. «Հաշվարկը» պարունակում է վերջավոր կամ դատարկ:
  • Կոմպլեկտների բոլոր միությունների հավաքածուն `հաշվելի բաժանման մեջ X σ-հանրահաշիվ է:

Կանգնեցնելու ժամանակը σ-հանրահաշիվները Խմբագրել

Կամայական ընտանիքի կողմից առաջացած σ- հանրահաշիվ Խմբագրել

Թող Ֆ լինել ենթակետերի կամայական ընտանիք X, Այնուհետև գոյություն ունի եզակի ամենափոքր σ-հանրահաշիվը, որը պարունակում է յուրաքանչյուր հավաքածու Ֆ (չնայած որ Ֆ կարող է լինել կամ չլինել ինքնին σ- հանրահաշիվ): Դա, ըստ էության, բոլոր σ-հանրահաշիվների պարունակությունն է Ֆ, (Տես վերևում σ-հանրահաշիվների հատումները): Այս σ-հանրահաշիվը նշվում է σ (Ֆ) և կոչվում է ստեղծած σ – հանրահաշիվը Ֆ.

Հետո σ (Ֆ) բաղկացած է բոլոր ենթաբազմություններից X որը կարելի է պատրաստել տարրերի Ֆ լրացման, միավորման և խաչմերուկի գործողությունների հաշվարկելի քանակով: Եթե Ֆ դատարկ է, ապա σ (Ֆ) = <X, ∅>, քանի որ դատարկ միությունն ու խաչմերուկը համապատասխանաբար արտադրում են դատարկ բազմություն և ունիվերսալ բազմություն:

Պարզ օրինակի համար հաշվի առեք բազմությունը X = <1, 2, 3>: Հետո <1> եզակի ենթաբազմության կողմից առաջացած σ- հանրահաշիվը σ է (<<11>) = <∅, <1>, <2, 3>, <1, 2, 3 >>: Նշման չարաշահմամբ, երբ ենթաբազմությունների հավաքածուն պարունակում է միայն մեկ տարր, Ա, կարելի է գրել σ (Ա) σ – ի փոխարեն (<Ա>) եթե պարզ է, որ Ա ենթաբազմություն է X նախորդ օրինակում σ (<1)> - ի փոխարեն σ (<1>): Իրոք, օգտագործելով σ (Ա1, Ա2, ) նշանակում է σ (<Ա1, Ա2, >) նույնպես բավականին տարածված է:

Ենթաբազմությունների բազմաթիվ ընտանիքներ կան, որոնք առաջացնում են օգտակար σ-հանրահաշիվներ: Դրանցից մի քանիսը ներկայացված են այստեղ:

Խմբագրել գործառույթի կողմից առաջացած σ-հանրահաշիվ

Եթե զ մի շարքից ֆունկցիա է X մի շարք Յ և Բ –ի ենթաբազմությունների σ – հանրահաշիվ է Յ, ապա ֆունկցիայի կողմից առաջացած σ-հանրահաշիվ զ, նշվում է σ (զ), բոլոր հակադարձ պատկերների հավաքածուն է զ −1 (Ս) հավաքածուների Ս մեջ Բ, այսինքն

Գործառույթ զ հավաքածուից X մի շարք Յ չափելի է ս – ի ենթաբազմությունների σ – հանրահաշվի նկատմամբ X եթե և միայն եթե σ (զ) Ս-ի ենթաբազմություն է:

Մի ընդհանուր իրավիճակ, և լռելյայնորեն հասկանալի է, եթե Բ հստակ նշված չէ, երբ է Յ մետրային կամ տեղաբանական տարածք է և Բ Borel- ի հավաքածուների հավաքածուն է Յ.

Եթե զ գործառույթ է X դեպի Ռ ն ապա σ (զ) առաջանում է այն ենթաբազմությունների ընտանիքի կողմից, որոնք ներդիրների / ուղղանկյունների հակադարձ պատկերներ են Ռ ն :

Օգտակար հատկությունը հետևյալն է. Ենթադրել զ չափելի քարտեզ է (X, ΣX) դեպի (Ս, ΣՍ) և է չափելի քարտեզ է (X, ΣX) դեպի (Տ, ΣՏ) Եթե ​​գոյություն ունի չափելի քարտեզ ժ ից (Տ, ΣՏ) դեպի (Ս, ΣՍ) այնպիսին է, որ զ(x) = ժ(է(x)) բոլորի համար x, ապա σ (զ) ⊂ σ (է) Եթե Ս վերջավոր է կամ անհամար անսահման կամ, ընդհանուր առմամբ, (Ս, ΣՍ) ստանդարտ Borel տարածություն է (օրինակ `բաժանելի ամբողջական մետրային տարածություն` կապված Borel հավաքածուների հետ), ապա հակառակը նույնպես ճիշտ է: [7] Բորելի ստանդարտ տարածությունների օրինակները ներառում են Ռ ն իր Borel հավաքածուներով ու Ռ ∞ ստորև նկարագրված գլան σ- հանրահաշվի հետ:

Borel and Lebesgue σ-algebras Խմբագրել

Կարևոր օրինակ է Բորելի հանրահաշիվը ցանկացած տեղաբանական տարածության վրա. Բաց հավաքածուների (կամ համարժեքորեն, փակ բազմությունների կողմից) առաջացած σ-հանրահաշիվը: Նշենք, որ այս σ-հանրահաշիվը, ընդհանուր առմամբ, ամբողջ ուժային հավաքածուն չէ: Ոչ տրիվիալ օրինակի համար, որը Borel հավաքածու չէ, տե՛ս Vitali կամ Non-Borel հավաքածուները:

Էվկլիդյան տարածության վրա Ռ ն , կարևոր է ևս մեկ σ-հանրահաշիվը. Lebesgue- ի չափելի բոլոր բազմությունների: Այս σ-հանրահաշիվը պարունակում է ավելի շատ հավաքածուներ, քան Borel σ- հանրահաշիվի վրա Ռ ն և նախընտրելի է ինտեգրման տեսության մեջ, քանի որ այն տալիս է ամբողջական չափման տարածք:

Արտադրանքի σ-հանրահաշիվ Խմբագրել

For Borel σ- հանրահաշիվը Ռ ն առաջանում է կիսաանվերջ ուղղանկյունների և վերջավոր ուղղանկյունների միջոցով: Օրինակ,

Այս երկու օրինակներից յուրաքանչյուրի համար առաջացնող ընտանիքը π- համակարգ է:

Մխոցների հավաքածուների կողմից առաջացած σ-հանրահաշիվ Խմբագրել

հանրահաշիվ է, որն առաջացնում է Հ գլան σ-հանրահաշիվ X- ի համար: Այս σ-հանրահաշիվը Borel σ- հանրահաշվի ենթալեգրա է, որը որոշվում է R T < displaystyle mathbb- ի արտադրանքի տեղաբանությամբ ^ < մաթբբ >> սահմանափակված է X- ով:


Գլուխ VI Չափվող գործառույթներ

Գործառույթը զ սկսած Կ դեպի Ե կոչվում է «չափելի», եթե դրա հետ քաշումը, ցանկացած ինտեգրվող ֆունկցիայով, ինտեգրելի է: Յուրաքանչյուր ինտեգրվող գործառույթ չափելի է: Այս հատկությունը հետևում է ՀԵՄ երկու հատուկ դեպքերում. (1) իրական արժեք ունեցող ֆունկցիաների և (2) Bochner ինտեգրվող ֆունկցիաների համար: Ապացուցված է, որ այս դեպքերից որևէ մեկի դեպքում `գույքը Պ հետեւում է ՀԵՄ, Այնուամենայնիվ, եթե նկարահանման հրապարակում լրացուցիչ ենթադրություններ չեն արվում Ու, սեփականություն Պ չի հետեւում ՀԵՄ, Այսպիսով, եթե ընդհանուր տեսությունը հիմնված է սեփականության վրա Պ, այս հատկությունը պետք է ընդունվի որպես հետագա աքսիոմա: Հիմնված տեսության վրա Կանեփ ճիշտ կլինի, մասնավորապես, իրական գնահատված գործառույթների բավարարման համար ՀԵՄ և Bochner ինտեգրվող գործառույթները: Չափվող ֆունկցիան, որը կապված է ինտեգրվող ֆունկցիայով, ինտեգրելի է: Եթե ​​չափելի ֆունկցիաների հաջորդականությունը մերձեցվում է գրեթե ամենուր, ապա դրա սահմանը չափելի է: Եթե ​​չափելի ֆունկցիաների հաջորդականությունը ասիմպտոտիկ կերպով միաձուլվում է, դրա սահմանը չափելի է: Չափելի գործառույթների ամբողջությունը գծային տարածություն է: Չափելի ֆունկցիայի մոդուլը չափելի է: Երկու չափելի գործառույթների հատումն ու միավորումը չափելի են:


Երբ սկսում եք դասընթաց ստեղծել, ցանկանում եք նախագծել `հաշվի առնելով վերջը: Դրան մոտենալու լավագույն միջոցը սկսելն է ՝ գրելով չափելի, ուսման նպատակներ: Ուսուցման արդյունավետ նպատակներն օգտագործում են գործողության բայեր ՝ նկարագրելու համար այն, ինչ ցանկանում եք, որ ձեր ուսանողները կարողանան անել դասընթացի կամ միավորի ավարտին: Գնահատումները դասընթացի ակնկալիքներին համապատասխանեցնելը շատ ավելի հեշտ է, երբ դու սկզբից գրել ես չափելի նպատակներ:

  1. Որոշեք գոյականը կամ այն ​​բանը, որը ցանկանում եք սովորել ուսանողները:
    • Օրինակ ՝ հետազոտական ​​գործընթացի յոթ քայլ
  2. Բացահայտեք ձեր ուզած գիտելիքների մակարդակը: Բլումի տաքսոնոմիայում ուսուցման վեց մակարդակ կա: Կարևոր է ընտրել ուսման համապատասխան մակարդակը, քանի որ դա ուղղակիորեն ազդում է ձեր ուսանողների ուսումը չափելու համար ձեր կողմից ընտրված գնահատման տեսակի վրա:
    • Օրինակ. Իմանալ հետազոտության գործընթացի յոթ քայլերը (ընկալման մակարդակ)
  3. Ընտրեք բայ, որը դիտարկելի է ՝ սովորելու համապատասխան մակարդակում պահվածքը նկարագրելու համար:
    • Օրինակ ՝ նկարագրեք այս քայլերը
  4. Ավելացրեք լրացուցիչ չափանիշներ ՝ ցույց տալու, թե ինչպես կամ երբ արդյունքը կլինի դիտարկելի ՝ ուսանողի համար ենթատեքստ ավելացնելու համար:
    • Թուղթ գրելիս նկարագրեք հետազոտության գործընթացի յոթ քայլերը:

Ահա մեր տեսած ուսումնառության նպատակների և դրանց վերանայման մի քանի օրինակներ.

Դասընթացի մակարդակի արդյունքների օրինակներ

  • Բնօրինակը ՝ Հասկացեք քրեական արդարադատության ամերիկյան համակարգը:
  • Վերանայված վարկած. Նկարագրեք ամերիկյան քրեական արդարադատության համակարգի պատմությունը:

Հասկանալը չափելի բայ չէ, այնուամենայնիվ, դասավանդողի նպատակն էր ուսանողներին հնարավորություն տալ նկարագրել, ինչը չափելի է:

  • Բնօրինակը ՝ Նկարագրեք և ստեղծեք ձեր կազմակերպության սոցիալական մեդիայի պլան:
  • Վերանայված վարկած. Ստեղծեք սոցիալական մեդիայի ծրագիր ձեր կազմակերպության համար:

Նկարագրեք և ստեղծեք ուսման երկու տարբեր մակարդակներ, և կտրականապես առաջարկվում է, որ խուսափեք ունենալ մեկից ավելի գործողությունների բայ: Ստեղծելը սովորելու ավելի բարձր մակարդակ է, քան նկարագրելը, հետևաբար կարելի է ենթադրել, որ դուք կկարողանաք նկարագրել գործընթացը մինչ այն կիրառելը:

Միավորի մակարդակի օրինակներ

  • Բնօրինակը ՝ Հասկանալ խմբագրման տարրերը:
  • Վերանայված վարկած. Բացահայտեք խմբագրման տարրերը, ներառյալ կազմը, կարգավորումը և լուսավորությունը:

Հասկանալը չափելի բայ չէ, և դա չափազանց լայն էր միավորի մակարդակի նպատակի համար: Հետեւաբար, մենք նեղացրեցինք ուշադրությունը:

Լրացրեք վիկտորինան ուսանողի համար գործողության նյութ է, այլ ոչ թե ուսման նպատակ: Եթե ​​ձեր գնահատումն օգտագործվում է ձեր նպատակին հասնելու համար, ապա դուք կցանկանաք գրել չափելի նպատակ, որը նկարագրում է գնահատման բովանդակությունը: Որպեսզի որակի հարցերի չափորոշիչները բավարարեն դասընթացը, այն պետք է ունենա ուսման նպատակներ, որոնք չափելի են, և գնահատումները պետք է համապատասխանեցվեն ուսման նպատակներին: Օրինակ, եթե ձեր ուսման նպատակը ունի «նույնականացնել» գործողության բայը, ապա դուք չեք ցանկանում ունենալ գնահատական, որը վեր է ուսման այդ մակարդակից, օրինակ ՝ թեման վերլուծելը: Մյուս կողմից, եթե դուք ունեք կիրառական մակարդակի բայ, օրինակ `« ձևավորում », ապա դուք չեք ցանկանում գնահատել ուսման նպատակը միայն բազմակի ընտրությամբ, գիտելիքների մակարդակի վիկտորինայով: Հիշեք, որ գնահատումներ կազմելիս դիտեք գործողության բայը, որն օգտագործվում է ձեր ուսումնառության նպատակի համար և կիրառելու սովորելու մակարդակը: Համահեղինակ է Quality Matters- ի փորձագետ Սթիվեն Քրոուֆորդին: Bloom & # 8217s պատկերը, որը ստեղծվել է Ալիսա Ռոբինսոնի կողմից:


8.1. Տարրական և չափելի գործառույթներ

Ստորև բերված են հավանականության գործառույթի որոշ հիմնական հատկություններ:

Ստորև նկար 1.2.1-ը ներկայացնում է ներառման-բացառման սկզբունքը: Ինտուիտիվ կերպով, $ P (A) $ հավանականության գործառույթը չափում է $ A $ հավաքածուի չափը (ենթադրելով չափի համապատասխան սահմանում): Սահմանված $ A $ գումարած հավաքածուի $ B $ չափը հավասար է $ A cup B $ միության չափին գումարած $ A cap B $ խաչմերուկի չափը: $ P (A) + P (B) = P (A բաժակ B) + P (A cap B) $ (քանի որ $ A cap B $ խաչմերուկը երկու անգամ է հաշվում $ P (A) + P (B)) $

Եթե ​​նմուշի տարածությունը վերջավոր է $ Omega = < omega_1, ldots, omega_n > $, ապա տարրական իրադարձությունների $ n $ հավանականությունները սահմանելով ՝ համեմատաբար պարզ է հավանականության գործառույթները: Ավելի կոնկրետ, $ n $ տարրերով ընտրանքային տարածքի համար, ենթադրենք, որ մեզ տրված է $ n $ բացասական թվերի հավաքածու $ : omega Omega > $ - ում այդ գումարը մեկ է: Այնտեղ գոյություն ունի $ P $ եզակի հավանականության գործառույթ այնպիսի իրադարձությունների նկատմամբ, ինչպիսիք են $ P ( < omega >) = p _ < omega> $: Այս հավանականությունը որոշվում է կամայական իրադարձությունների համար `վերջավոր հավելման հատկության միջոցով [ P (E) = sum_ < omega in E> P ( < omega >) = sum_ < omega in E> p_ < omega>. ] Նմանատիպ փաստարկ է գործում այն ​​նմուշային տարածքների համար, որոնք անհամեմատ անսահման են:

Ստորև բերված R կոդը ցույց է տալիս հավանականության նման գործառույթը, որը սահմանված է $ Omega = <1,2,3,4 > $ -ում ՝ օգտագործելով $ p_1 = 1/2 $, $ p_2 = 1/4 $, $ p_3 = p_4 = 1/8 $:


Covid-19 բռնկման պատճառով այս կիսամյակի բոլոր դասախոսությունները կլինեն առցանց: Ես նախատեսում եմ դրանք տեղադրել այստեղ և Գրատախտակին: Գրատախտակի տարբերակները փակ են վերնագրով լսողության խանգարումների, աղմկոտ միջավայրում լսող յուրաքանչյուրի կամ յուրաքանչյուրի համար, ով նախընտրում է չլսել իմ ձայնի ձայնը:

Q & ampA նիստերը թվարկված են ստորև բերված աղյուսակում, բայց դրանցից որևէ սլայդ չկա, և այնտեղ նստած են նստաշրջանները, որոնք տեղի են ունենում Microsoft- ի թիմերում:

there
ՇաբաթԴասախոսությունԱմսաթիվԹեմաներ)Տեսանյութի տեղական պատճենԳրատախտակի տեսանյութի պատճենըՍլայդներ
1 1 1 փետրվարի 2021 թ Ներածություն այստեղ այնտեղ այստեղ
1 2 4 փետրվարի 2021 թ Բաժին 0.0 և 1.1.1 ենթաբաժին այստեղ այնտեղ այստեղ
1 3 5 փետրվարի 2021 թ Q & ampA նիստ
2 1 8 փետրվարի 2021 թ Elementary / Jordan չափման ակնարկ այստեղ այնտեղ այստեղ
2 2 11 փետրվարի 2021 թ Հաշվող հաշվողականություն, Հորդանանի և Լեբեսգի կոնստրուկցիաների ակնարկ այստեղ այնտեղ այստեղ
2 3 12 փետրվարի 2021 թ Q & ampA նիստ
3 1 2021 թվականի փետրվարի 15-ին Կարդինալություն, հաշվարկելիություն այստեղ այնտեղ այստեղ
3 2 2021 թվականի փետրվարի 18-ը Մեկնաբանություններ վարժությունների վերաբերյալ, ավելին ՝ հաշվարկելիության մասին այստեղ այնտեղ այստեղ
3 3 2021 թվականի փետրվարի 19-ը Q & ampA նիստ
4 1 22 փետրվարի 2021 թ Lebesgue չափում, Lebesgue- ի ինտեգրման ակնարկ այստեղ այնտեղ այստեղ
4 2 25 փետրվարի 2021 թ Ապացույցներ կառուցելը և գրելը այստեղ այնտեղ այստեղ
4 3 26 փետրվարի 2021 թ Q & ampA նիստ
5 1 1 մարտի 2021 թ Շարունակություն, տատանում և Ռիմանի ինտեգրելիություն այստեղ այնտեղ այստեղ
5 2 4 մարտի 2021 թ Լեբեսգի ինտեգրման տարբեր տարբերակներ այստեղ այնտեղ այստեղ
5 3 5 մարտի 2021 թ Q & ampA նիստ
6 1 8 մարտի 2021 թ Littlewood's three principles, abstract measure and integration here there here
6 2 11 March 2021 What is and isn't new in Subsections 1.4.1-1.4.4 here there here
6 3 12 March 2021 Q&A session
8 1 22 March 2021 Replacing uncountable by countable, uniqueness theorems here there here
8 2 25 March 2021 Lebesgue Dominated Convergence Theorem here there here
8 3 26 March 2021 Q&A session
9 1 29 March 2021 Modes of convergence here there here
9 2 1 April 2021 Fundamental Theorem(s) of Calculus here there here
10 8 April 2021 the Lebesgue Differentiation Theorem and other results here there here
11 1 12 April 2021 Fubini's Theorem here there here
11 2 15 April 2021 Hahn-Carathéodory and the Construction of Product Measure here there here
12 1 19 April 2021 Overview of the semester here here
12 2 22 April 2021 Comments on the exam here there here


Chapter III - Spaces of Bounded, Measurable Function

This chapter presents the L ∞ -space associated with a positive Radon measure on a locally compact space. Two supplementary topologies are presented, which give it the structure of a Saks space. The chapter discusses the basic properties of the corresponding mixed topologies βσ and β1, Both mixed topologies are the topologies of the dual pair (L ∞ , L 1 ), and β1 is the Mackey topology. The latter result is equivalent to the Dunford–Pettis theorem. The chapter presents a proof that C(K) has the Dunford–Pettis property. The assumption that μ is a Radon measure is actually unnecessary, and some remarks on how the results can be extended to L ∞ -spaces associated with abstract measures are provided. The chapter presents β1-continuous linear operators on L ∞ and show that they are induced by vector-valued measures. The theory of measurable functions is presented with values in a Saks space. Some remarks on the Radon–Nikodym property for Banach spaces are also presented.


Number and Operations

If you look at the expectations for Number and Operations, you will see that the content strand is divided into three sections: Number, Operation, and Computation. A Pre-K-2 expectation under Number states, “count with understanding and recognize ‘how many’ in sets of objects.” To make a good math goal for your student, you would want to write something like this:

  • By the end of the year, and given objects, my child will be able to count (by moving objects) up to ____ with ­­­___% accuracy.

Be careful if the expectations use a verb like “understand” as including such a term in your goal would not be measurable. For example, a Grades 6-8 expectation under the Operation tab states, “understand the meaning and effects of arithmetic operations with fractions, decimals, and integers.” You may want to modify this to a goal that is more easily assessed:

  • By the end of the year, and given numeric (or word) problems, my child will be able to add (subtract, multiply, divide) fractions (or decimals, or integers) up to one whole (100….) with ___ % accuracy.
  • By the end of the year, my child will be able to identify the information needed, the correct operation, set up the problem and solve 2-step math word problems.

Each of the variations in parentheses could be a separate goal.


1 պատասխան 1

Expounding on the comments above, there are two paths to show this. The first is proving that for two measurable functions $f,g:Omega omathbb$ (when $mathbb$ is equipped with the Borel $sigma$-algebra), $f+g,min,max$ are also measurable. Then, noting that the supremum is actually a maximum: $f_n(x) = supleftlbracefrac<2^n>mid jinmathbb, frac<2^n>leqmin<2^n,f(x)> ight brace == maxleftlbracefrac<2^n>mid jinmathbbcap[0,2^<2n>], frac<2^n>leqmin<2^n,f(x)> ight brace == maxleftlbrace frac<2^n>chi_^<-1>(left[frac<2^n>,infty ight))>mid j=0,1,ldots,2^<2n> ight brace.$

Perhaps a more direct approach is to rewrite the functions in the following way: $f_n(x) = 2^nchi_([2^n,infty)> + sum_^<2^<2n>-1>frac<2^n>chi_(left[frac<2^n>,frac<2^n> ight))>.$

Linked

Related

Hot Network Questions