Հոդվածներ

2.2. Վեկտորի արժեք ունեցող գործառույթները և տարածության կորերը


Ուսուցման նպատակները

  • Գրիր վեկտոր-գնահատված ֆունկցիայի ընդհանուր հավասարումը բաղադրիչի տեսքով և միավոր-վեկտորի տեսքով:
  • Recանաչել պարամետրային հավասարումները տարածության կորի համար:
  • Նկարագրեք խխունջի ձևը և գրեք դրա հավասարումը:
  • Սահմանեք վեկտորով գնահատված գործառույթի սահմանը:

Վեկտորով գնահատված գործառույթների մեր ուսումնասիրությունը միավորում է գաղափարները նախորդ փոփոխության հաշվից ավելի վաղ ուսումնասիրությունից և վեկտորների նկարագրությունից ՝ նախորդ գլխից երեք չափումներով: Այս բաժնում մենք ընդլայնում ենք հասկացությունները ավելի վաղ գլուխներից և ուսումնասիրում նաև եռաչափ տարածության ոլորաններին վերաբերող նոր գաղափարներ: Այս սահմանումներն ու թեորեմները սատարում են նյութի ներկայացմանը այս գլխի մնացած մասում, ինչպես նաև տեքստի մնացած գլուխներում:

Վեկտորով գնահատված գործառույթի սահմանում

Վեկտորով գնահատված գործառույթների հաշիվն ուսումնասիրելու մեր առաջին քայլը սահմանելն է, թե իրականում որն է վեկտորով գնահատված ֆունկցիան: Դրանից հետո մենք կարող ենք դիտել վեկտորով գնահատված գործառույթների գծապատկերներ և տեսնել, թե ինչպես են դրանք սահմանում կորերը ինչպես երկու, այնպես էլ երեք հարթություններում:

Սահմանում. Վեկտորի արժեք ունեցող գործառույթներ

Վեկտորով գնահատված ֆունկցիան ձևի ֆունկցիա է

[ vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} ; ; տեքստ {կամ} ; ; vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} + h (t) , hat { mathbf {k}}, ]

որտեղ բաղադրիչի գործառույթները (f ), (g ) և (h ), պարամետրի իրական արժեք ունեցող գործառույթներ են (t ). Վեկտորով գնահատված գործառույթները նույնպես գրված են ձևով

[ vecs r (t) = ⟨f (t), , g (t)⟩ ; ; տեքստ {կամ} ; ; vecs r (t) = ⟨f (t), , g (t), , h (t) : ]

Երկու դեպքում էլ ֆունկցիայի առաջին ձևը սահմանում է երկչափ վեկտորի արժեք ունեցող ֆունկցիա; երկրորդ ձևը նկարագրում է եռաչափ վեկտորով գնահատված ֆունկցիա:

(T ) պարամետրը կարող է ընկած լինել երկու իրական թվերի միջև ՝ (a≤t≤b ): Մեկ այլ հավանականություն այն է, որ (t ) - ի արժեքը կարող է վերցնել բոլոր իրական թվերը: Վերջապես, բաղադրիչի գործառույթներն իրենք կարող են ունենալ տիրույթի սահմանափակումներ, որոնք պարտադրում են սահմանափակումներ արժեքի ((t)). Մենք հաճախ օգտագործում ենք (t ) որպես պարամետր, քանի որ (t ) կարող է ներկայացնել ժամանակը:

Օրինակ ( PageIndex {1} ). Վեկտորի արժեք ունեցող գործառույթների գնահատում և տիրույթների որոշում

Հետևյալ վեկտորով գնահատված գործառույթներից յուրաքանչյուրի համար գնահատեք ( vecs r (0) ), ( vecs r ( frac { pi} {2}) ) և ( vecs r ( frac) {2 pi} {3}) ): Այս գործառույթներից որևէ մեկը տիրույթի սահմանափակումներ ունի՞:

  1. ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} )
  2. ( vecs r (t) = 3 tan t , hat { mathbf {i}} + 4 sec t , hat { mathbf {j}} + 5t , hat { mathbf { k}} )

Լուծում

  1. Ֆունկցիայի յուրաքանչյուր արժեքը հաշվարկելու համար գործառույթի մեջ փոխարինեք (t ) - ի համապատասխան արժեքը.

    start {align *} vecs r (0) ; = 4 cos (0) hat { mathbf {i}} + 3 sin (0) hat { mathbf {j}} [4pt] = 4 hat { mathbf {i}} + 0 hat { mathbf {j}} = 4 hat { mathbf {i}} [4pt] vecs r ձախ ( frac { pi} {2} աջ) ; = 4 cos ձախ ( frac {π} {2} աջ) hat { mathbf {i}} + 3 sin ձախ ( frac {π} {2} աջ) hat { mathbf {j}} [4pt] = 0 hat { mathbf {i}} + 3 hat { mathbf {j}} = 3 hat { mathbf {j}} [4pt] vecs r ձախ ( frac {2 pi} {3} աջ) ; = 4 cos ձախ ( frac {2π} {3} աջ) hat { mathbf {i}} + 3 sin ձախ ( frac {2π} {3} աջ) hat { mathbf {j}} [4pt] = 4 ձախ (- tfrac {1} {2} աջ) hat { mathbf {i}} + 3 ձախ ( tfrac { sqrt {3}} { 2} աջ) hat { mathbf {j}} = - 2 hat { mathbf {i}} + tfrac {3 sqrt {3}} {2} hat { mathbf {j}} ավարտ {հարթեցնել *}

    Որոշելու համար, թե արդյոք այս գործառույթը տիրույթի որևէ սահմանափակում ունի, հաշվի առեք բաղադրիչի գործառույթները առանձին: Առաջին բաղադրիչի գործառույթն է (f (t) = 4 cos t ), իսկ երկրորդ բաղադրիչի գործառույթը ՝ (g (t) = 3 sin t ): Այս գործառույթներից ոչ մեկը տիրույթի սահմանափակում չունի, ուստի ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {) տիրույթը j}} ) բոլոր իրական թվերն են:
  2. Ֆունկցիայի յուրաքանչյուր արժեքը հաշվարկելու համար փոխարինեք համապատասխան արժեքը տ գործառույթի մեջ. [ start {align *} vecs r (0) ; = 3 tan (0) hat { mathbf {i}} + 4 sec (0) hat { mathbf {j}} + 5 (0) hat { mathbf {k}} [4pt ] = 0 hat { mathbf {i}} + 4j + 0 hat { mathbf {k}} = 4 hat { mathbf {j}} [4pt] vecs r ձախ ( frac { pi} {2} աջ) ; = 3 tan ձախ ( frac { pi} {2} աջ) hat { mathbf {i}} + 4 վրկ ձախ ( frac { pi} {2} աջ) hat { mathbf {j}} + 5 ձախ ( frac { pi} {2} աջ) hat { mathbf {k}}, , text {որը գոյություն չունի} [4pt] vecs r ձախ ( frac {2 pi} {3} աջ) ; = 3 tan ձախ ( frac {2 pi} {3} աջ) hat { mathbf {i}} + 4 վրկ ձախ ( frac {2 pi} {3} աջ) գլխարկ { mathbf {j}} + 5 ձախ ( frac {2 pi} {3} աջ) hat { mathbf {k}} [4pt] = 3 (- sqrt {3}) hat { mathbf {i}} + 4 (−2) hat { mathbf {j}} + frac {10π} {3} hat { mathbf {k}} [4pt] = (- 3 sqrt {3}) hat { mathbf {i}} - 8 hat { mathbf {j}} + frac {10π} {3} hat { mathbf {k}} end {align * } ] Այս ֆունկցիայի տիրույթի սահմանափակումներ պարզելու համար `հաշվի առեք բաղադրիչի գործառույթները առանձին: Առաջին բաղադրիչի գործառույթն է (f (t) = 3 tan t ), երկրորդ բաղադրիչի գործառույթը ՝ (g (t) = 4 վրկ t), իսկ երրորդ բաղադրիչի գործառույթը ՝ (h (t) = 5 տ ): Առաջին երկու գործառույթները սահմանված չեն ( frac { pi} {2} ) կենտ բազմապատկիչների համար, ուստի գործառույթը չի սահմանվում ( frac { pi} {2} ) կենտ բազմապատկերի համար: Հետևաբար, [ text {D} _ { vecs r} = Big {t , | , t ≠ frac {(2n + 1) pi} {2} Big }, nonumber ] որտեղ (n ) ցանկացած ամբողջ թիվ է:

Ercորավարժություններ ( PageIndex {1} )

Վեկտորով գնահատված գործառույթի համար ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t) , hat { mathbf {i}} + (4t + 1) , hat { mathbf {j}} ), գնահատել ( vecs r (0), , vecs r (1) ) և ( vecs r (−4) ): Այս ֆունկցիան տիրույթի որևէ սահմանափակում ունի՞:

Ակնարկ

Գործառույթի մեջ փոխարինեք (t ) - ի համապատասխան արժեքները:

Պատասխան.

( vecs r (0) = hat { mathbf {j}}, , vecs r (1) = - 2 hat { mathbf {i}} + 5 hat { mathbf {j}} , , vecs r (−4) = 28 hat { mathbf {i}} - 15 hat { mathbf {j}} )

( Vecs r (t) = (t ^ 2−3t) hat { mathbf {i}} + (4t + 1) hat { mathbf {j}} ) տիրույթը բոլոր իրական թվերն են:

Օրինակ ( PageIndex {1} ) ցույց է տալիս մի կարևոր հասկացություն: Վեկտորով գնահատված գործառույթի տիրույթը բաղկացած է իրական թվերից: Տիրույթը կարող է լինել բոլոր իրական թվերը կամ իրական թվերի ենթաբազմություն: Վեկտորով գնահատված գործառույթի տիրույթը բաղկացած է վեկտորներից: Վեկտորով գնահատված ֆունկցիայի տիրույթում յուրաքանչյուր իրական թիվ արտապատկերվում է կամ երկչափ, կամ եռաչափ վեկտորի:

Գծապատկեր վեկտորի արժեք ունեցող գործառույթները

Հիշեցնենք, որ ինքնաթիռի վեկտորը բաղկացած է երկու մեծությունից ՝ ուղղություն և մեծություն: Հաշվի առնելով ինքնաթիռի ցանկացած կետ ( սկզբնական կետ), եթե մենք շարժվում ենք որոշակի ուղղությամբ որոշակի հեռավորության վրա, մենք հասնում ենք երկրորդ կետի: Սա ներկայացնում է վերջնական կետ վեկտորի. Մենք հաշվարկում ենք վեկտորի բաղադրիչները ՝ վերջնական կետի կոորդինատներից հանելով սկզբնական կետի կոորդինատները:

Վեկտորը համարվում է ներսում ստանդարտ դիրք եթե սկզբնական կետը գտնվում է ծագման վայրում: Վեկտորով գնահատված ֆունկցիան գծապատկերելիս մենք սովորաբար գծագրում ենք ֆունկցիայի տիրույթի վեկտորները ստանդարտ դիրքում, քանի որ դա անելը երաշխավորում է գծապատկերի յուրահատկությունը: Այս պայմանագիրը վերաբերում է նաև եռաչափ վեկտորով գնահատված գործառույթների գծապատկերներին: Ձևի վեկտորով գնահատված գործառույթի գրաֆիկը

[ vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} nonumber ]

բաղկացած է բոլոր կետերի հավաքածուից ((f (t), , g (t)) ), և այն ուղին, որի հետագծում է, կոչվում է a ինքնաթիռի կորի, Ձևի վեկտորով գնահատված գործառույթի գրաֆիկը

[ vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} + h (t) , hat { mathbf {k}} չհամարվող ]

բաղկացած է բոլոր կետերի հավաքածուից ((f (t), , g (t), , h (t)) ), և այն ուղին, որը հետագծում է, կոչվում է a տարածության կորի, Վեկտորով գնահատված ֆունկցիա օգտագործելով հարթության կորի կամ տարածության կորի ցանկացած ներկայացում կոչվում է ա վեկտորի պարամետրացում կորի:

Յուրաքանչյուր ինքնաթիռի կորի և տարածության կորը ունի կողմնորոշում, նշվում է կորի վրա գծված սլաքներով, որը ցույց է տալիս կորի երկայնքով շարժման ուղղությունը, երբ (t ) պարամետրի արժեքը մեծանում է:

Օրինակ ( PageIndex {2} ). Վեկտորի արժեք ունեցող գործառույթի գրաֆիկաավորում

Ստեղծեք վեկտորով գնահատված հետևյալ գործառույթներից յուրաքանչյուրի գրաֆիկը.

  1. Ինքնաթիռի կորը, որը ներկայացված է ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} ), ( 0≤t≤2 pi )
  2. Ինքնաթիռի կորը, որը ներկայացված է ( vecs r (t) = 4 cos (t ^ 3) , hat { mathbf {i}} + 3 sin (t ^ 3) , hat { mathbf { j}} ), (0≤t≤ sqrt [3] {2 pi} )
  3. Տիեզերական կորը, որը ներկայացված է ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 4 sin t , hat { mathbf {j}} + t , գլխարկ { mathbf {k}} ), (0≤t≤4 pi )

Լուծում

1. Ինչպես ցանկացած գրաֆիկի դեպքում, մենք սկսում ենք արժեքների աղյուսակից: Դրանից հետո մենք աղյուսակի երկրորդ սյունակում յուրաքանչյուր վեկտորից գծագրում ենք ստանդարտ դիրքում և յուրաքանչյուր վեկտորի վերջնական կետերը միացնում ենք կորի ստեղծման համար (Նկար ( PageIndex {1} )): Այս կորը պարզվում է, որ այն էլիպս է, որի կենտրոնը հենց ծագումն է:

Աղյուսակ ( PageIndex {1} ). Արժեքների աղյուսակ ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} ), (0≤t≤2 pi )
(տ ) ( vecs r (t) ) (տ ) ( vecs r (t) )
(0) (4 hat { mathbf {i}} ) ( pi ) (- 4 hat { mathbf {i}} )
( dfrac { pi} {4} ) (2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} ) ( dfrac {5 pi} {4} ) (- 2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} )
( dfrac { pi} {2} ) ( mathrm {3 hat { mathbf {j}}} ) ( dfrac {3 pi} {2} ) ( mathrm {-3 hat { mathbf {j}}} )
( dfrac {3 pi} {4} ) (-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} ) ( dfrac {7 pi} {4} ) (2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} )
(2 pi ) (4 hat { mathbf {i}} )

2. ( vecs r (t) = 4 cos (t ^ 3) , hat { mathbf {i}} + 3 sin (t ^ 3) , hat { - ի արժեքների աղյուսակ mathbf {j}} ), (0≤t≤ sqrt [3] {2 pi} ) հետևյալն է.

( Vecs r (t) = 4 cos (t ^ 3) , hat { mathbf {i}} + 3 sin (t ^ 3) , hat { mathbf {j համար արժեքների աղյուսակ }} ), (0≤t≤ sqrt [3] {2 pi} )
(տ ) ( vecs r (t) ) (տ ) ( vecs r (t) )
(0) ( mathrm {4 hat { mathbf {i}}} ) ( displaystyle sqrt [3] { pi} ) ( mathrm {-4 hat { mathbf {i}}} )
( displaystyle sqrt [3] { dfrac { pi} {4}} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} ) ( displaystyle sqrt [3] { dfrac {5 pi} {4}} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} )
( displaystyle sqrt [3] { dfrac { pi} {2}} ) ( mathrm {3 hat { mathbf {j}}} ) ( displaystyle sqrt [3] { dfrac {3 pi} {2}} ) ( mathrm {-3 hat { mathbf {j}}} )
( displaystyle sqrt [3] { dfrac {3 pi} {4}} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} ) ( displaystyle sqrt [3] { dfrac {7 pi} {4}} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} )
( displaystyle sqrt [3] {2 pi} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {i}}} )

Այս կորի գծապատկերը նույնպես էլիպս է, որի կենտրոնը սկզբնաղբյուրն է:

3. Մենք անցնում ենք նույն ընթացակարգը եռաչափ վեկտորային գործառույթի համար:

( Mathrm {r (t) = 4 cos t hat { mathbf {i}} + 4 sin t hat { mathbf {j}} + t hat { mathbf {k) արժեքների աղյուսակ }}} ), ( mathrm {0≤t≤4 pi} )
(տ ) ( vecs r (t) ) (տ ) ( vecs r (t) )
( mathrm {0} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {i}}} ) ( mathrm { pi} ) ( mathrm {-4 hat { mathbf {i}}} + pi hat { mathbf {k}} )
( dfrac { pi} {4} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac { pi} {4} hat { mathbf {k}}} ) ( dfrac {5 pi} {4} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac {5 pi} {4} hat { mathbf {k}}} )
( dfrac { pi} {2} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {j}} + frac { pi} {2} hat { mathbf {k}}} ) ( dfrac {3 pi} {2} ) ( mathrm {-4 hat { mathbf {j}} + frac {3 pi} {2} hat { mathbf {k}}} )
( dfrac {3 pi} {4} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac {3 pi} {4} hat { mathbf {k}}} ) ( dfrac {7 pi} {4} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac {7 pi} {4} hat { mathbf {k}}} )
( mathrm {2 pi} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {j}} + 2 pi hat { mathbf {k}}} )

Դրանից հետո արժեքները կրկնվում են, բացառությամբ այն բանի, որ ( hat { mathbf {k}} ) գործակիցը միշտ աճում է ( ( PageIndex {3} )): Այս կորը կոչվում է պարույր: Ուշադրություն դարձրեք, որ եթե ( hat { mathbf {k}} ) բաղադրիչը վերացվի, ապա գործառույթը դառնում է ( vecs r (t) = 4 cos t hat { mathbf {i}} + 4 sin t hat { mathbf {j}} ), որը 4 շառավղով շրջան է, որը կենտրոնացած է ծագման կետի վրա:

Կարող եք նկատել, որ գծապատկերները մասերի ա. և բ. նույնական են Դա տեղի է ունենում այն ​​պատճառով, որ b կորը նկարագրող ֆունկցիան այսպես կոչված a կորը նկարագրող ֆունկցիայի վերամետրաչափումն է: Փաստորեն, ցանկացած կորություն ունի անսահմանափակ քանակությամբ վերամետրաչափում; Օրինակ ՝ մենք կարող ենք նախորդ երեք կորերից որևէ մեկում փոխարինել (t ) (2t ) - ով ՝ առանց կորի ձևը փոխելու: Այն ընդմիջումը, որի վրա սահմանվում է (t ), կարող է փոխվել, բայց վերջ: Մենք վերադառնում ենք այս գաղափարին այս գլխում ավելի ուշ, երբ ուսումնասիրում ենք կամարի երկարության պարամետրացումը: Ինչպես նշվեց, ( PageIndex {3} ) - ում գրաֆիկի կորի ձևի անվանումը խխունջ, Կորը հիշեցնում է զսպանակ, որի շրջանաձեւ խաչմերուկը ներքևից նայում է (z ) - առանցքի երկայնքով: Հնարավոր է, որ խխունջը էլիպսաձեւ լինի խաչմերուկում: Օրինակ ՝ վեկտորով գնահատված գործառույթը ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} + t , hat { mathbf {k}} ) նկարագրում է էլիպսաձեւ պարույր: Այս խխունջի պրոյեկցիան (xy ) - հարթության վրա էլիպս է: Վերջապես, այս խխունջի գծապատկերի սլաքները ցույց են տալիս կորի կողմնորոշումը, երբ (t ) (0 ) - ից անցնում է (4π ):

Ercորավարժություններ ( PageIndex {2} )

Ստեղծել վեկտորով գնահատված գործառույթի գծապատկեր ( vecs r (t) = (t ^ 2−1) hat { mathbf {i}} + (2t − 3) hat { mathbf {j}} ), (0≤t≤3 ):

Ակնարկ

Սկսեք կազմելով արժեքների աղյուսակ, այնուհետև գծանշեք վեկտորները (t ) յուրաքանչյուր արժեքի համար:

Պատասխանել

Այս պահին կարող եք նկատել նմանություն վեկտորով գնահատված գործառույթների և պարամետրացված կորերի միջև: Իրոք, տրված է վեկտորով գնահատված գործառույթ ( vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} ) մենք կարող ենք սահմանել (x = f (t) ) և (y = g (t) ): Եթե ​​ (t ) - ի արժեքների վերաբերյալ սահմանափակում կա (օրինակ, (t ) - ը սահմանափակվում է ([a, b] ) ընդմիջումով որոշ հաստատունների համար (a

Վեկտորով գնահատված գործառույթի սահմաններն ու շարունակականությունը

Այժմ մենք նայում ենք վեկտորով գնահատված գործառույթի սահմանին: Սա կարևոր է հասկանալու համար `վեկտորով գնահատված գործառույթների հաշիվն ուսումնասիրելու համար:

Սահմանում. Վեկտորով գնահատված գործառույթի սահման

Վեկտորով գնահատված գործառույթը ( vecs r ) մոտենում է սահմանին ( vecs L ), քանի որ (t ) մոտենում է (a ), գրված

[ lim limit_ {t to a} vecs r (t) = vecs L, ]

տրամադրված

[ lim limit_ {t to a} big | vecs r (t) - vecs L big | = 0. ]

Հաջորդ օրինակում մենք ցույց ենք տալիս, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել վեկտորով գնահատված գործառույթի սահմանը:

Օրինակ ( PageIndex {3} ). Վեկտորի արժեք ունեցող գործառույթի սահմանի գնահատում

Հետևյալ վեկտորով գնահատված գործառույթներից յուրաքանչյուրի համար հաշվարկեք ( lim limit_ {t to 3} vecs r (t) )

  1. ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t + 4) hat { mathbf {i}} + (4t + 3) hat { mathbf {j}} )
  2. ( vecs r (t) = frac {2t − 4} {t + 1} hat { mathbf {i}} + frac {t} {t ^ 2 + 1} hat { mathbf {j }} + (4 տ − 3) գլխարկ { mathbf {k}} )

Լուծում

  1. Օգտագործեք ref {Th1} հավասարումը և փոխարինեք արժեքը (t = 3 ) երկու բաղադրիչ արտահայտություններում.

[ start {align *} lim limit_ {t to 3} vecs r (t) ; = lim limit_ {t to 3} ձախ [(t ^ 2−3t + 4) hat { mathbf {i}} + (4t + 3) hat { mathbf {j}} աջ] [5pt] = ձախ [ lim սահմանափակումներ {{ 3] (t ^ 2−3t + 4) աջ] hat { mathbf {i}} + ձախ [ lim limit_ {t դեպի 3} (4 տ + 3) աջ] գլխարկ { mathbf {j}} [5pt] = 4 գլխարկ { mathbf {i}} + 15 գլխարկ { mathbf {j}} վերջ {շարել*}]

  1. Օգտագործեք ref {Th2} հավասարումը և փոխարինեք արժեքը (t = 3 ) երեք բաղադրիչ արտահայտություններում.

[ start {align *} lim limit_ {t to 3} vecs r (t) ; = lim limit_ {t 3} ձախ ( dfrac {2t − 4} {t + 1} hat { mathbf {i}} + dfrac {t} {t ^ 2 + 1} hat { mathbf {j}} + (4 տ − 3) hat { mathbf {k}} աջ) [5pt] = ձախ [ lim սահմանափակումներ {{3-ից}} ձախ ( dfrac { 2t − 4} {t + 1} աջ) աջ] գլխարկ { mathbf {i}} + ձախ [ լիմ սահմաններ_ {տ 3} ձախ »( dfrac {t} {t ^ 2 +1} աջ) աջ] գլխարկ { mathbf {j}} + ձախ [ լիմ սահմաններ_ {տ 3) (4 տ − 3) աջ] գլխարկ { mathbf {k}} [5pt] = tfrac {1} {2} hat { mathbf {i}} + tfrac {3} {10} hat { mathbf {j}} + 9 hat { mathbf {k} } end {հարթեցնել *} ]

Ercորավարժություններ ( PageIndex {3} )

Հաշվարկեք ( լիմ սահմանափակումները {{ 2) vecs r (t) ) գործառույթի համար ( vecs r (t) = sqrt {t ^ 2 + 3t - 1} , hat {) գործառույթի համար: mathbf {i}} - (4t-3) hat { mathbf {j}} - sin frac {(t + 1) pi} {2} hat { mathbf {k}} )

Ակնարկ

Օգտագործեք նախորդ թեորեմից ref {Th2} հավասարումը:

Պատասխանել

[ lim limit_ {t to 2} vecs r (t) = 3 hat { mathbf {i}} - 5 hat { mathbf {j}} + hat { mathbf {k}} ]

Այժմ, երբ մենք գիտենք, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել վեկտորով գնահատված գործառույթի սահմանը, մենք կարող ենք սահմանել շարունակականությունը մի կետում նման գործառույթի համար:

Սահմանումներ

Եկեք (f ), (g ), և (h ) լինել գործառույթներ (t ). Հետո, վեկտորով գնահատված գործառույթը ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) գործառույթն է շարունակական կետում (t = a ) եթե առկա են հետևյալ երեք պայմանները.

  1. ( vecs r (a) ) գոյություն ունի
  2. ( lim limit_ {t to a} vecs r (t) ) գոյություն ունի
  3. ( lim limit_ {t to a} vecs r (t) = vecs r (a) )

Նմանապես, վեկտորով գնահատված գործառույթը ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ) է շարունակական կետում (t = a ) եթե առկա են հետևյալ երեք պայմանները.

  1. ( vecs r (a) ) գոյություն ունի
  2. ( lim limit_ {t to a} vecs r (t) ) գոյություն ունի
  3. ( lim limit_ {t to a} vecs r (t) = vecs r (a) )

Ամփոփում

  • Վեկտորով գնահատված գործառույթը գործառույթ է ձևի ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) կամ ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ), որտեղ բաղադրիչը գործում է (f ), (g ), և (h ) պարամետրը իրական արժեք ունեցող գործառույթներ են (t):
  • Ձևի վեկտորով գնահատված գործառույթի գծապատկերը ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) ձևի կոչվում է ա ինքնաթիռի կորի, Ձևի վեկտորով գնահատված գործառույթի գրաֆիկը ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h ( տ) hat { mathbf {k}} ) կոչվում է ա տարածության կորի.
  • Հնարավոր է ներկայացնել կամայական ինքնաթիռի կորը `վեկտորով գնահատված ֆունկցիայի միջոցով:
  • Վեկտորով գնահատված գործառույթի սահմանը հաշվարկելու համար առանձին հաշվարկեք բաղադրիչի գործառույթների սահմանները:

Հիմնական հավասարումներ

  • Վեկտորով գնահատված գործառույթ
    ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) կամ ( vecs r (t) = f ( տ) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ) կամ ( vecs r (t ) = ⟨F (t), g (t)⟩ ) կամ ( vecs r (t) = ⟨f (t), g (t), h (t)⟩ )

  • Վեկտորով գնահատված գործառույթի սահման
    ( լիմ սահմանափակումներ {տ ա} վեկտորներ r (տ) = [ լիմ սահմաններ {{ ա} զ (տ)] գլխարկ { մաթբֆ {i}} + [ լիմ սահմաններ_ {t a} g (t)] hat { mathbf {j}} ) կամ ( lim limit_ {t to a} vecs r (t) = [ lim limit_ {t դեպի a} f (t)] hat { mathbf {i}} + [ lim limit_ {t to a} g (t)] hat { mathbf {j}} + [ lim limit_ { t to a} h (t)] hat { mathbf {k}} )

Բառարան

բաղադրիչի գործառույթները
Վեկտորով գնահատված գործառույթի բաղադրիչ գործառույթները ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) են ( f (t) ) և (g (t) ), և վեկտորով գնահատված գործառույթի բաղադրիչ գործառույթները ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ) են (f (t) ), (g (t) ) և (h (տ) )
խխունջ
պարուրանի տեսքով եռաչափ կոր
վեկտորով գնահատված գործառույթի սահման
վեկտորով գնահատված գործառույթը ( vecs r (t) ) ունի սահմանափակում ( vecs L ), քանի որ (t ) մոտենում է (a ), եթե ( lim սահմանափակումներ {t a) ձախ | vecs r (t) - vecs L աջ | = 0 )
ինքնաթիռի կորի
կարգավորված զույգերի բազմություն ((f (t), g (t)) ) միասին ՝ դրանց որոշիչ պարամետրային հավասարումների (x = f (t) ) և (y = g (t) )
վերամաչափաչափում
տրված վեկտորով գնահատված ֆունկցիայի այլընտրանքային պարամետրացում
տարածության կորի
պատվիրված եռապատկումների բազմություն ((f (t), g (t), h (t)) ) միասին ՝ դրանց որոշիչ պարամետրային հավասարումների հետ միասին ((x = f (t) ), (y = g (t) ) և (z = h (t) )
վեկտորի պարամետրացում
Վեկտորի գնահատմամբ գործառույթ օգտագործելով ՝ ինքնաթիռի կամ տարածության կորի ցանկացած ներկայացում
վեկտորով գնահատված գործառույթ
ձևի ֆունկցիա ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) կամ ( vecs r () t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ), որտեղ բաղադրիչը գործառույթներ (f ), (g ), և (h ) (t ) պարամետրի իրական արժեք ունեցող գործառույթներն են:

Ներդրողներ

  • Gilիլբերտ Սթրանգը (MIT) և Էդվին «edեդ» Հերմանը (Հարվի Մուդ) ՝ շատ ներդրող հեղինակներով: OpenStax- ի այս բովանդակությունը լիցենզավորված է CC-BY-SA-NC 4.0 լիցենզիայով: Ներբեռնեք անվճար http://cnx.org կայքում:

  • Խմբագրվել է Փոլ ebիբուրգերի կողմից (Մոնրոյի համայնքային քոլեջ)


Դիտեք տեսանյութը: Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс. Математика (Հոկտեմբեր 2021).