Հոդվածներ

9.6. Մոդելավորում եռանկյունաչափական հավասարումներով - մաթեմատիկա


Ենթադրենք, մենք նկարագրել ենք Նյու Յորքի միջին օրական ջերմաստիճանը մեկ տարվա ընթացքում: Մենք ակնկալում էինք, որ ամենացածր ջերմաստիճանը կգտնենք հունվարին և փետրվարին, իսկ ամենաբարձր ջերմաստիճանը ՝ հուլիս-օգոստոս ամիսներին: Այս ծանոթ ցիկլը կրկնում է տարեցտարի, և եթե մենք գրաֆիկը երկարացնեինք մի քանի տարիների ընթացքում, դա նման կլիներ պարբերական ֆունկցիայի:

Պարբերական են նաև շատ այլ բնական երեւույթներ: Այսպիսով, ինչպե՞ս կարող ենք մոդելավորել հավասարություն, որն արտացոլում է պարբերական վարքը: Նախ, մենք պետք է հավաքենք և գրանցենք տվյալներ: Դրանից հետո մենք գտնում ենք գործառույթ, որը հիշեցնում է դիտարկված օրինաչափություն: Վերջապես, մենք կատարում ենք գործառույթի անհրաժեշտ փոփոխությունները `հուսալի մոդել ստանալու համար: Այս բաժնում մենք ավելի խորը կանդրադառնանք պարբերական վարքի հատուկ տեսակների և տվյալների մոդելի հավասարումների `մոդելի հավասարումների վրա:

Սինուսոիդային ֆունկցիայի ամպլիտուդի և ժամանակաշրջանի որոշում

Դիտարկվում է ցանկացած միջնորդություն, որը կրկնվում է ֆիքսված ժամանակահատվածում պարբերական շարժում և կարող է մոդելավորվել ա սինուսոիդային ֆունկցիա, Սինուսոիդային ֆունկցիայի ամպլիտուդը հեռավորությունն է միջին գծից մինչև առավելագույն արժեքը կամ միջին գծից մինչև նվազագույն արժեքը: Միջին գիծը միջին արժեքն է: Sinusoidal գործառույթները տատանվում են միջին գծի վերևում և ներքևում, պարբերական են և կրկնում են սահմանված ցիկլերի արժեքները: Հիշեք Սինուսի և Կոսինուսի գործառույթների գրաֆիկներից, որոնք ժամանակաշրջան սինուսի ֆունկցիայի և կոսինուսային ֆունկցիայի է (2π ): Այլ կերպ ասած, (x ) ցանկացած արժեքի համար,

[ sin (x ± 2πk) = sin x ; տեքստ {և} ; cos (x ± 2πk) = cos x ]

որտեղ (k ) ամբողջ թիվ է:

ՍԻՆՈՒՍՈԻԴԱԼ ՀԱՎԱՍԱՐԱԿՈՒՄՆԵՐԻ Ստանդարտ ձևը

Սինուսոիդային հավասարման ընդհանուր ձևերը տրված են որպես

[y = A sin (Bt − C) + D ]

կամ

[y = A cos (Bt − C) + D ]

որտեղ ( text {amplitude} = | A |, B ) կապված է այնպիսի ժամանակահատվածի հետ, որ ( text {period} = frac {2π} {B}, C ) փուլային հերթափոխն այնպիսին է, որ ( frac {C} {B} ) նշանակում է հորիզոնական տեղաշարժ, և (D ) ներկայացնում է ուղղաձիգ հերթափոխը գծապատկերի մայր գծապատկերից:

Նշենք, որ մոդելները երբեմն գրվում են ինչպես

[y = a sin (ω t ± C) + D ]

կամ

[y = a cos (ω t ± C) + D, ]

ժամանակահատվածով, որը տրված է որպես ( frac {2π} {ω} ):

Սինուսի և կոսինուսային գծապատկերների տարբերությունն այն է, որ սինուսային գրաֆիկը սկսվում է ֆունկցիայի միջին արժեքից, իսկ կոսինուսային գրաֆիկը ՝ ֆունկցիայի առավելագույն կամ նվազագույն արժեքից:

Օրինակ ( PageIndex {1} ). Ցույց տալը, թե ինչպես եռանկյունաչափական ֆունկցիայի հատկությունները կարող են փոխակերպել գրաֆիկը

Showուցադրել (y = sin x ) գրաֆիկի վերափոխումը (y = 2 sin (4x− frac {π} {2}) + 2 ) գրաֆիկի:

Լուծում

Հաշվի առեք Նկար ( PageIndex {1} ) գծապատկերների շարքը և հավասարման յուրաքանչյուր փոփոխության կերպարը փոխում է պատկերը:

  1. (Y = sin x ) - ի հիմնական գրաֆիկը
  2. Ամպլիտուդիան 1-ից 2-ը փոխելը առաջացնում է (y = 2 sin x ) գծապատկերը:
  3. Սինուսի գործառույթի ժամանակահատվածը փոխվում է (B, ) արժեքով այնպես, որ ( text {period} = frac {2π} {B}: ) Այստեղ մենք ունենք (B = 4, ) որը թարգմանվում է ( frac {π} {2} ) ժամանակահատված: Գրաֆիկը լրացնում է մեկ ամբողջական ցիկլ ( frac {π} {2} ) միավորներով:
  4. Գրաֆիկը ցույց է տալիս հորիզոնական տեղաշարժ, որը հավասար է ( frac {C} {B} ), կամ ( frac { frac {π} {2}} {4} = frac {π} {8} ) ,
  5. Վերջապես, գրաֆիկը ուղղահայաց կերպով տեղափոխվում է (D ) արժեքով: Այս դեպքում գծապատկերը վեր է տեղափոխվում 2 միավորով:

Օրինակ ( PageIndex {2} ). Գտնում ենք գործառույթի ամպլիտուտը և ժամանակահատվածը

Գտեք հետևյալ գործառույթների ամպլիտուդիան և ժամանակահատվածը և գծագրեք մեկ ցիկլ:

  1. (y = 2 sin ( frac {1} {4} x) )
  2. (y = −3 sin (2x + frac {π} {2}) )
  3. (y = cos x + 3 )

Լուծում

Մենք այս խնդիրները կլուծենք ըստ մոդելների:

  1. (y = 2 sin ( frac {1} {4} x) ) սինուս է պարունակում, ուստի մենք օգտագործում ենք [y = A sin (Bt + C) + D nonumber ձևը: Մենք գիտենք, որ (| A | ) ամպլիտուդիան է, ուստի ամպլիտուդը 2 է: eriամկետը ( frac {2π} {B} ), այնպես որ ժամանակահատվածը [ start {align *} dfrac {2π} {B} & = dfrac {2π} { frac {1} {4}} & = 8π end {align *} ] Տե՛ս գծապատկերում նկարը ( PageIndex {3} ):
  1. (y = −3 sin (2x + frac {π} {2}) ) ներառում է սինուս, ուստի մենք օգտագործում ենք [y = A sin (Bt − C) + D ոչ համարանիշ ] ձևը: Ամպլիտուտը (| A | ), ուստի ամպլիտուդը (| −3 | = 3. ) Քանի որ (A ) բացասական է, գրաֆիկը արտացոլվում է x-աքսիս: Pամկետը ( frac {2π} {B} ) է, ուստի ժամանակաշրջանն է [ dfrac {2π} {B} = dfrac {2π} {2} = π չհամարվող ] Գրաֆիկը տեղափոխվում է թողել են ( frac {C} {B} = frac { frac {π} {2}} {2} = frac {π} {4} ) միավորները: Տե՛ս Նկար ( PageIndex {4} ):
  1. (y = cos x + 3 ) ներառում է կոսինուս, ուստի մենք օգտագործում ենք ձևը
  2. [y = A cos (Bt ± C) + D անթիվ ] Ամպլիտուդիան (| A | ) է, ուստի ամպլիտուդը 1 է, իսկ ժամանակահատվածը ՝ (2π ) (Նկար ( PageIndex {5 } ): Սա կոսինուսային ստանդարտ ֆունկցիան է, որը տեղափոխվել է երեք միավորով վերև:

Exորավարժություններ ( PageIndex {1} ):

Որո՞նք են գործառույթի ամպլիտուդը և ժամանակահատվածը (y = 3 cos (3πx) ):

Պատասխանել

Ամպլիտուդը (3, ) է, իսկ ժամանակահատվածը ՝ ( frac {2} {3} ):

Գտեք հավասարումներ և գրաֆիկական սինուսոիդային ֆունկցիաներ

Սինուսոիդային ֆունկցիաների գրաֆիկական մեթոդներից մեկը հինգ հիմնական կետեր գտնելն է: Այս կետերը կհամապատասխանեն հավասար երկարության ընդմիջումներին, որոնք ներկայացնում են ժամանակաշրջանի ( frac {1} {4} ) ժամանակահատվածը: Հիմնական կետերը ցույց կտան առավելագույն և նվազագույն արժեքների տեղադրությունը: Եթե ​​ուղղահայաց տեղաշարժ չկա, դրանք նույնպես ցույց կտան x-ընդհատում է Օրինակ ՝ ենթադրենք, որ ուզում ենք գրաֆիկավորել (y = cos θ.) Ֆունկցիան: Մենք գիտենք, որ ժամանակահատվածը (2π ) է, ուստի առանցքային կետերի միջև ընկած ժամանակահատվածը գտնում ենք հետևյալ կերպ.

[ frac {2π} {4} = frac {π} {2} չհամարվող ]

(Θ = 0, ) - ից սկսած մենք հաշվարկում ենք առաջինը y-արժեքը, (0 f) - ին ավելացնել ( frac {π} {2} ) միջակայքի երկարությունը և հաշվարկել երկրորդը յ-արժեքը Դրանից հետո մենք մի քանի անգամ ավելացնում ենք ( frac {π} {2} ), մինչև որոշվեն հինգ հիմնական կետերը: Վերջին արժեքը պետք է հավասար լինի առաջին արժեքին, քանի որ հաշվարկներն ընդգրկում են մեկ լրիվ ժամանակահատված: Աղյուսակին նման սեղան կազմելով (( PageIndex {1} )) այս հիմնական կետերը մենք կարող ենք հստակ տեսնել ( PageIndex {6} ) նկարում նշված գծապատկերի վրա:

Աղյուսակ ( PageIndex {1} )
(θ )(0) ( frac {π} {2} ) (π ) ( frac {3π} {2} ) (2π )
(y = cos θ )(1)(0)−1−1(0)(1)

Օրինակ ( PageIndex {3} ). Հիմնական կետերի օգտագործմամբ սինուսոիդային ֆունկցիաների գրաֆիկաավորում

Գծապատկերեք գործառույթը (y = cos4 cos (πx) ) ՝ օգտագործելով ամպլիտուդը, ժամանակահատվածը և առանցքային կետերը:

Լուծում

Ամպլիտուդը (| −4 | = 4. ) Periodամանակահատվածն է ( frac {2π} {ω} = frac {2π} {π} = 2. ) (Հիշենք, որ մենք երբեմն անդրադառնում ենք ( B ) որպես (ω. )) Գրաֆիկի մեկ ցիկլ կարելի է գծել ([0,2] ) միջակայքի վրա: Հիմնական կետերը գտնելու համար ժամանակահատվածը բաժանվում ենք 4-ի: Պատրաստեք Աղյուսակին նման նկար ( PageIndex {1} ) :, սկսած (x = 0 ) -ից և ապա ավելացնելով ( frac {1} { 2} ) հաջորդաբար (x ) և հաշվարկել (y. ) Տե՛ս Նկար ( PageIndex {7} ) գծապատկերը:

Աղյուսակ ( PageIndex {1} )
(x )(0) ( frac {1} {2} )(1) ( frac {3} {2} )(2)
(y = −4 cos (πx) )(−4)(0)(4)(0)(−4)

Ercորավարժություններ ( PageIndex {2} ):

Գծապատկերեք գործառույթը (y = 3 sin (3x) ) ՝ օգտագործելով ամպլիտուդը, ժամանակահատվածը և հինգ հիմնական կետերը:

(x )0 ( frac {π} {6} ) ( frac {π} {3} ) ( frac {π} {2} ) ( frac {2π} {3} )
(3 sin (3x) )030-30
Պատասխանել

Պարբերական վարքի մոդելավորում

Այժմ մենք այս գաղափարները կկիրառենք պարբերական վարքագիծ պարունակող խնդիրների նկատմամբ:

Օրինակ ( PageIndex {4} ). Հավասարության մոդելավորում և սինուսոիդային գծապատկերի ուրվագծում չափանիշների համապատասխանեցում

Օրեգոնի մի փոքր քաղաքի միջին ամսական ջերմաստիճանը տրված է Աղյուսակում ( PageIndex {1} ): Գտեք (y = A sin (Bt − C) + D ) ձևի սինուսոիդային ֆունկցիա, որը համապատասխանում է տվյալներին (կլորից մոտակա տասներորդ) և գծագրեք գծապատկերը:

Աղյուսակ ( PageIndex {2} )
ԱմիսԵրմաստիճանը, (^ oF )
Հունվար42.5
Փետրվար44.5
Մարտ48.5
Ապրիլ52.5
Մայիս58
Հունիս63
Հուլիս68.5
Օգոստոս69
Սեպտեմբեր64.5
Հոկտեմբեր55.5
Նոյեմբեր46.5
Դեկտեմբեր43.5

Լուծում

Հիշեցնենք, որ ամպլիտուդը հայտնաբերվում է բանաձևի միջոցով

[A = dfrac { text {ամենամեծ արժեքը mմանրագույն արժեքը}} {2} ]

Այսպիսով, ամպլիտուդիան է

[ start {align *} | A | & = dfrac {69−42.5} {2} & = 13.25 end {align *} ]

Տվյալներն ընդգրկում են 12 ամիս ժամանակահատված, ուստի ( frac {2π} {B} = 12 ), որը տալիս է (B = frac {2π} {12} = frac {π} {6} ):

Ուղղահայաց հերթափոխը հայտնաբերվում է `օգտագործելով հետևյալ հավասարումը:

[D = dfrac { text {ամենաբարձր արժեքը + ամենացածր արժեքը}} {2} ]

Այսպիսով, ուղղահայաց հերթափոխը

[ start {align *} D & = dfrac {69 + 42.5} {2} & = 55.8 end {align *} ]

Մինչ այժմ մենք ունենք հավասարություն (y = 13.3 sin ( frac {π} {6} x − C) +55.8 ):

Հորիզոնական հերթափոխը գտնելու համար մենք մուտքագրում ենք առաջին ամսվա (x ) և (y ) արժեքները և լուծում ենք (C ) - ի համար:

[ start {align *} 42.5 & = 13.3 sin ( frac {π} {6} (1) −C) +55.8 −13.3 & = 13.3 sin ( frac {π} {6} - Գ) −1 & = sin ( frac {π} {6} −C) ; ; ; ; ; ; ; ; ; sin θ = −1 → θ = - frac {π} {2} frac {π} {6} C = - frac {π} {2} frac {π} {6} + frac {π} {2} & = C & = frac {2π} {3} end {հարթեցնել *} ]

Մենք ունենք հավասարություն (y = 13.3 sin ( frac {π} {6} x− frac {2π} {3}) + 55.8 ): Տե՛ս գծապատկերում նկարը ( PageIndex {9} ):

Օրինակ ( PageIndex {5} ). Պարբերական շարժման նկարագրություն

Union Station- ի պատին տեղադրված մեծ ժամացույցի ժամացույցի սլաքը ունի 24 դյույմ երկարություն: Կեսօրին ժամացույցի ծայրի ծայրը առաստաղից 30 դյույմ է: 3-ին երեկոյան ծայրը առաստաղից 54 դյույմ է, իսկ երեկոյան 6-ին `78 դյույմ: PMամը 21-ին կրկին առաստաղից 54 դյույմ է, իսկ կեսգիշերին ժամացույցի ծայրը վերադառնում է իր նախնական դիրքին առաստաղից 30 դյույմ հեռավորության վրա: Թող (y ) հավասար լինի կեսօրվա ժամացույցի ծայրից մինչև առաստաղ հեռավորությունը (x ) ժամ անց: Գտեք ժամացույցի շարժումը մոդելավորող հավասարումը և գծագրեք գծապատկերը:

Լուծում

Սկսեք կազմելով արժեքների աղյուսակ, ինչպես ցույց է տրված Աղյուսակում ( PageIndex {3} ):

Աղյուսակ ( PageIndex {3} )
(x ) (y )Սյուժեների համար միավորներ
Կեսօր30 դյույմ((0,30))
3-ին երեկոյան54 ներսում((3,54))
6-ը երեկոյան78 ներս((6,78))
9-ը երեկոյան54 ներսում((9,54))
Կեսգիշեր30 դյույմ((12,30))

Հավասարություն մոդելավորելու համար նախ պետք է գտնել ամպլիտուդը:

[ start {align *} | Ա | & = | dfrac {78−30} {2} | & = 24 վերջ {հարթեցնել *} ]

Clockամացույցի ցիկլը կրկնվում է յուրաքանչյուր 12 ժամը մեկ: Այսպիսով,

[ start {align *} B & = dfrac {2π} {12} & = dfrac {π} {6} end {align *} ]

Ուղղահայաց հերթափոխը

[ start {align *} D & = dfrac {78 + 30} {2} & = 54 end {align *} ]

Հորիզոնական տեղաշարժ չկա, ուստի (C = 0. ) Քանի որ գործառույթը սկսվում է (y ) նվազագույն արժեքից, երբ (x = 0 ) (ի տարբերություն առավելագույն արժեքի), մենք կօգտագործենք կոսինուսի գործառույթը (A ) - ի համար բացասական արժեքով: Ձևում (y = A cos (Bx ± C) + D, ) հավասարումը ՝

[y = −24 cos ( dfrac {π} {6} x) +54 ]

Տե՛ս Նկար ( PageIndex {10} ):

Օրինակ ( PageIndex {6} ). Մակընթացությունների մոդելի որոշում

Փոքր լողափնյա քաղաքում ալիքի բարձրությունը չափվում է ծովափի երկայնքով: Levelsրի մակարդակը տատանվում է մակընթացության ժամանակ 7 ոտնաչափի և բարձր մակընթացության ժամանակ 15 ֆուտի սահմաններում: Որոշակի օրը ցածր ալիքը տեղի է ունեցել առավոտյան ժամը 6-ին, իսկ բարձր ալիքը `կեսօրին: Մոտավորապես յուրաքանչյուր 12 ժամվա ընթացքում ցիկլը կրկնվում է: Գտեք ջրի մակարդակները մոդելավորելու հավասարություն:

Լուծում

Քանի որ ջրի մակարդակը տատանվում է 7 ֆուտից մինչև 15 ֆուտ, մենք կարող ենք ամպլիտուդը հաշվարկել որպես

[ start {align *} | A | & = | frac {(15−7)} {2} | & = 4 end {հարթեցնել *} ]

Theիկլը կրկնվում է յուրաքանչյուր 12 ժամվա ընթացքում; հետեւաբար, (B ) է

[ start {align *} dfrac {2π} {12} = dfrac {π} {6} end {align *} ]

Կա ( frac {(15 + 8)} {2} = 11.5 ) ուղղահայաց թարգմանություն: Քանի որ ֆունկցիայի արժեքը առավելագույնն է (t = 0 ) - ում, մենք կօգտագործենք կոսինուսային ֆունկցիան ՝ դրական արժեքով (A ):

[y = 4 cos ( dfrac {π} {6}) t + 11 non-number ]

Տե՛ս Նկար ( PageIndex {11} ):

Exորավարժություններ ( PageIndex {3} ):

Որոշակի քաղաքում մարտի ամսվա օրական ջերմաստիճանը տատանվում է ցածրից (24 ° F) մինչև բարձր (40 ° F): Գտեք սինուսոիդային ֆունկցիա ՝ օրական ջերմաստիճանը մոդելավորելու և գծապատկերը գծագրելու համար: Մոտավոր ժամանակը, երբ ջերմաստիճանը հասնում է սառեցման կետին (32 ° F): Թող (t = 0 ) համապատասխանի կեսօրին:

Պատասխանել

[y = 8 sin ( frac {π} {12} տ) +32 չհամարվող ]

Theերմաստիճանը ցրտին է հասնում կեսօրին և կեսգիշերին:

Ercորավարժություններ ( PageIndex {4} ). Մեկնաբանել պարբերական վարքի հավասարումը

Միջին մարդու արյան ճնշումը մոդելավորվում է (f (t) = 20 sin (160πt) +100 ) գործառույթով, որտեղ (f (t) ) ներկայացնում է արյան ճնշումը ժամանակին (t ), չափված րոպեների ընթացքում: Մեկնաբանեք գործառույթը `ըստ ժամանակահատվածի և հաճախության: Ուրվագծեք գրաֆիկը և գտեք արյան ճնշման ցուցմունքները:

Վերլուծություն

( Frac {120} {80} ) արյան ճնշումը համարվում է նորմալ: Վերին թիվը առավելագույն կամ սիստոլիկ ընթերցումն է, որը չափում է ճնշումը զարկերակներում, երբ սրտը կծկվում է: Ստորին թիվը նվազագույն կամ դիաստոլիկ ցուցանիշն է, որը չափում է զարկերակների ճնշումը, երբ սիրտը հանգստանում է բաբախումների միջև ՝ լիցքավորվելով արյունով: Այսպիսով, նորմալ արյան ճնշումը կարելի է մոդելավորել պարբերական ֆունկցիայի միջոցով `առավելագույնը 120 և նվազագույնը 80:

Օրինակ ( PageIndex {7} ). Մեկնաբանելով պարբերական վարքի հավասարումը

Միջին մարդու արյան ճնշումը մոդելավորվում է (f (t) = 20 sin (160πt) +100 ) գործառույթով, որտեղ (f (t) ) ներկայացնում է արյան ճնշումը ժամանակին (t ), չափված րոպեների ընթացքում: Ուրվագծեք գրաֆիկը և գտեք արյան ճնշման ցուցմունքները:

Լուծում

Periodամանակահատվածը տրվում է ըստ

[ start {align *} dfrac {2π} {ω} & = dfrac {2π} {160π} & = dfrac {1} {80} end {align *} ]

Արյան ճնշման գործառույթում հաճախականությունը ներկայացնում է րոպեում սրտի բաբախումների քանակը: Հաճախականությունը ժամանակահատվածի փոխադարձությունն է և տրվում է ըստ

[ start {align *} dfrac {ω} {2π} & = dfrac {160π} {2π} & = 80 end {align *} ]

Վերլուծություն

( Frac {120} {80} ) արյան ճնշումը համարվում է նորմալ: Այսպիսով, նորմալ արյան ճնշումը կարելի է մոդելավորել պարբերական ֆունկցիայի միջոցով `առավելագույնը 120 և նվազագույնը 80:

Ներդաշնակ շարժման գործառույթների մոդելավորում

Ներդաշնակ շարժումը պարբերական շարժման ձև է, բայց հաշվի առնելու գործոններ կան, որոնք տարբերակում են երկու տեսակները: Մինչդեռ ընդհանուր պարբերական շարժում դիմումները պտտվում են իրենց ժամանակահատվածներում ՝ առանց արտաքին միջամտության, ներդաշնակ շարժում վերականգնող ուժ է պահանջում: Ներդաշնակ շարժման օրինակներից են աղբյուրները, գրավիտացիոն ուժը և մագնիսական ուժը:

Պարզ ներդաշնակ շարժում

Շարժման տեսակ, որը նկարագրվում է որպես պարզ ներդաշնակ շարժում ներառում է վերականգնող ուժ, բայց ենթադրում է, որ շարժումը կշարունակվի ընդմիշտ: Պատկերացրեք մի կշռված առարկա կախված է աղբյուրից, երբ այդ առարկան չի խանգարում, մենք ասում ենք, որ առարկան հանգստի վիճակում է կամ հավասարակշռության մեջ է: Եթե ​​առարկան ներքև է քաշվում, ապա ազատվում, զսպանակի ուժը առարկան հետ է քաշում դեպի հավասարակշռություն և սկսվում է ներդաշնակ շարժումը: Վերականգնող ուժը ուղիղ համեմատական ​​է օբյեկտի իր հավասարակշռման կետից տեղաշարժին: Երբ (t = 0, d = 0. )

Պարզ ներդաշնակ շարժում

Մենք դա տեսնում ենք պարզ ներդաշնակ շարժում հավասարումները տրված են տեղաշարժի առումով.

[d = a cos (ωt) ; տեքստ {կամ} ; d = a sin (ωt) ]

որտեղ (| a | ) ամպլիտուդն է, ( frac {2π} {ω} ) ժամանակահատվածն է, և ( frac {ω} {2π} ) հաճախականությունը կամ ցիկլերի քանակը: ժամանակի միավորի համար:

Ercորավարժություններ ( PageIndex {5} ). Տեղահանման, ժամանակահատվածի և հաճախության հայտնաբերում և ֆունկցիայի գծապատկերում

Յուրաքանչյուրի համար տրված գործառույթները.

  1. (y = 5 sin (3 տ) )
  2. (y = 6 cos (πt) )
  3. (y = 5 cos ( frac {π} {2}) t )

անդրադառնալ հետևյալ հարցերին.

  1. Գտեք օբյեկտի առավելագույն տեղաշարժը:
  2. Գտեք մեկ թրթռման համար անհրաժեշտ ժամանակահատվածը կամ ժամանակը:
  3. Գտեք հաճախականությունը:
  4. Ուրվագծեք գրաֆիկը:
Պատասխանել ա
  1. Առավելագույն տեղաշարժը հավասար է ամպլիտուդային, (| a | ), որը 5 է:
  2. Periodամանակահատվածն է ( frac {2π} {ω} = frac {2π} {3} ):
  3. Հաճախականությունը տրվում է որպես ( frac {ω} {2π} = frac {3} {2π} ):
  4. Տե՛ս Նկար ( PageIndex {13} ): Գրաֆիկը ցույց է տալիս հինգ հիմնական կետերը:
Պատասխան բ
  1. Առավելագույն տեղաշարժը (6 ) է:
  2. Periodամանակահատվածն է ( frac {2π} {ω} = frac {2π} {π} = 2. )
  3. Հաճախականությունն է ( frac {ω} {2π} = frac {π} {2π} = frac {1} {2}: )
  4. Տե՛ս Նկար ( PageIndex {14} ):
Պատասխան գ
  1. Առավելագույն տեղաշարժը (5 ) է:
  2. Theամանակահատվածն է ( frac {2π} {ω} = frac {2π} { frac {π} {2}} = 4 ):
  3. Հաճախականությունը ( frac {1} {4}. )
  4. Տե՛ս Նկար ( PageIndex {15} ):

Խոնավեցված ներդաշնակ շարժում

Իրականում ճոճանակը հավերժ հետ ու ետ չի պտտվում, ոչ էլ աղբյուրի վրա գտնվող առարկան ընդմիշտ ցատկում է վեր ու վար: Ի վերջո, ճոճանակը դադարում է օրորվել, և առարկան դադարում է ցատկել, և երկուսն էլ վերադառնում են հավասարակշռության: Պարբերական շարժումը, որի մեջ գործում է էներգիա ցրող ուժ կամ մարող գործոն, հայտնի է որպես խոնավեցված ներդաշնակ շարժում, Շփումը սովորաբար խոնավացման գործոն է:

Ֆիզիկայում շարժական օբյեկտի վրա խոնավացման գործոնը հաշվելու համար օգտագործվում են տարբեր բանաձևեր: Դրանցից մի քանիսը հաշվարկի վրա հիմնված բանաձևեր են, որոնք ներառում են ածանցյալներ: Մեր նպատակների համար մենք կօգտագործենք բանաձևեր `խոնավեցված ներդաշնակ շարժման հիմնական մոդելների համար:

Սահմանում. ԽԱԽՏՎԱ ՀԱՐՄՈՆԻԿ ՇԱՐOTՈՒՄ

Ներսում խոնավեցված ներդաշնակ շարժում, տատանվող օբյեկտի տեղաշարժը իր հանգստի դիրքից ժամանակին (t ) տրված է որպես

[f (t) = ae ^ {- ct} sin (ωt) ; տեքստ {կամ} ; f (t) = ae ^ {- ct} cos (ωt) ]

որտեղ (c ) խոնավացման գործոն է, (| a | ) նախնական տեղաշարժն է, իսկ ( frac {2π} {ω} ) ժամանակահատվածը:

Օրինակ ( PageIndex {8} ). Խոնավեցված ներդաշնակ շարժման մոդելավորում

Մոդելավորեք երկու սցենարներին համապատասխանող հավասարումները և գործառույթները գծագրելու համար օգտագործեք գրաֆիկական գործիք. Երկուսն էլ ունեն 10 սմ նախնական տեղաշարժ: Առաջինի խոնավության գործակիցը 0.5 է, իսկ երկրորդը `խոնավացման գործոն` 0.1:

Լուծում

Ամանակին (t = 0 ), տեղաշարժը առավելագույնը 10 սմ է, որը պահանջում է կոսինուսային գործառույթ: Կոսինուսային գործառույթը տարածվելու է երկու մոդելների վրա:

Մեզ տրված է վայրկյանում 0,5 ցիկլերի (f = frac {ω} {2π} ) հաճախականությունը: Այսպիսով,

[ start {align *} dfrac {ω} {2π} & = 0.5 ω & = (0.5) 2π & = π end {align *} ]

Առաջին զսպանակային համակարգը ունի (c = 0,5 ) խոնավացման գործակից: Խոնավեցված ներդաշնակ շարժման ընդհանուր մոդելին հետևելով, մենք ունենք

[f (t) = 10e ^ {- 0.5t} cos (πt) ոչ թվով ]

Նկար ( PageIndex {16} ) մոդելավորում է առաջին զսպանակային համակարգի շարժումը:

Երկրորդ զսպանակային համակարգը ունի (c = 0,1 ) խոնավացման գործոն և կարող է մոդելավորվել որպես

[f (t) = 10e ^ {- 0.1t} cos (πt) ]

Նկար ( PageIndex {17} ) մոդելավորում է երկրորդ զսպանակային համակարգի շարժումը:

Վերլուծություն

Ուշադրություն դարձրեք խոնավացման կայունի տարբեր ազդեցություններին: Ֆունկցիայի տեղական առավելագույն և նվազագույն արժեքները (c = 0,5 ) մարման գործակիցով շատ ավելի արագ են նվազում, քան (c = 0,1 ) գործառույթով:

Ercորավարժություններ ( PageIndex {6} ). Կոսինուսային ֆունկցիայի որոնում, որը մոդելները խաթարում են ներդաշնակ շարժումը

Գտեք և գծագրեք տրված տեղեկատվությունը մոդելավորող (y = ae ^ {- ct} cos (ωt) ձևի գործառույթը:

  1. (a = 20, c = 0,05, p = 4 )
  2. (a = 2, c = 1.5, f = 3 )

Լուծում

Տրված արժեքները փոխարինեք մոդելում: Հիշենք, որ այդ ժամանակահատվածն է ( frac {2π} {ω} ), իսկ հաճախականությունը ՝ ( frac {ω} {2π} ):

  1. (y = 20e ^ {- 0.05t} cos ( frac {π} {2} t): ) Տե՛ս Նկար ( PageIndex {18} ):
  2. (y = 2e ^ {- 1.5t} cos (6πt): ) Տե՛ս Նկար ( PageIndex {19} ):

Exորավարժություններ ( PageIndex {7} )

Հետևյալ հավասարումը ներկայացնում է խոնավեցված ներդաշնակ շարժման մոդել. (F (t) = 5e ^ {- 6t} cos (4t) ) Գտեք նախնական տեղաշարժը, խոնավացման կայունությունը և հաճախականությունը:

Պատասխանել

նախնական տեղաշարժ = 6, խլացման հաստատուն = -6, հաճախականություն = ( frac {2} {π} )

Օրինակ ( PageIndex {9} ). Գտեք սինուսի գործառույթ, որը մոդելները խնայում են ներդաշնակ շարժումը

Գտեք և գծագրեք տրված տեղեկատվությունը մոդելավորող (y = ae ^ {- ct} sin (ωt) ձևի գործառույթը:

  1. (a = 7, c = 10, p = frac {π} {6} )
  2. (a = 0,3, c = 0,2, f = 20 )

Լուծում

Հաշվարկել (ω ) - ի արժեքը և հայտնի արժեքները փոխարինել մոդելի մեջ:

  1. Քանի որ ժամանակահատվածն է ( frac {2π} {ω} ), մենք ունենք

    [ start {align *} dfrac {π} {6} & = dfrac {2π} {ω} ωπ & = 6 (2π) ω & = 12 end {align *} ]

    Խոնավացման գործակիցը տրված է 10, իսկ ամպլիտուդը ՝ 7: Այսպիսով, մոդելը (y = 7e ^ {- 10t} sin (12t) ) է: Տե՛ս Նկար ( PageIndex {20} ):

  2. Քանի որ հաճախականությունն է ( frac {ω} {2π} ), մենք ունենք

    [ start {align *} 20 & = dfrac {ω} {2π} 40π & = ω end {align *} ]

    Խոնավեցման գործակիցը տրված է որպես (0.2 ), իսկ ամպլիտուդիան ՝ (0.3. ) Մոդելը (y = 0.3e ^ {- 0.2t} sin (40πt): {21} ):

Վերլուծություն

Վերջին երկու օրինակների համեմատությունը ցույց է տալիս, թե ինչպես ենք ընտրում սինուսի կամ կոսինուսային ֆունկցիաների միջև `սինուսոիդային չափանիշները մոդելավորելու համար: Մենք տեսնում ենք, որ կոսինուսային ֆունկցիան առավելագույն տեղաշարժի ժամանակ է, երբ (t = 0 ), և սինուսի ֆունկցիան գտնվում է հավասարակշռության կետում, երբ (t = 0: ) Օրինակ ՝ դիտարկենք հավասարումը (y = 20e ^ {−0.05t} cos ( frac {π} {2} t) ) օրինակից: Գրաֆիկից կարող ենք տեսնել, որ երբ (t = 0, y = 20, ), որը նախնական ամպլիտուդն է: Ստուգեք սա ՝ կոսինուսային հավասարման մեջ տեղադրելով (t = 0 ):

[ start {align *} y & = 20e ^ {- 0,05 (0)} cos ( frac {π} {2}) (0) & = 20 (1) (1) & = 20 վերջ {հարթեցնել *} ]

Օգտագործելով սինուսի ֆունկցիան, բերում է

[ start {align *} y & = 20e ^ {- 0.05 (0)} sin ( frac {π} {2}) (0) & = 20 (1) (0) & = 0 վերջ {հարթեցնել *} ]

Այսպիսով, կոսինուսը ճիշտ գործառույթն է:

Ercորավարժություններ ( PageIndex {8} ):

Գրեք տրված խոնավեցված ներդաշնակ շարժման հավասարումը (a = 10, c = 0,5 ) և (p = 2. )

Պատասխանել

(y = 10e ^ {- 0.5t} cos (πt) )

Օրինակ ( PageIndex {10} ). Աղբյուրի տատանումների մոդելավորում

10 դյույմ բնական երկարությամբ չափված աղբյուրը սեղմվում է 5 դյույմով և ազատվում: Այն տատանվում է 3 վայրկյանը մեկ անգամ, և դրա ամպլիտուդը ամեն վայրկյան նվազում է 30% -ով: Գտեք հավասարություն, որը մոդելավորում է զսպանակի դիրքը (t ) ազատվելուց վայրկյաններ անց:

Լուծում

Ամպլիտուդը սկսվում է 5 դյույմից և յուրաքանչյուր վայրկյան նվազեցնում է 30% -ը: Քանի որ գարունը սկզբում սեղմված է, մենք կգրենք Ա որպես բացասական արժեք: Կարող ենք ֆունկցիայի ամպլիտուդյան մասը գրել որպես

[A (t) = 5 (1−0.30) ^ t անթիվ ]

((1−0.30) ^ t ) ձևը դնում ենք (e ^ {ct} ) հետևյալ կերպ.

[ start {align *} 0.7 & = e ^ c c & = ln .7 c & = .0.357 end {align *} ]

Այժմ անդրադառնանք ժամանակահատվածին: Գարունը յուրաքանչյուր 3 վայրկյանը մեկ պտտվում է իր դիրքերով, սա այն ժամանակահատվածն է, և մենք կարող ենք օգտագործել բանաձեւը ՝ օմեգա գտնելու համար:

[ start {align *} 3 & = dfrac {2π} {ω} ω & = dfrac {2π} {3} end {align *} ]

10 դյույմ բնական երկարությունը միջին գիծն է: Մենք կօգտագործենք կոսինուսային ֆունկցիան, քանի որ զսպանակը սկսվում է առավելագույն տեղաշարժից: Հավասարության այս մասը ներկայացված է որպես

[y = cos ( dfrac {2π} {3} տ) +10 չհամարվող ]

Վերջապես, մենք երկու գործառույթները միասին ենք դնում: (T ) վայրկյանում զսպանակի դիրքի մեր մոդելը տրված է որպես

[y = −5e ^ {- 0.357t} cos ( dfrac {2π} {3} t) +10 nonumber ]

Տե՛ս գծապատկերում նկարը ( PageIndex {22} ):

Ercորավարժություններ ( PageIndex {9} )

Աղբյուրից կախված զանգվածը բարձրացվում է 5 սմ հեռավորության վրա իր հանգստի դիրքից: Theանգվածը թողարկվում է ժամանակին (t = 0 ) և թույլ է տալիս տատանվել: ( Frac {1} {3} ) վայրկյանից հետո նկատվում է, որ զանգվածը վերադառնում է իր ամենաբարձր դիրքին: Գտեք այս շարժումը մոդելավորելու գործառույթ ՝ համեմատած դրա սկզբնական հանգստության դիրքի հետ:

Պատասխանել

(y = 5 cos (6πt) )

Ըստ տրված չափանիշների

Կիթառի լար պոկվում և թրթռում է խոնավեցված ներդաշնակ շարժման մեջ: Լարը քաշվում և տեղահանվում է իր հանգստի դիրքից 2 սմ: 3 վայրկյանից հետո լարի տեղաշարժը չափում է 1 սմ: Գտեք խոնավացման հաստատունը:

Լուծում

Տեղափոխման գործակիցը ներկայացնում է ամպլիտուդը և որոշվում է խոնավեցված ներդաշնակ շարժման համար մոդելում (ae ^ {- ct} ) գործակիցով: Խոնավության կայունությունը ներառված է (e ^ {- ct} ) տերմինի մեջ: Հայտնի է, որ 3 վայրկյան անց տեղական առավելագույնը չափում է իր սկզբնական արժեքի կեսը: Հետեւաբար, մենք ունենք հավասարումը

[ae ^ {- c (t + 3)} = dfrac {1} {2} ae ^ {- ct} ]

Օգտագործեք հանրահաշիվ և արտահայտիչների օրենքներ `լուծելու համար (c ):

[ start {array} {cl} ae ^ {- c (t + 3)} = frac {1} {2} ae ^ {- ct} e ^ {- ct} ^e ^ {- 3c } = frac {1} {2} e ^ {- ct} & text {Բաժանել} ա. e ^ {- 3c} = frac {1} {2} & text {Բաժանել} e ^ {- ct}: e ^ {3c} = 2 & text {Վերցրեք փոխադարձներ:} end {զանգված} ]

Դրանից հետո օգտագործեք լոգարիթմների օրենքները:

[ start {align *} e ^ {3c} & = 2 3c & = ln 2 c & = frac { ln 2} {3} end {align *} ]

Խոնավացման կայունությունը ( frac { ln 2} {3} ) է:

Ներդաշնակ շարժման մեջ կապող կորեր

Ներդաշնակ շարժման գծապատկերները կարող են կցվել սահմանափակող կորերով: Երբ գործառույթը տատանվում է ամպլիտուդիա, այնպես, որ ամպլիտուդը մի քանի անգամ բարձրանում և ընկնում է մի ժամանակահատվածում, մենք կարող ենք ֆունկցիայի մասից որոշել պարտադիր կորերը:

Օրինակ ( PageIndex {12} ) ՝ տատանվող կոսինուսային կորի գծապատկերում

Գծեք գործառույթը (f (x) = cos (2πx) cos (16πx) ) գործառույթը:

Լուծում

Այս ֆունկցիայի արտադրած գրաֆիկը կցուցադրվի երկու մասի: Առաջին գրաֆիկը կլինի ճշգրիտ գործառույթը (f (x) ) (տե՛ս Նկար ( PageIndex {23; սկիզբ} );), իսկ երկրորդ գրաֆիկը ճշգրիտ գործառույթն է (f (x) ) գումարած սահմանող գործառույթ (տես Նկար ( PageIndex {23; ներքևում )): Գրաֆիկները բավականին տարբեր են:

Նկար ( PageIndex {23} )

Վերլուծություն

(Y = cos (2πx) ) և (y = - cos (2πx) ) կորերը պարտադիր կորեր են. Դրանք գործառույթը կապում են վերևից և ներքևից ՝ պարզելով բարձր և ցածր կետերը: Հարմոնիկ շարժման գրաֆիկը նստում է սահմանային կորերի ներսում: Սա մի ֆունկցիայի օրինակ է, որի ամպլիտուդիան ոչ միայն ժամանակի հետ է նվազում, այլ իրականում մի քանի անգամ ավելանում և նվազում է:

Հիմնական հավասարումներ

Սինուսոիդային հավասարման ստանդարտ ձև (y = A sin (Bt − C) + D տեքստ {կամ} y = A cos (Bt − C) + D )
Պարզ ներդաշնակ շարժում (d = a cos (ωt) տեքստ {կամ} d = a sin (ωt) )
Խոնավեցված ներդաշնակ շարժում

(f (t) = ae ^ {- ct} sin (ωt) տեքստ {կամ} f (t) = ae ^ {- ct} cos (ωt) )

Հիմնական հասկացություններ

  • Սինուսոիդային ֆունկցիաները ներկայացված են սինուսային և կոսինուսային գծապատկերներով: Ստանդարտ ձևով մենք կարող ենք գտնել ամպլիտուդիան, ժամանակահատվածը և հորիզոնական և ուղղահայաց տեղաշարժերը: Տե՛ս օրինակ և օրինակ:
  • Օգտագործեք հիմնական կետեր `սինուսոիդային ֆունկցիա գծապատկերելու համար: Հինգ հիմնական կետերը ներառում են նվազագույն և առավելագույն արժեքները և միջին գծի արժեքները: Տե՛ս օրինակը:
  • Պարբերական ֆունկցիաները կարող են մոդելավորել իրադարձություններ, որոնք կրկնվում են սահմանված ցիկլերում, ինչպես Լուսնի փուլերը, ժամացույցի սլաքները և տարվա եղանակները: Տեսեք օրինակ, օրինակ, օրինակ և օրինակ:
  • Ներդաշնակ շարժման գործառույթները մոդելավորվում են տրված տվյալներից: Պարբերական շարժման կիրառումների նման, ներդաշնակ շարժումը պահանջում է վերականգնող ուժ: Օրինակներից են քաշի ուժով ակտիվացված ձգողական ուժը և զսպանակային շարժումը: Տե՛ս օրինակը:
  • Խոնավեցված ներդաշնակ շարժումը պարբերական վարքագծի ձև է, որի վրա ազդում է խոնավացման գործոնը: Էներգիայի ցրման գործոնները, ինչպիսիք են շփումը, առաջացնում են օբյեկտի տեղաշարժի նեղացում: Տեսեք օրինակ, օրինակ, օրինակ, օրինակ և օրինակ:
  • Սահմանափող կորերը գծանշում են ներդաշնակ շարժման գծապատկերը փոփոխական առավելագույն և նվազագույն արժեքներով: Տե՛ս օրինակը:

Ուղղություններ. Օգտագործելով -9-ից 9 ամբողջ թվերը, առավելագույնը յուրաքանչյուրը մեկ անգամ, լրացրեք & hellip

3 մեկնաբանություն

Համոզված չեմ, արդյոք այստեղ պատշաճ տեղ է ճիշտ պատասխանների համար, բայց ահա իմ ուսանողների գտած մի քանի այլ համադրություններ ՝ սկսած ձախից դատարկից և աջից մինչև դատարկը.

9, 4, 6, 3, 2 ,7
5, 4, 6, 7, 2, 3
5, 1, 2, 9, 8, 4
5, 3, 4, 9, 7, 2
5, 3, 4, 8, 6, 2
6, 1, 2, 4, 3, 5
6, 1, 2, 8, 7, 5
6, 1, 2, 9, 8, 5
4, 3, 2, 9, 8, 1

3, 1, 2, 8, 9, 4
9, 4, 2, 8, 7, 5
5, 4, 6, 2, 1, 3
9, 1, 2, 4, 3, 8
4, 2, 6, 8, 7, 3
3, 1, 6, 8, 5, 2
9, 4, 2, 7, 6, 5
7, 1, 2, 9, 8, 6
7, 3, 2, 9, 8, 4
9, 6, 2, 5, 4, 3
5, 4, 6, 7, 2, 3

3, 4, 6, 9, 8, 1
4, 3, 6, 9, 8, 3
9, 8, 6, 7, 2, 5
8, 2, 4, 5, 3, 6
8, 2, 6, 5, 4, 7
3, 2, 6, 7, 4, 1
4, 2, 6, 3, 8, 5


Սիրո՞ւմ եք դասընթացը:

Կիսվեք ձեր փորձով ՝ օգնելու համար հանրահաշիվ 2 + եռանկյունաչափությամբ հետաքրքրվողներին:

ԻՆՉՈՒ Մենք փոքր, անկախ հրատարակիչ ենք, որը հիմնադրել են մաթեմատիկայի ուսուցիչը և նրա կինը: Մենք հավատում ենք այն արժեքին, որը մենք բերում ենք ուսուցիչներին և դպրոցներին, և ցանկանում ենք շարունակել դա անել: Մենք ցածր ենք պահում մեր գները, որպեսզի բոլոր ուսուցիչներն ու դպրոցները կարողանան օգտվել մեր արտադրանքներից և ծառայություններից: Մենք խնդրում ենք, որ դուք օգնեք մեզ մեր առաքելության մեջ ՝ համապատասխանելով այս Պայմաններին և դրույթներին:

Խնդրում եմ, ոչ մի կիսում: Մենք գիտենք, որ հաճելի է տարածել, բայց խնդրում ենք չկիսել ձեր անդամության բովանդակությունը կամ մուտքի կամ վավերացման տվյալները: Ձեր անդամակցությունը հանդիսանում է մեկ օգտագործողի լիցենզիա, ինչը նշանակում է, որ այն մեկ անձի `ձեզ իրավունք է տալիս անդամության բովանդակությանը (պատասխանի ստեղներ, խմբագրվող դասի ֆայլեր, pdf և այլն) մուտք գործելու իրավունք, բայց նախատեսված չէ տարածել:

  • Խնդրում ենք չպատճենել կամ տարածել Պատասխան ստեղները կամ անդամության այլ բովանդակություն:
  • Խնդրում ենք պատասխանների ստեղները կամ անդամության այլ բովանդակություն մի տեղադրեք կայքում, որպեսզի մյուսները դիտեն: Սա ներառում է դպրոցական կայքեր և ուսուցիչների էջեր դպրոցական կայքերում:
  • Դուք կարող եք Պատասխանի ստեղների պատճեններ պատրաստել ՝ ձեր դասին բաժանելու համար, բայց խնդրում ենք հավաքել դրանք, երբ ուսանողներն ավարտվեն դրանցով:
  • Եթե ​​դպրոց եք, գնեք լիցենզիա յուրաքանչյուր ուսուցչի / օգտագործողի համար:

Խնդրում ենք հարգել մեր հեղինակային իրավունքը և առևտրի գաղտնիքները: Մենք ունենք հեղինակային իրավունքը մեր ստեղծած բոլոր նյութերում, և որոշակի հեղինակային իրավունքներ արտոնագրում ենք այն ծրագրաշարում, որն օգտագործում ենք մեր կայքը գործարկելու, հավատարմագրերը կառավարելու և մեր նյութերը ստեղծելու համար: Բաժանորդագրվելիս մենք ձեզ թույլ ենք տալիս («Մեկ օգտագործողի լիցենզիա») օգտագործել մեր հեղինակային իրավունքները և առևտրային գաղտնիքները, և նրանց, ում մենք արտոնագրում ենք ուրիշներից, համաձայն մեր Պայմանների և պայմանների: Այսպիսով, բացի պատճենելու կամ տարածելու մասին պայմանավորվելուց, մենք խնդրում ենք ձեզ.

  • Խնդրում ենք չվերափոխել ծրագրակազմը և չփոխել կամ ջնջել որևէ հեղինակություն, տարբերակ, գույք կամ այլ մետատվյալներ:
  • Մի փորձեք կոտրել մեր վավերացման համակարգը կամ խնդրեք որևէ մեկին փորձել շրջանցել այն:
  • Խնդրում ենք մի տեղադրեք ծրագրաշարը, ձեր մուտքի տեղեկությունները կամ մեր նյութերից որևէ մեկը ցանցում, որտեղ այլ անձինք կարող են մուտք գործել այն
  • Խնդրում ենք ոչ մի կերպ պատճենել կամ փոփոխել ծրագրակազմը կամ անդամության բովանդակությունը, քանի դեռ չեք գնել խմբագրելի ֆայլեր
  • Եթե ​​դուք ձեռք եք բերել փոփոխված հանձնարարություն ՝ օգտագործելով գնված խմբագրվող ֆայլ, խնդրում ենք մեզ վարկը փոխանցել հետևյալով ՝ բոլոր առաջադրանքների համար և պատասխանեք առանցքային էջերին.

«Այս հանձնարարականը [eMath Title] - ի կողմից ուսուցչի կողմից փոփոխված տարբերակ է: Հեղինակային իրավունք © 201x eMATHinstruction, LLC, որն օգտագործվում է թույլտվությամբ»

Հետադարձ կապի հարցում, Մենք գնահատում ենք ձեր կարծիքը մեր ապրանքների և ծառայությունների վերաբերյալ: Կարծում ենք, որ մյուսները նույնպես կգնահատեն դա: Այդ պատճառով մենք կարող ենք անել հետևյալը (և խնդրում ենք, որ համաձայնվեք).

  • Օգտագործեք ձեր կարծիքը ՝ մեր ապրանքների և ծառայությունների բարելավումներ կատարելու և նույնիսկ նոր ապրանքներ և ծառայություններ գործարկելու համար ՝ հասկանալով, որ ձեզ չեն վճարելու կամ տիրանալու եք նոր կամ բարելավված ապրանքների և ծառայությունների որևէ մասի (եթե մենք գրավոր համաձայն չենք ժամանակից շուտ: )
  • Ձեր կարծիքը, ներառյալ վկայությունները, կիսվեք մեր կայքում կամ գովազդային և գովազդային այլ նյութերում ՝ հասկանալով, որ ձեզ չեն վճարելու կամ տիրանալու եք գովազդային կամ գովազդային նյութերի որևէ մասի (եթե մենք գրավոր համաձայն չենք ժամանակից շուտ:

ԵՐԱՇԽԱՎՈՐՎԱ Է Գոհունակությունը: Եթե ​​դուք 100% բավարարված չեք, մենք 30 օրվա ընթացքում կվերադարձնենք ձեզ վճարած գնման գինը: Վերադարձ ստանալու համար ՝

  • Գնման պահից 30 օրվա ընթացքում `
  • Ձեր բոլոր համակարգիչներից ջնջեք ծրագրաշարը և անդամության ամբողջ բովանդակությունը, ոչնչացրեք մեր նյութերի բոլոր պատճենները կամ տպագրությունները և հետ բերեք բոլոր շոշափելի պատճենները (սկավառակներ, աշխատանքային գրքեր և այլն) և մեզանից ստացված այլ նյութեր ՝

eMATHinstruction վերադարձի վարչություն
10 Մրգային Bud Lane
Red Hook, NY 12571

ՏԵԽՆԻԿԱԿԱՆ ԱՋԱԿՑՈՒԹՅՈՒՆԵթե ​​դժվարանում եք մուտք գործել կամ մուտք գործել ձեր նյութեր, կամ եթե ձեր ներբեռնված նյութերը չեն բացվում կամ անընթեռնելի են, խնդրում ենք անմիջապես տեղեկացնել մեզ էլ. Փոստով [email & # 160protected] հասցեով, որպեսզի կարողանանք շտկել դրանք:

ՈՉ ՄԻ ԵՐԱՇԽԻՔ: Մենք հավատում ենք մեր ապրանքների և ծառայությունների որակին և արժեքին և քրտնաջան աշխատում ենք ՝ համոզվելու, որ դրանք լավ են աշխատում և զերծ են սխալներից: Բայց ասենք, որ մենք մեր ապրանքներն ու ծառայությունները տրամադրում ենք ձեզ «ինչպես կա», ինչը նշանակում է, որ մենք պատասխանատվություն չենք կրում, եթե մեր կամ ձեր համակարգչային համակարգի հետ ինչ-որ վատ բան պատահի մեր արտադրանքի և ծառայությունների օգտագործման արդյունքում: Երաշխիքների մերժման մասին ամբողջական տեղեկատվության համար տե՛ս այստեղ այս Պայմանների և պայմանների լեգալերեն տարբերակը:

ՎԵՃԵՐ. Եթե ​​մենք ունենք այնպիսի վեճ, որը մենք չենք կարող ինքնուրույն լուծել, մենք սովորական դատարան հայց ներկայացնելու փոխարեն կօգտագործենք պարտադիր արբիտրաժ (բացառությամբ, որ կարող եք օգտագործել փոքր հայցերի դատարան): Պարտադիր արբիտրաժը նշանակում է, որ մեր գործը որոշելու են մեկ կամ ավելի արբիտրներ, որոնք ընտրվում և վճարվում են վեճի բոլոր կողմերի կողմից: Արբիտրաժը վեճերի լուծման ավելի արագ և պակաս ձևական միջոց է, ուստի հակված է ավելի քիչ ծախսերի:

  • Արբիտրաժային վարույթ սկսելու համար խնդրում ենք ուղարկել նամակ `խնդրելով արբիտրաժը և նկարագրելով ձեր հայցը.

Emath Instruction Inc.
10 Մրգային Bud Lane
Red Hook, NY 12571

ՊԱՏԱՍԽԱՆԱՏՎՈՒԹՅԱՆ ՍԱՀՄԱՆԱՓԱԿՈՒՄ, Եթե ​​դուք մեր դեմ գործ եք շահում, մեզանից առավելագույնը, որ կարող եք վերականգնել, մեզ վճարած գումարն է:

Մեր Պայմանների և լրացման պայմանների Legalese տարբերակը տեսնելու համար խնդրում ենք սեղմել ԱՅՍՏԵ: Մենք ձեզ պարզ բաներ ենք տվել պարզ անգլերենով, բայց լավ գաղափար է նայել նաև Legalese- ին, քանի որ նշելով ներքևի վանդակը և շարունակելով ձեր գնումը ՝ դուք համաձայնվում եք և՛ անգլերենի, և՛ լեգալացու հետ:

Շնորհակալություն eMATHinstruction նյութեր օգտագործելու համար: Որպեսզի շարունակեք բարձրորակ մաթեմատիկական ռեսուրսներ տրամադրել ձեզ և ձեր ուսանողներին, մենք հարգանքով խնդրում ենք ձեզանից չեն անում տեղադրեք այս կամ մեր ցանկացած ֆայլերը ցանկացած կայքում: Դա անելը հեղինակային իրավունքի խախտում է:

Բովանդակությունը, որը դուք փորձում եք մուտք գործել պահանջում է անդամակցություն, Եթե ​​արդեն ծրագիր ունեք, խնդրում ենք մուտք գործել: Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է անդամակցություն գնել, մենք առաջարկում ենք տարեկան անդամներ կրկնուսույցների և ուսուցիչների համար և հատուկ մեծածավալ զեղչեր դպրոցների համար:

Ներեցեք, այն բովանդակությունը, որը դուք փորձում եք մուտք գործել պահանջում է ստուգում որ դուք մաթեմատիկայի ուսուցիչ եք: Խնդրում ենք կտտացնել ներքևի հղմանը `ձեր ստուգման հարցումը ներկայացնելու համար:


9.6. Մոդելավորում եռանկյունաչափական հավասարումներով - մաթեմատիկա

Lori Pearman, Cathy Perkins, Stephanie Morris, and Kyungsoon Jeon

Activity Dealing with Trigonometry Functions

The following activity is a one day activity dealing with trigonometric functions. Before beginning this activity, students should have been introduced to sine and cosine.

Suppose a Ferris wheel with a radius of 20 feet makes a complete revolution in 10 seconds. In this activity, we want students to develop a mathematical model that describes the relationship between the height h of a rider above the bottom of a Ferris wheel (4 feet above the ground) and time t.

First, students should develop a table of t- and h- values. Assuming that the rider is at the bottom of the Ferris wheel when t = 0, students can develop values of h for t = 0 through t = 10. Values of h can be estimated from a scale drawing of the Ferris wheel (as shown below).

Students should plot their data and note the periodicity of the function. (See the below graph.) Each time the person goes around the Ferris wheel, the graph will "repeat itself". Hopefully, students will conjecture that the graph has a sinusoidal shape.

The below graph shows two revolutions around the Ferris wheel.

Students can now use right-triangle trigonometry and simple proportions (see below picture) to derive the parametric representation of a point (x(t),y(t)) on the rotating Ferris wheel as a function of time, thereby establishing that the height is a sinusoidal function of t.

Let's look at the right triangle with vertices W, Z, and P=(x(t),y(t)). Call angle (ZWP) . Students should have a good understanding of . If is between 0 and 2[[pi]], then is the measure of the angle swept out by point P. If is greater then 2[[pi]], we can think of the

angle being swept out by a point P that has moved counter-clockwise more than once around the circle. And if is negative, we think of the angle as being swept out by a point P moving in the opposite direction (with the Ferris wheel going backwards).

Sin = x(t)/20. This implies that x(t) = 20sin. Similarly, cos = (measurement of segment WZ)/20. WZ = 20 - y(t), so cos = (20-y(t))/20 implies that y(t) = -20cos + 20. Since one complete revolution has an angle of 2[[pi]], and a revolution takes 10 seconds, we can use the following ratio to find .

2[[pi]]/10 = /t implies that = ([[pi]]/5)t.

Plugging this in for , we get x(t) = 20sin[([[pi]]/5)t] and y(t) = -20cos[([[pi]]/5)t] + 20.

Since h(t) is the height above the bottom of the Ferris wheel, h(t) = y(t).

Students should be able to graph the equation h(t) = -20cos[([[pi]]/5)t] + 20 and then analyze their graphs.

This equation is graphed below. ( Algebra Xpresser was used here.)

After graphing the equation, students should be able to find h-values for given t-values (and vice-versa). They should also be able to find the amount of time t required for a given number of revolutions.

Students should also explore the changes in the graph for a Ferris wheel that has a different radius of rate of revolution. For example, if the radius was 25 ft. and it took the Ferris wheel 12 seconds to complete a revolution, then the equations would be

h(t) = -25cos([[pi]]/6)t + 25. Students should compare this graph with there first graph and make conjectures about the relationships between Ferris wheels and their corresponding equations.

There are many other activities that could be looked at which deal with trigonometric functions. However, I think the Ferris wheel problem is a good demonstration of how sine and cosine can be used.

Մաթեմատիկայի ուսուցիչների ազգային խորհուրդ: (1989). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics, Reston, VA: author.


Ներածություն

Bézier curves are the powerful mechanism for modeling in computer-aided geometric design (CAGD) and computer graphics (CG). Bézier curves have a lot of applications in the areas of science, engineering, and technology such as: railway route or highway modeling, networks, animation, computer-aided design system, robotics, environment design, communications, and many other fields due to their computational simplicity and stability. However, the classical Bézier curves have still some noiseless limitations due to their fixed shape and position relative to their control polygon [1–3]. In geometric modeling and engineering, practical applications of Bézier curves are restricted due to their shortcomings, and to overcome these shortcomings, a lot of work has been carried out [4–10]. The control over the shape and position of curves is enhanced by introducing the shape control parameters into Bézier approach. Another limitation in the classical Bézier curves is their representation in a polynomial form. Thus many scholars try to search for the solution of this issue in a non-polynomial function space.

Over the past few years, a significant work has been carried out, with the help of trigonometric functions, polynomials, or their combination, for the description of curves and surfaces. These trigonometric polynomials play a significant role in many fields like medicine, electronics [11], and computer-aided geometric design [12]. In recent years, geometric modeling by using trigonometric polynomials has achieved much consideration. Yan and Liang [13] constructed Bézier-like curve and rectangular Bézier-like surface based on a new type of polynomial basis functions with single shape parameter which they achieved by the recursive technique. Hu et al. [14] constructed geometric continuity conditions for the construction of free-form generalized Bézier curves with ն shape parameters. These free-form complex shape-adjustable generalized Bézier curves can be modeled by using shape-adjustable generalized Bernstein basis functions. These newly proposed approaches not only take over the benefits of classical Bézier curve and surface schemes, but also resolve the issue of shape adjustability of Bézier curves and surfaces with the help of multiple shape parameters. In 2019, BiBi et al. [15] proposed a new approach using the generalized hybrid trigonometric Bézier curve (shortly, GHT-Bézier) with shape parameters to solve the problem in construction of some symmetric curves and surfaces. These curves are easily modified by changing the values of shape parameters. Using GHT-Bézier curves, they constructed some free-form complex curves with restriction of parametric continuity. To show the efficiency of modeling, the authors also constructed different types of symmetric curves and surfaces with their continuity conditions and symmetric formulas. Maqsood et al. [16] constructed the generalized trigonometric Bézier (GT-Bézier) curves via GT-basis functions with shape parameters. They modeled some complex curves and surfaces using (C^<3>) and (G^<2>) continuity conditions. The proposed basis functions provide an alternative approach to generate the complex curves using (C^<3>) and (G^<2>) continuity conditions with simple and straightforward calculation for proposed algorithm because they are blended with linear polynomials rather than trigonometric functions.

In 2004, the cubic trigonometric polynomial curves were constructed by Han [17] with a shape parameter and (C^<2>) and (G^<3>) continuity conditions having nonuniform knot vector. It has been observed that the trigonometric polynomial curves can better approximate to the classical cubic B-spline curves or to the given control polygon than the classical cubic B-spline curves. The cubic trigonometric Bézier basis functions with two shape parameters were developed by Han et al. [18]. They also constructed cubic trigonometric Bézier curve with two shape parameters similar to the classical Bézier curve that was based on these basis functions. They observed that due to the presence of shape parameters the shape of trigonometric Bézier curve better approximates to the given control polygon than the classical cubic Bézier curves. Han and Zhu [19] constructed five trigonometric blending functions using two exponential shape parameters that have geometric properties similar to the classical Bézier curves. The quadratic trigonometric basis functions were constructed by Bashir et al. [20] using two shape parameters. Moreover, they modeled a rational quadratic trigonometric Bézier curve using these trigonometric basis functions as well as two curve segments connected by using (C^<2>) and (G^<2>) continuity conditions. Yan expressed an algebraic-trigonometric mixed piecewise curve with two shape parameters and cubic trigonometric nonuniform B-spline curves with local shape parameters in [21] and [22], respectively. Hu et al. [23] constructed geometric continuity constraints for H-Bézier curve of degree ն, Recently, many researchers have developed the positivity-preserving rational quartic spline interpolation [24], cubic triangular patches scattered data interpolation [25], rational bi-cubic Ball image interpolation [26], quasi-quintic trigonometric Bézier curve with shape parameters [27], curve modeling by new cubic trigonometric Bézier with shape parameters [28], continuity conditions for (G^<1>) joint of S-λ curves and surfaces [29], generalized Bernstein basis functions for approximation of multi-degree reduction of Bézier curve [30], surface modeling in medical imaging by Ball basis functions [31], and geometric conditions for the generalized H-Bézier model [32] which have many applications in medicine, science, and engineering. Khalid and Lobiyal [33] presented the extension of Lupaş Bézier curves/surfaces and rational Lupaş Bernstein functions with shape parameters having all positive ((p, q)) -integers values. They presented two techniques named de-Casteljau’s algorithm and Korovkin’s type approximation based on ((p, q)) -integers by using two parameter family of Lupaş ((p, q)) -Bernstein functions. Lupaş [34] studied the q-analogue of the Bernstein operator. Mursaleen et al. [35] presented the analogue of ((p, q)) -Bernstein operators, which is a generalization of q-Bernstein operators, and studied its approximation properties based on Korovkin’s type approximation theorem of ((p, q)) -Bernstein operators.

In this research work, GBT-Bézier curves with two shape parameters are constructed based on GBT-Bernstein basis functions of degree մ, Furthermore, the adjacent GBT-Bézier curve segments are connected using parametric and geometric continuity conditions which can be utilized to model free-form complex shapes. As a continuation of traditional Bézier curves, these GBT-Bézier curves will also offer a new application range in the field of manufacturing industry, computer vision, computer graphics, computer animation, and multimedia technology.

In this work, we make the following technical contributions:

(C^<3>) continuity of the 2D GBT-Bézier curves

(G^) ( (k leq 3) ) geometric continuity of the 2D GBT-Bézier curves.

The outline of this paper is structured in the following manner. Some basic definitions and characteristics of GBT-Bézier curves are given in Sect. 2. Continuity constraints for joining the two GBT-Bézier curve segments are discussed in Sect. 3. Some modeling examples are given in Sect. 4. Concluding remarks on this research are given in Sect. 5.


Manufacturing Industry

Trigonometry plays a major role in industry, where it allows manufacturers to create everything from automobiles to zigzag scissors. Engineers rely on trigonometric relationships to determine the sizes and angles of mechanical parts used in machinery, tools and equipment. This math plays a major role in automotive engineering, allowing car companies to size each part correctly and ensure they work safely together. Trigonometry is also used by seamstresses where determining the angle of darts or length of fabric needed to craft a certain shape of skirt or shirt is accomplished using basic trigonometric relationships.


Save time with ready-to-use assignments built by subject matter experts specifically for this textbook. You can customize and schedule any of the assignments you want to use.

Additional instructional and learning resources are available with the textbook, and might include testbanks, slide presentations, online simulations, videos, and documents.

Course Pack Preview

Save time with ready-to-use assignments built by subject matter experts specifically for this textbook. You can customize and schedule any of the assignments you want to use.

Course Pack Preview

Save time with ready-to-use assignments built by subject matter experts specifically for this textbook. You can customize and schedule any of the assignments you want to use.

Access is contingent on use of this textbook in the instructor's classroom.

  • Chapter 1: Equations and Graphs
    • 1.1: The Coordinate Plane (61)
    • 1.2: Graphs of Equations in Two Variables Circles (118)
    • 1.3: Lines (102)
    • 1.4: Solving Quadratic Equations (113)
    • 1.5: Complex Numbers (89)
    • 1.6: Solving Other Types of Equations (107)
    • 1.7: Solving Inequalities (111)
    • 1.8: Solving Absolute Value Equations and Inequalities (67)
    • 1.9: Solving Equations and Inequalities Graphically (50)
    • 1.10: Modeling Variations (59)
    • 1: Chapter Review
    • 1: Chapter Test (17)
    • 1: Focus on Modeling (12)
    • 1: Test Bank (133)
    • 2.1: Functions (98)
    • 2.2: Graphs of Functions (91)
    • 2.3: Getting Information from the Graph of a Function (73)
    • 2.4: Average Rate of Change of a Function (43)
    • 2.5: Linear Functions and Models (54)
    • 2.6: Transformations of Functions (116)
    • 2.7: Combining Functions (92)
    • 2.8: One-to-One Functions and Their Inverses (112)
    • 2: Chapter Review
    • 2: Chapter Test (22)
    • 2: Focus on Modeling (35)
    • 2: Test Bank (52)
    • 3.1: Quadratic Functions and Models (72)
    • 3.2: Polynomial Functions and Their Graphs (99)
    • 3.3: Dividing Polynomials (78)
    • 3.4: Real Zeros of Polynomials (113)
    • 3.5: Complex Zeros and the Fundamental Theorem of Algebra (77)
    • 3.6: Rational Functions (99)
    • 3.7: Polynomial and Rational Inequalities (58)
    • 3: Chapter Review
    • 3: Chapter Test (14)
    • 3: Focus on Modeling (5)
    • 3: Test Bank (74)
    • 4.1: Exponential Functions (74)
    • 4.2: The Natural Exponential Function (43)
    • 4.3: Logarithmic Functions (110)
    • 4.4: Laws of Logarithms (81)
    • 4.5: Exponential and Logarithmic Equations (108)
    • 4.6: Modeling with Exponential Functions (32)
    • 4.7: Logarithmic Scales (23)
    • 4: Chapter Review
    • 4: Chapter Test (13)
    • 4: Focus on Modeling (10)
    • 4: Test Bank (53)
    • 5.1: Angle Measure (109)
    • 5.2: Trigonometry of Right Triangles (84)
    • 5.3: Trigonometric Functions of Angles (86)
    • 5.4: Inverse Trigonometric Functions and Triangles (51)
    • 5.5: The Law of Sines (53)
    • 5.6: The Law of Cosines (67)
    • 5: Chapter Review
    • 5: Chapter Test (21)
    • 5: Focus on Modeling (8)
    • 5: Test Bank (30)
    • 6.1: The Unit Circle (65)
    • 6.2: Trigonometric Functions of Real Numbers (92)
    • 6.3: Trigonometric Graphs (97)
    • 6.4: More Trigonometric Graphs (73)
    • 6.5: Inverse Trigonometric Functions and Their Graphs (56)
    • 6.6: Modeling Harmonic Motion (69)
    • 6: Chapter Review
    • 6: Chapter Test (15)
    • 6: Focus on Modeling (8)
    • 6: Test Bank (38)
    • 7.1: Trigonometric Identities (126)
    • 7.2: Addition and Subtraction Formulas (89)
    • 7.3: Double-Angle, Half-Angle, and Sum-Product Formulas (129)
    • 7.4: Basic Trigonometric Equations (69)
    • 7.5: More Trigonometric Equations (78)
    • 7: Chapter Review
    • 7: Chapter Test (22)
    • 7: Focus on Modeling (8)
    • 7: Test Bank (33)
    • 8.1: Polar Coordinates (85)
    • 8.2: Graphs of Polar Equations (72)
    • 8.3: Polar Form of Complex Numbers De Moivre's Theorem (112)
    • 8.4: Plane Curves and Parametric Equations (75)
    • 8: Chapter Review
    • 8: Chapter Test (9)
    • 8: Focus on Modeling (8)
    • 8: Test Bank (29)
    • 9.1: Vectors in Two Dimensions (84)
    • 9.2: The Dot Product (60)
    • 9.3: Three-Dimensional Coordinate Geometry (29)
    • 9.4: Vectors in Three Dimensions (56)
    • 9.5: The Cross Product (42)
    • 9.6: Equations of Lines and Planes (38)
    • 9: Chapter Review
    • 9: Chapter Test (11)
    • 9: Focus on Modeling (19)
    • 9: Test Bank (30)
    • 10.1: Systems of Linear Equations in Two Variables (83)
    • 10.2: Systems of Linear Equations in Several Variables (51)
    • 10.3: Partial Fractions (51)
    • 10.4: Systems of Nonlinear Equations (54)
    • 10.5: Systems of Inequalities (80)
    • 10: Chapter Review
    • 10: Chapter Test (16)
    • 10: Focus on Modeling (16)
    • 10: Test Bank (59)
    • 11.1: Matrices and Systems of Linear Equations (77)
    • 11.2: The Algebra of Matrices (67)
    • 11.3: Inverses of Matrices and Matrix Equations (65)
    • 11.4: Determinants and Cramer's Rule (80)
    • 11: Chapter Review
    • 11: Chapter Test (20)
    • 11: Focus on Modeling (6)
    • 11: Test Bank (53)
    • 12.1: Parabolas (69)
    • 12.2: Ellipses (76)
    • 12.3: Hyperbolas (63)
    • 12.4: Shifted Conics (71)
    • 12.5: Rotation of Axes (47)
    • 12.6: Polar Equations of Conics (58)
    • 12: Chapter Review
    • 12: Chapter Test (17)
    • 12: Focus on Modeling (5)
    • 12: Test Bank (68)
    • 13.1: Sequences and Summation Notation (93)
    • 13.2: Arithmetic Sequences (81)
    • 13.3: Geometric Sequences (107)
    • 13.4: Mathematics of Finance (33)
    • 13.5: Mathematical Induction (39)
    • 13.6: The Binomial Theorem (63)
    • 13: Chapter Review
    • 13: Chapter Test (13)
    • 13: Focus on Modeling (6)
    • 13: Test Bank (72)
    • 14.1: Counting (100)
    • 14.2: Probability (72)
    • 14.3: Binomial Probability (45)
    • 14.4: Expected Value (32)
    • 14: Chapter Review
    • 14: Chapter Test (15)
    • 14: Focus on Modeling (7)
    • 14: Test Bank (58)
    • 0.1: Modeling the Real-World with Algebra (28)
    • 0.2: The Real Numbers (99)
    • 0.3: Integer Exponents and Scientific Notation (76)
    • 0.4: Rational Exponents and Radicals (120)
    • 0.5: Algebraic Expressions (106)
    • 0.6: Factoring (134)
    • 0.7: Rational Expressions (106)
    • 0.8: Solving Basic Equations (122)
    • 0.9: Modeling with Equations (71)
    • 0: Chapter Review
    • 0: Chapter Test (15)
    • 0: Focus on Modeling (9)
    • 0: Test Bank (98)

    Algebra and Trigonometry, 4 th edition explains concepts simply and clearly, without glossing over difficult points. This text is comprehensive and evenly paced, and provides complete coverage of the function concept, and integrates a significant amount of graphing calculator material to help students develop insight into mathematical ideas. The WebAssign enhancement to this textbook engages students with immediate feedback, rich tutorial content, and an interactive, fully customizable eBook.

    • Read It links under each question quickly jump to the corresponding section of a complete, interactive eBook that lets students highlight and take notes as they read.
    • Watch It links provide step-by-step instruction with short, engaging videos that are ideal for visual learners.
    • Lecture videos are available as a textbook resource.
    • Master It Tutorials (MI) show how to solve a similar problem in multiple steps by providing direction along with derivation so students understand the concepts and reasoning behind the problem solving.
    • Video Examples (VE) ask students to watch a section level video segment and then answer a question related to that video. Consider assigning the video example as review prior to class or as a lesson review prior to a quiz or test.
    • Explore It (EI) modules help students visualize the course's complex topics through hands-on exploration and interactive simulation.
    • Select questions contain detailed լուծումներ to the problem, available to students at your discretion.
    • Focus on Modeling (FoM) questions illustrate modeling techniques to teach students how to create their own mathematical models, rather than using prefabricated formulas.

    A Brief Biography

    Kathy Yoshiwara was born in Derby in the UK and grew up in Richmond, Virginia. She attended Michigan State University, where she studied Greek and mathematics. She did graduate work at UCLA and earned an MA in mathematics in 1977. She left UCLA in 1979 to join the faculty at Pierce College, where she taught for 33 years, retiring in 2013. In the 1998-1999 academic year she taught at Barnsley College in Yorkshire, England on a Fulbright teaching exchange. In 1996 she received the Award for Distinguished College or University Teaching of Mathematics from the Southern California Section of the MAA. In November 2003, she won the Teaching Excellence Award for the Western Region from the American Mathematical Association of Two-Year Colleges (AMATYC). She is married to Bruce Yoshiwara and benefits from his expertise in all things mathematical.

    Bruce Yoshiwara earned his PhD in mathematics at UCLA in 1988. He received the 2008 Award for Distinguished College or University Teaching of Mathematics from the Southern California-Nevada Section of the MAA, a 2009 Teaching Excellence Award from AMATYC, and a 2011 Hayward Award for Excellence in Education from the Board of Governors of the California Community Colleges. He is co-author (his wife Katherine is principal author) of several math textbooks.


    Teacher Background

    Objectives:

    To model a given situation, using trigonometry (including radian measure) to find and interpret measures in context, and evaluate findings. [M7.1]
    To find solutions, including the general solution, for trigonometric equations. [A8.15]

    NCEA: C3.3 Use Trigonometry to solve problems

    In place of the Wellington data, local climate data can easily be substituted to make the activity more meaningful to students.
    Data can be obtained from:
    www.niwa.co.nz/edu/resources/climate/ (for New Zealand)
    www.worldclimate.com/climate/index.htm (for the world)

    Long-term averages: (top graph, below)

    The model for the long-term averages is y = 4.2cos ((x - 1)π/6) + 13.7
    Replace January to December with 1 to 12.
    Alternative form: y = 4.2sin((x + 1)π/6) + 13.7

    A = amplitude = (ymax - ymin)/2
    B = 2π/12
    C = units translated to the right
    D = ymin + amplitude = units translated up


    Բարի գալուստ

    This is one of over 2,400 courses on OCW. Explore materials for this course in the pages linked along the left.

    MIT OpenCourseWare հազարավոր MIT դասընթացների նյութերի անվճար և բաց հրապարակում է ՝ ընդգրկելով MIT- ի ամբողջ ուսումնական ծրագիրը:

    Գրանցում կամ գրանցում չկա: Ազատորեն թերթեք և օգտագործեք OCW նյութերը ձեր սեփական տեմպերով: Գրանցում և մեկնարկի կամ ավարտի ամսաթվեր չկան:

    Գիտելիքը ձեր վարձատրությունն է: Օգտագործեք OCW ՝ ձեր ողջ կյանքի ընթացքում ուսուցումը ղեկավարելու կամ ուրիշներին ուսուցանելու համար: Մենք չենք առաջարկում վարկ և սերտիֆիկացում OCW- ի օգտագործման համար:

    Պատրաստված է համօգտագործման համար, Ներբեռնեք ֆայլեր ավելի ուշ: Ուղարկել ընկերներին և գործընկերներին: Փոփոխել, վերափոխել և վերօգտագործել (պարզապես հիշեք, որ որպես աղբյուր նշեք OCW- ն):


    Դիտեք տեսանյութը: Trigonometrikus egyenletek megoldása (Հոկտեմբեր 2021).