Հոդվածներ

1.3. Առաջին կարգի հավասարումների ուղղության դաշտերը


Անհնար է գտնել հստակ բանաձևեր որոշ դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումների համար: Այս դեպքում մենք կարող ենք դիմել գրաֆիկական կամ թվային մեթոդների `որոշակի պատկերացում կազմելու համար, թե ինչպես են վարվում տվյալ հավասարման լուծումները:

2.3 բաժնում մենք կքննարկենք առաջին կարգի հավասարության լուծումների առկայության հարցը [[ label {eq: 1.3.1} y '= f (x, y). ]

Այս բաժնում մենք պարզապես ենթադրենք, որ ref {eq: 1.3.1} հավասարումը լուծումներ ունի և կքննարկի դրանց մոտավորման գրաֆիկական մեթոդը: 3-րդ գլխում մենք քննարկում ենք ref {eq: 1.3.1} հավասարման մոտավոր լուծումներ ստանալու թվային մեթոդները: Հիշեցնենք, որ ref {eq: 1.3.1} հավասարության լուծումը գործառույթ է (y = y (x) ) այնպես, որ

[y '(x) = f (x, y (x)) անթիվ ]

որոշ ընդմիջումներում (x ) - ի բոլոր արժեքների համար, և ինտեգրալ կորը կա՛մ լուծման գրաֆիկ է, կա՛մ կազմված է լուծումների գծապատկեր հանդիսացող հատվածներից: Հետևաբար, ref {eq: 1.3.1} լուծումը լուծել չկարողանալը համարժեք է ref {eq: 1.3.1} հավասարման ինտեգրալ կորերի հավասարումները չիմանալուն: Այնուամենայնիվ, հեշտ է հաշվարկել այս կորերի լանջերը: Մասնավորապես, ref {eq: 1.3.1} հավասարման ինտեգրալային կորի թեքությունը տրված կետի միջով ((x_0, y_0) ) տրված է (f (x_0, y_0) թվով: Սա է հիմքը ուղղության դաշտերի մեթոդը.

Եթե ​​ (f ) բազմության վրա սահմանված է (R ), մենք կարող ենք կառուցել a ուղղության դաշտ ref {eq: 1.3.1} հավասարման համար (R ) ՝ յուրաքանչյուր կետի միջոցով ((x, y) ) կետի կարճ գծի հատված գծելով (R ) թեքությամբ (f (x, y ) ): Իհարկե, որպես գործնական խնդիր, մենք իրականում չենք կարող գծերի հատվածներ գծել ամեն կետը (R ); ավելի շուտ, մենք պետք է կետերի վերջավոր բազմություն ընտրենք (R ) - ում: Օրինակ ՝ ենթադրենք, որ (f ) սահմանված է փակ ուղղանկյուն շրջանում [R: {a le x le b, c le y le d }. Nonumber ]

Թող [a = x_0 ձեւավորել ա ուղղանկյուն ցանց (Նկար ( PageIndex {1} )): Ridանցի յուրաքանչյուր կետի միջոցով մենք գծի կարճ գծի հատված ենք նկարում (f (x_i, y_j) ) թեքությամբ: Արդյունքն այն է, որ մոտենա ուղղության դաշտին ref {eq: 1.3.1} հավասարման համար (R ): Եթե ​​ցանցի կետերը բավականաչափ քանակով են և միմյանց մոտ են, մենք կարող ենք գծել ref {eq: 1.3.1} հավասարման մոտավոր ինտեգրալային կորեր `ցանցի կետերի հետ կապված գծի հատվածների շոշափող գծերի հատվածների միջի կորեր գծելով:

Դժբախտաբար, ուղղության դաշտի մոտավորումը և այս կերպ ինտեգրալ կորերի գծապատկերը չափազանց հոգնեցուցիչ է ձեռքով արդյունավետ կատարելու համար: Այնուամենայնիվ, դա անելու համար կա ծրագրակազմ: Ինչպես կտեսնեք, ուղղության դաշտերի և ինտեգրալ կորերի համադրությունը օգտակար պատկերացում է տալիս դիֆերենցիալ հավասարման լուծումների վարքագծի վերաբերյալ, նույնիսկ եթե մենք չենք կարող ճշգրիտ լուծումներ ստանալ:

Մենք կուսումնասիրենք 3-րդ գլխի մեկ առաջին կարգի հավասարության լուծման լուծման թվային մեթոդները: Այս մեթոդները կարող են օգտագործվել ուղղաձև գծապատկերների ref {eq: 1.3.1} լուծույթի կորերը գծագրելու համար: տարածաշրջան (Ռ ) եթե (զ ) շարունակական է (Ռ ): Նկարները ( PageIndex {2} ), ( PageIndex {3} ) և ( PageIndex {4} ) ցույց են տալիս ուղղության դաշտերը և լուծույթի կորերը դիֆերենցիալ հավասարումների համար.

  • (y '= frac {x ^ 2-y ^ 2} {1 + x ^ 2 + y ^ 2} ),
  • (y '= 1 + xy ^ 2 ), և
  • (y '= frac {x-y} {1 + x ^ 2} ):

որոնք բոլորն էլ ref {eq: 1.3.1} հավասարության ձևով են. (f ) շարունակական է բոլորի համար ((x, y) ):

3-րդ գլխի մեթոդները չեն աշխատի [ label {eq: 1.3.2} y '= - x / y ] հավասարման համար:

եթե (R ) պարունակում է (x ) - առանցքի մի մասը, քանի որ (f (x, y) = - x / y ) անորոշ է, երբ (y = 0 ): Նմանապես, դրանք չեն աշխատի հավասարման համար

[ label {eq: 1.3.3} y '= {x ^ 2 over1-x ^ 2-y ^ 2} ]

եթե (R ) պարունակում է միավորի շրջանի որևէ մաս (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ), քանի որ ref {eq: 1.3.3} հավասարության աջ կողմը անվորոշված ​​է, եթե (x ^ 2 + յ ^ 2 = 1 ): Այնուամենայնիվ, ref {eq: 1.3.2} հավասարումը և ref {eq: 1.3.3} հավասարումը կարող են գրվել որպես

[ label {eq: 1.3.4} y '= {A (x, y) ավելի քան B (x, y)} ]

որտեղ (A ) և (B ) շարունակական են ցանկացած ուղղանկյան վրա (R ): Այդ պատճառով, դիֆերենցիալ հավասարումների որոշ ծրագրակազմ հիմնված է ձևի հավասարումների զույգ թվային լուծման վրա

[ label {eq: 1.3.5} {dx over dt} = B (x, y), quad {dy over dt} = A (x, y) ]

որտեղ (x ) և (y ) դիտվում են որպես (t ) պարամետրի գործառույթներ: Եթե ​​ (x = x (t) ) և (y = y (t) ) բավարարում են այս հավասարումները, ապա

[y '= {dy over dx} = {dy over dt} left / {dx over dt} right. = {A (x, y) over B (x, y)}, non number ]

այնպես որ (y = y (x) ) բավարարում է ref {eq: 1.3.4} հավասարումը:

Ref {eq: 1.3.2} և ref {eq: 1.3.3} հավասարումները կարող են վերաձևակերպվել, ինչպես ref {eq: 1.3.4} հավասարության մեջ ՝ [{dx over dt} = - y, quad {dy over dt} = x non-number ]

և

[{dx over dt} = 1-x ^ 2-y ^ 2, quad {dy over dt} = x ^ 2, non number =]

համապատասխանաբար Նույնիսկ եթե (f ) շարունակական է և հակառակ դեպքում «գեղեցիկ» է (R ), ձեր ծրագրակազմը կարող է պահանջել, որ վերաձեւակերպեք հավասարումը (y '= f (x, y) ) որպես

[{dx over dt} = 1, quad {dy over dt} = f (x, y), nonumber ]

որը ref (eq: 1.3.5}) հավասարման ձևից է ՝ (A (x, y) = f (x, y) ) և (B (x, y) = 1 ) և

Նկարը ( PageIndex {5} ) ցույց է տալիս ուղղության դաշտը և որոշ refeq հավասարության համար որոշ refral curves = eq: 1.3.2}: Ինչպես մենք տեսանք օրինակում [օրինակ. 1.2.1} և կրկին կճշտենք 2.2 բաժնում, ref {eq: 1.3.2} հավասարության անխափան կորերը օղակներ են, որոնք կենտրոնացած են ծագման վրա:

Նկարում ( PageIndex {6} ) ցույց են տրված ուղղության դաշտը և որոշ ref (հավասար) 1.3 հավասարության հավասարության կորեր: Վերին և ներքևի մոտ գտնվող ինտեգրալային կորերը լուծույթի կորեր են: Այնուամենայնիվ, կեսին մոտ գտնվող ինտեգրալ կորերը ավելի բարդ են: Օրինակ, Նկար ( PageIndex {7} ) - ը ցույց է տալիս ծագման միջոցով անբաժանելի կորը: Անջատված ուղղանկյան գագաթները գտնվում են շրջանագծի վրա (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) ( (ա մոտ 846 ), (բ մոտավորապես 533 )), որտեղ բոլոր Հավասարումը ref {eq: 1.3.3} ունեն անսահման թեքություն: Նկարում առկա է ref {eq: 1.3.3} հավասարման լուծման երեք կորեր. Մակարդակից բարձր հատվածը (y = b ) - ը լուծույթի գծապատկերն է ((- - անբավարար, ա) ), մակարդակից ցածր հատվածը (y = -b ) լուծույթի գծապատկերն է ((- ա, անպիտան) ) վրա, և այս երկու մակարդակների միջև հատվածը լուծման գծապատկեր է: վրա ((- ա, ա) ):

Օգտագործելով տեխնոլոգիա

Այս գրքից ուսումնասիրելիս ձեզանից հաճախ ձեզ կառաջարկեն օգտագործել համակարգչային ծրագրակազմ և գրաֆիկա: Այս մտադրությամբ վարժությունները նշվում են որպես (անհրաժեշտ է համակարգիչ կամ հաշվիչ), (պահանջվում է համակարգիչ և (կամ գրաֆիկա)), կամ (ծրագրակազմ և (կամ) գրաֆիկա պահանջող լաբորատոր աշխատանք): Հաճախ դուք կարող է ամբողջովին չհասկանաք, թե ինչպես է ծրագրաշարն անում այն, ինչ անում է: Սա նման է այն իրավիճակին, որում մարդիկ ապրում են ավտոմեքենաներ վարելիս կամ հեռուստացույց դիտելիս, և չի նվազեցնում ժամանակակից տեխնոլոգիաների ՝ որպես ուսման օժանդակ օգտագործման արժեքը: Պարզապես զգույշ եղեք, որ տեխնոլոգիան օգտագործեք ոչ թե որպես դրա փոխարինող, այլ մտքի լրացում:


Դիտեք տեսանյութը: Հավասարումների համակարգեր և դրանց գրաֆիկները. 5x+3y=7 և 3x-2y=8. 8-րդ դասարան. Քան ակադեմիա (Հոկտեմբեր 2021).