Հոդվածներ

8.2. Ֆունկցիայի միջին արժեքը - մաթեմատիկա


Ըստ Կեպլերի մոլորակի շարժման օրենքների, Արեգակի շուրջը պտտվող մոլորակը հետևում է էլիպսաձեւ ուղեծրին, Արեգակն էլիպսի մեկ կիզակետում է, ինչպես նկարում [նկ. Ուղեծիր]: Ինչպե՞ս կգտնեիր միջին հեռավորությունը մոլորակի և Արեգակի միջև մեկ ամբողջական ուղեծրի՞ց: Գաղափարը միջին թվերի սովորական հասկացությունն ընդհանրացնելն է:

Հիշեցնենք, որ (n ) թվերի համար (x_1 ), (x_2 ), ( կետեր ), (x_n ) միջին, նշվում է ( բար {x} ) - ով, պարզապես թվերի հանրագումարն է, բաժանված քանի թվերի, մասնավորապես

[ բար {x} = ~ frac {x_1 ~ + ~ x_2 ~ + ~ cdots ~ + ~ x_n} {n} ~: ] Վիճակագրության մեջ ( բար {x} ) կոչվում է նշանակում է (x_1 ), (x_2 ), ( ldots ), (x_n ): Այս սահմանումն իմաստ ունի թվերի վերջավոր բազմության համար, բայց Արեգակի շուրջ պտտվող մոլորակի դեպքում մոլորակի և Արեգակի միջև անհամար հեռավորության վրա կա անհամար թվով հեռավորություն, ինչը անհնար է դարձնում վերը նշված սահմանումը: Փոխարենը անհրաժեշտ է անվերջ շարունակական արժեքների գումար հավաքելու միջոց: Նման մեթոդ արդեն իսկ հանդիպել է. Որոշակի ինտեգրալը, որը պարզապես անսահմանափակ մեծությունների շարունակության գումար է:

Փակ միջակայքի վրա ( ival {a} {b} ) գործառույթի միջին արժեքի սահմանումը ( ival {a} {b} ), որը նշվում է ( avg {f} ) նշանով, դրդելու համար գործառույթի միջին արժեքի սահմանումը դրդելու համար հաշվի առեք բաժին

[P ~ = ~ lbrace a = x_0

[ avg {f} մոտավոր ~ frac {f (x_1) ~ + ~ f (x_2) + ~ cdots ~ + ~ f (x_n)} {n} ~ = ~ sum_ {i = 1 } ^ n frac {f (x_i)} {n} ] Ըստ գումարումների հատկությունների, ամբողջ գումարը բաժանիր հաստատունով (ba ) և բազմապատկիր յուրաքանչյուր տերմին գումարի մեջ (ba ) ՝ ստանալու համար.

[ avg {f} մոտավոր ~ frac {1} {ba} , sum_ {i = 1} ^ nf (x_i) , cdot , frac {ba} {n} = frac {1} {ba} , sum_ {i = 1} ^ nf (x_i) , Delta x_i ] Նկատի ունեցեք, որ աջ կողմում վերջին գումարումը պարզապես Ռիմանի գումար է որոշակի ինտեգրալի համար ( int_a ^ bf (x) , dx ), կետերով (x_i ^ * ) կետերը ընտրված են որպես ընդմիջումների ճիշտ վերջնակետեր ( ival {x_ {i-1}} {x_i} ) համար (i = 1 ) - ից (n ): Այսպիսով, հաշվի առնելով այդ գումարի սահմանը որպես (n 'անպիտան ) (ինչը նշանակում է, որ միջինում ավելի ու ավելի շատ ֆունկցիաների արժեքներ ներառել) տալիս է հետևյալ սահմանումը.

Օրինակ ( PageIndex {1} ) ՝ avg1

Տեքստը ավելացրեք այստեղ:

Լուծում

Գտեք (f (x) = x ^ 2 ) միջին արժեքը ( ival {0} {1} ) - ի նկատմամբ:

Լուծում. Ըստ սահմանման ՝ (a = 0 ) և (b = 1 ) - ով,

[ avg {f} = ~ frac {1} {1-0} , int_0 ^ 1 , f (x) d dx ~ = ~ int_0 ^ 1 , x ^ 2 dx ~ = ~ frac {x ^ 3} {3} ~ Biggr | _0 ^ 1 ~ = ~ frac {1 ^ 3} {3} ~ - ~ frac {0 ^ 3} {3} ~ = ~ frac {1} {3} ] Նկատի ունեցեք, որ սա ասում է, որ եթե դուք վերցնեիք բոլոր թվերը 0-ից 1-ի միջև և դրանք քառակուսի դարձնեիք, ապա այդ քառակուսիների միջինը կլինի 1/3:

Օրինակ ( PageIndex {1} ) ՝ avg2

Տեքստը ավելացրեք այստեղ:

Լուծում

Գտեք (f (x) = x ^ 2 ) միջին արժեքը ( ival {-1} {1} ) - ի նկատմամբ:

Լուծում. Ըստ սահմանման ՝ (a = -1 ) և (b = 1 ) հետ,

[ avg {f} = ~ frac {1} {1 - (- 1)} , int _ {- 1} ^ 1 , f (x) ~ dx ~ = ~ frac {1} {2} , int _ {- 1} ^ 1 , x ^ 2 ~ dx ~ = ~ frac {x ^ 3} {6} ~ Biggr | _ {- 1} ^ 1 ~ = ~ frac {1 ^ 3} {6} ~ - ~ frac {(- 1) ^ 3} {6} ~ = ~ frac {1} {3} ] Նկատի ունեցեք, որ սա նույնն է, ինչ միջինից բարձր ( ival {0} {1} ), ինչպես ցույց է տրված նախորդ օրինակում: Սա պետք է իմաստ ունենա, քանի որ (f (x) = x ^ 2 ) ֆունկցիան սիմետրիկ է (y ) - առանցքի վերաբերյալ, ուստի (f (x) ) արժեքները ( ival {) –ից -1} {0} ) նույնն են, ինչ ( ival {0} {1} ) - ից: ( Ival {-1} {1} ) - ի արժեքները պարզապես կրկնօրինակում են արժեքները ( ival {0} {1} ) –ից և, հետևաբար, չեն փոխում միջինը:

Օրինակ ( PageIndex {1} ) ՝ avg3

Տեքստը ավելացրեք այստեղ:

Լուծում

Գտեք (f (x) = sin , x ) - ի միջին արժեքը ( ival {0} { pi} ) - ի նկատմամբ:

Լուծում. Ըստ սահմանման ՝ (a = 0 ) և (b = pi ) - ով,

[ avg {f} = ~ frac {1} { pi-0} , int_0 ^ { pi} , f (x) ~ dx ~ = ~ frac {1} { pi } int_0 ^ { pi} , sin , x ~ dx ~ = ~ - frac {1} { pi} , cos , x ~ Biggr | _0 ^ { pi} ~ = ~ - frac {1} { pi} , ( cos , pi ~ - cos , 0) ~ = ~ - frac {1} { pi} , (- 1 - 1) ~ = ~ frac {2} { pi} ]

Օրինակ ( PageIndex {1} ) ՝ avg4

Տեքստը ավելացրեք այստեղ:

Լուծում

Գտեք էլիպսից ( frac {x ^ 2} {25} + frac {y ^ 2} {9} = 1 ) միջին հեռավորությունը կետից ((4,0) ):

Լուծում. Եկեք (d ) ներկայացնենք հեռավորությունը էլիպսի ցանկացած կետից ((x, y) ) կետից մինչև կետը ((4,0) ), ինչպես նկարում [նկ. Avgellipse]: Եթե ​​ ((x, y) ) էլիպսի վրա է ( frac {x ^ 2} {25} + frac {y ^ 2} {9} = 1 ), ապա (y ^ 2 = 9 ( 1 - frac {x ^ 2} {25}) = frac {9} {25} (25-x ^ 2) ): Այսպիսով, հեռավորության բանաձևով, (d ) տրված է

[ սկիզբը {հավասարեցված} d ^ 2 ~ & = ~ (x-4) ^ 2 ~ + ~ (y-0) ^ 2 ~ = ~ (x-4) ^ 2 ~ + ~ y ^ 2 & = ~ (x-4) ^ 2 ~ + ~ frac {9} {25} (25-x ^ 2)

[6pt] & = ~ frac {25 (x-4) ^ 2 ~ + ~ 9 (25-x) ^ 2} {25} ~ = ~ frac {25x ^ 2 ~ - ~ 200x + ~ 400 ~ + ~ 225 ~ - ~ 9x ^ 2} {25}

[6pt] & = ~ frac {16x ^ 2 ~ - ~ 200x ~ + ~ 625} {25}

[6pt] d ^ 2 ~ & = ~ frac {(4x - 25) ^ 2} {25} quad text {, և այդպիսով քառակուսի արմատներ վերցնելը տալիս է}

[6pt] d ~ & = ~ pm , frac {4x - 25} {5} ~ = ~ - frac {4x - 25} {5} ~ = ~ frac {25 - 4x} {5} վերջ {հարթեցված} ]

համար (- 5 le x le 5 ), քանի որ (d = (4x-25) / 5 <0 ) միացված է ( ival {-5} {5} ) և հեռավորությունը չի կարող բացասական լինել , Նկատի ունեցեք, որ էլիպսի սիմետրիայով (x ) - առանցքի վերաբերյալ, միջին հեռավորության համար անհրաժեշտ է միայն էլիպսի վերին կեսը, քանի որ ստորին կեսը կրկնօրինակում է հեռավորությունները: Այսպիսով, միջին հեռավորությունը կազմում է

[ avg {d} = ~ frac {1} {5 - (-5)} , int _ {- 5} ^ 5 , frac {25 - 4x} {5} ~ dx ~ = ~ frac {1} {50} , (25x - 2x ^ 2) ~ Biggr | _ {- 5} ^ 5 ~ = ~ frac {1} {50} , (125 - 50 ~ - ~ ( -125 - 50)) ~ = ~ 5 : ] Ուշադրություն դարձրեք, որ կետը ((4,0) ) էլիպսի կիզակետ է ( frac {x ^ 2} {25} + frac {y ^ 2} {9} = 1 ) (ինչու՞), որը, պարզվում է, միջին հեռավորության հաշվարկը բավականին պարզ է դարձնում:

Ի՞նչ կլինի, եթե ցանկանում եք (f ) գործառույթի միջին արժեքը, որը հեշտությամբ ինտեգրելի չէ: Թվային ինտեգրման տեխնիկայի մեկ այլընտրանք է Մոնտե Կառլոյի մեթոդը, Դրա գաղափարը պարզ է. Վերադառնալ միջինի սովորական սահմանմանը ՝ վերցնելով մեծ թվով (N ) պատահական թվեր (x_1 ), (x_2 ), ( կետեր ), (x_N ) ( ival {a} {b} ) -ում և ապա օգտագործելով մոտավորությունը

[ avg {f} մոտավորապես ~ frac {f (x_1) ~ + ~ f (x_2) ~ + ~ cdots ~ + ~ f (x_N)} {N}. ] Սա կարող է թվալ մի քայլ հետընթաց հաշվից, և դա այն է, բայց դա զարմանալիորեն օգտակար է, ինչպես նաև պարզ է համակարգչով իրականացնելը: Բացի այդ, կարելի է ցույց տալ, որ երբ ( ival {a} {b} ) - ում պատահական կետերի թիվն ավելանում է, մոտավորությունները միմյանց հետ են միանում իրական միջինին:

Օրինակ ( PageIndex {1} ) ՝ avgoctave

Տեքստը ավելացրեք այստեղ:

Լուծում

Մոնտե Կառլոյի մեթոդը հեշտ է իրականացնել Octave / MATLAB- ում: Սովորաբար անհրաժեշտ է միայն «մեկ տող» ՝ շնորհիվ Octave– ի վեկտորացում- այսինքն ՝ միանգամից օբյեկտների ամբողջ զանգվածների վրա մաթեմատիկական գործողություններ կատարելու ունակություն:

Օրինակ, հիշեք օրինակից

Օրինակ ( PageIndex {1} ) ՝ avg1

Տեքստը ավելացրեք այստեղ:

Լուծում

որ (f (x) = x ^ 2 ) - ի միջին արժեքը ( ival {0} {1} ) - ի նկատմամբ = (1/3 = 0.33333 ldots , ): Մոտավորեք միջին արժեքը `օգտագործելով 100 միլիոն ( (10 ​​^ 8 )) պատահական թվերի զանգված ( ival {0} {1} ):
օկտավա> միջին (ռանդ (1,1e8). ^ 2) ans = 0,3333292094741531

Կետը կետումռանդ (1,1e8). ^ 2հրամանը կիրառում է քառակուսացման գործողությունը (^2) զանգվածում (10 ​​^ 8 ) պատահական թվերից յուրաքանչյուրին վերադարձվածռանդ (1,1e8)հրաման. Համախառննշանակում էֆունկցիան այնուհետև հաշվարկում է զանգվածի միջին արժեքը: Եռանկյունաչափական, էքսպոնենտալ և այլ գործառույթներ կարող են կիրառվել զանգվածների վրա, ֆունկցիայի միջոցով յուրաքանչյուր զանգվածի տարրը գնահատվում է առանձին: Ընդհանրապես հրամանը(բ-ա). * ռանդ (1, Ն) + ակվերադարձնի մի զանգվածՆպատահական թվեր ((a, b) ) միջակայքում:

Օրինակ, (f (x) = sin , (x ^ 2) ֆունկցիան չի կարող ինտեգրվել փակ ձևով, բայց դրա միջին արժեքը գերազանցում է ( ival { pi} {2 pi} ) կարելի է հեշտությամբ մոտեցնել Octave- ում (իրական միջին = -0.04154374531416104):

օկտավա> միջին (մեղք ((pi. * rand (1,1e8) + pi). ^ 2)) ans = -0.04153426177596753

[sec8dot2]

1-9 վարժությունների համար գտեք գործառույթի միջին արժեքը (f (x) ) տրված միջակայքի վրա:

3

(f (x) = 1 ), ավելի քան ( ival {0} {3} )

(f (x) = x ), ավելի քան ( ival {0} {1} )

(f (x) = x ^ 2 ), ավելի քան ( ival {0} {2} )

3

(f (x) = x ^ 3 ), ավելի քան ( ival {0} {2} )

(f (x) = sin , 2x ), ավելի քան ( ival {0} { pi / 2} )

(f (x) = e ^ x ), ավելի քան ( ival {-1} {4} )

3

(f (x) = x ^ 3 ), ավելի քան ( ival {-1} {1} vphantom { dfrac {1} {x}} )

(f (x) = sin , x ), ավելի քան ( ival {- pi / 2} { pi / 2} vphantom { dfrac {1} {x}} )

(f (x) = dfrac {1} {x} ), ավելի քան ( ival {1} ​​{3} )

Էլեկտրական ազդանշանները սովորաբար ներկայացված են ա պարբերական ալիքի ձև (x (t) ), որը ժամանակի գործառույթ է (t ) և ունի ժամանակահատված (T ) (այսինքն ՝ (T ) ամենափոքր դրական թիվն է, ինչպիսին է (x (t + T) = x (t) ) բոլորի համար (t )): Ի միջին հզորություն ալիքի ձևը սահմանվում է որպես դրա հրապարակի միջին արժեքը մեկ ժամանակահատվածում.

[ Միջին {x ^ 2 (t)} ~ = ~ frac {1} {T} , int_0 ^ T , x ^ 2 (t) ~ dt ~. ]

  1. Գտեք ալիքաձևի միջին հզորությունը (x (t) = A cos ( omega t + phi) ), որտեղ (A> 0 ) և ( omega> 0 ) և ( phi ) բոլորը հաստատուններ են:
  2. Ի արմատ միջին քառակուսի ալիքի ձևի, կրճատ ՝ rms, միջին հզորության քառակուսի արմատն է: Հաշվարկել ալիքի ձևի rms- ը (a) մասից: Գրեք ձեր պատասխանը տասնորդական ձևով `որպես (A ) ամպլիտուդի տոկոս:

Մատակարարված լարումով (էլեկտրաշարժիչ ուժ) (E ) էլեկտրական միացում, կոնդենսատոր ՝ կոնդենսատորով (C ) և դիմադրություն ունեցող դիմադրողով (R), ցույց է տրված աջ նկարում: Երբ շղթայում (ներ ) անջատիչը բացվում է ժամանակին (t = 0 ) հոսանքը (I ) շղթայի միջով սկսում է երկրաչափականորեն նվազել ՝ որպես ժամանակի ֆունկցիա (t ) (չափվում է վայրկյաններով անջատիչը բացելուց հետո), տրված է

[I ~ = ~ frac {E} {R} , e ^ {- t / RC} ] համար (t ge 0 ):

  1. Ուրվագծեք (I ) կոպիտ գրաֆիկը ՝ որպես (t ) գործառույթ:
  2. Նկատի ունեցեք, որ ժամանակին (t = 0 ) հոսանքը (I = frac {E} {R} ) է (չափվում է ամպերով), ինչը Օհմի օրենքի ծանոթ բանաձևն է: Դա (I ) պիկ արժեքն է: Ո՞րն է ներկա պահին (I ) (t = 5RC ): Գրեք ձեր պատասխանը տասնորդական ձևով `որպես գագաթնակետային հոսանքի ( frac {E} {R} ) տոկոս (օրինակ` (0.42 frac {E} {R} ), որը կլինի (42 \% ) ) պիկային հոսանքի):
  3. Findամանակի միջակայքում գտնեք շղթայի միջին հոսանքը ( ival {0} {5RC} ): Գրեք ձեր պատասխանը տասնորդական տեսքով `որպես գագաթնակետային հոսանքի տոկոս:

[[1.]]

Գարնանային հաստատունով (k ) և զսպման հաստատունով ( nu ) զսպանակը միացնում է գրավիտացիոն ալիքի դետեկտորում զանգվածով (մ ) երկու կետի մասնիկներ: Ձգողական ալիքը դետեկտորի միջով անցնում է ժամանակին (t = 0 ) և գարնանը տատանում է առաջացնում ՝ (2 pi / Օմեգա ) և էներգիայի (E ) ժամանակաշրջանով ժամանակով (t) ge 0 ) կողմից տրված

[E (t) ~ = ~ frac {1} {4} mR ^ 2 , ձախ ( Omega ^ 2 , sin ^ 2 , ( Omega t + phi) ~ + ~ omega_0 ^ 2 , cos ^ 2 , ( Omega t + phi) աջ) ~, ] որտեղ ( omega_0 ^ 2 = 2k / m ), ( phi = tan ^ {- 1 } , (2 nu Omega / (m ( omega_0 ^ 2 - Omega ^ 2)) ), իսկ (R ) հաստատուն է:

  1. Ույց տվեք, որ միջին ժամանակահատվածում ( avg {E} ) մեկ ժամանակահատվածում ( ival {0} {2 pi / Omega} ) տատանում

    [ avg {E} ~ = ~ frac {1} {8} mR ^ 2 , ( omega_0 ^ 2 ~ + ~ Omega ^ 2) ~: ]

  2. Ենթադրենք, որ այս տեսակի մի շարք նույնական դետեկտորները միատեսակ բաշխված են հարթ զանգվածում `մեկ միավորի տարածքում ( սիգմա) դետեկտորների խտությամբ: Էներգիան (E_ sigma (t) ), որը գրավիչ ալիքի կողմից յուրաքանչյուր դետեկտորին փոխանցվում է ժամանակին (t ge 0 ),

    [E_ sigma (t) ~ = ~ nu Omega ^ 2 R ^ 2 , sin ^ 2 , ( Omega t + phi) ~: ] Showույց տվեք, որ միջին էներգիան ( avg { E_ sigma} ) մեկ ժամանակահատվածում ( ival {0} {2 pi / Omega} ) տատանում

    [ avg {E_ sigma} ~ = ~ frac {1} {2} nu Omega ^ 2 R ^ 2 ~. ]

[[1.]]

Էլիպսի համար ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ), (a> b> 0 ) հետ, օջախները կետերը ((c, 0) ) և ((- c, 0) ), որտեղ (c = sqrt {a ^ 2 - b ^ 2} ): Գտեք էլիպսից մինչև դրա ֆոկուսներից յուրաքանչյուրի միջին հեռավորությունը ` (a ), (b ) և (c ) կայունությունների տեսանկյունից:

Գրեք համակարգչային ծրագիր, որպեսզի օգտագործեք Մոնտե Կառլոյի մեթոդը 1 միլիոն պատահական միավորով `էլիպսից u200b u200b միջին հեռավորությունը մոտենալու համար կետին ((0,0) ) կետին: Կետերի համար ամենափոքր միջակայքն ընտրելու համար օգտագործեք համաչափություն: Կարո՞ղ էիք դրա փոխարեն օգտագործել բանաձեւը ([eqn: avgvalue]): Բացատրեք


Դիտեք տեսանյութը: Զույգ և Կենտ Ֆունկցիաներ Even and Odd Functions (Հոկտեմբեր 2021).