Հոդվածներ

11.5. Հիպերբոլազներ - մաթեմատիկա


Ուսուցման նպատակները

Այս բաժնի ավարտին դուք կկարողանաք.

  • Գծեք հիպերբոլայի կենտրոնը ((0,0) )
  • Գծեք հիպերբոլայի կենտրոնը ((h, k) )
  • Որոշեք կոնաձև հատվածները ըստ իրենց հավասարումների

Նախքան սկսելը, վերցրու այս պատրաստության վիկտորինան:

  1. Լուծել. (X ^ {2} = 12 ):
    Եթե ​​այս խնդիրը բաց եք թողել, վերանայեք օրինակ 9.1-ը:
  2. Ընդլայնել ՝ ((x − 4) ^ {2} ):
    Եթե ​​այս խնդիրը բաց եք թողել, վերանայեք օրինակ 5.32-ը:
  3. Գրաֆիկ (y = - frac {2} {3} x ):
    Եթե ​​այս խնդիրը բաց եք թողել, վերանայեք 3.4 օրինակը:

Գծեք հիպերբոլայի կենտրոնի հետ ((0,0) )

Վերջին կոնաձև հատվածը, որը մենք կանդրադառնանք, կոչվում է a հիպերբոլա, Մենք կտեսնենք, որ հիպերբոլայի հավասարումը նույնն է, ինչ էլիպսակի հավասարումը, բացառությամբ որ դա տարբերություն է, քան գումար: Չնայած էլիպսի և հիպերբոլայի հավասարումները շատ նման են, դրանց գծապատկերները շատ տարբեր են:

Մենք սահմանում ենք ա հիպերբոլա ինչպես ինքնաթիռի բոլոր կետերը, որտեղ նրանց հաստատված հեռավորությունների տարբերությունը երկու ֆիքսված կետերից հաստատուն է: Ֆիքսված կետերից յուրաքանչյուրը կոչվում է ա կենտրոնանալ հիպերբոլայի

Սահմանում ( PageIndex {1} )

Ա հիպերբոլա ինքնաթիռի բոլոր կետերն են, որտեղ նրանց հեռավորությունների տարբերությունը երկու ֆիքսված կետերից հաստատուն է: Ֆիքսված կետերից յուրաքանչյուրը կոչվում է ա կենտրոնանալ հիպերբոլայի

Ֆոկուսների միջով անցնող գիծը կոչվում է լայնակի առանցք, Երկու կետերը, որտեղ լայնակի առանցքը հատում է հիպերբոլան, յուրաքանչյուրն ա գագաթ հիպերբոլայի Ֆոկուսներին միացող հատվածի միջին կետը կոչվում է կենտրոն հիպերբոլայի Կենտրոնով անցնող լայնակի առանցքին ուղղահայաց գիծը կոչվում է կոնյուկացված առանցք, Գրաֆիկի յուրաքանչյուր կտոր կոչվում է ա մասնաճյուղ հիպերբոլայի

Կրկին մեր նպատակն է կապի երկրաչափությունը հանրահաշվի հետ կապել: Հիպերբոլայի ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի վրա դնելը մեզ տալիս է այդ հնարավորությունը: Նկարում մենք դրեցինք հիպերբոլան այնպես, որ օջախները ((- - c, 0), (c, 0)) ) գտնվում են (x ) - առանցքի վրա, իսկ կենտրոնը ՝ ծագումը:

Սահմանման մեջ նշվում է, որ օջախներից դեպի կետ ((x, y) ) հեռավորության տարբերությունը հաստատուն է: Այսպիսով, (| d_ {1} −d_ {2} | ) հաստատուն է, որը մենք կանչելու ենք (2 ա ) այնպես որ (| d_ {1} -d_ {2} | = 2 ա ): Մենք կօգտագործենք հեռավորության բանաձևը մեզ էլիպսի հանրահաշվական բանաձև տանելու համար:

Օգտագործեք հեռավորության բանաձևը ՝ գտնելու համար (d_ {1}, d_ {2} )

( ձախ | sqrt {(x - (- գ)) ^ {2} + (y-0) ^ {2}} - sqrt {(xc) ^ {2} + (y-0) ^ { 2}} աջ | = 2 ա )

Վերացրեք արմատականներին: Էլիպսի հավասարումը պարզեցնելու համար թույլ ենք տալիս (c ^ {2} -a ^ {2} = b ^ {2} ):

( frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} + frac {y ^ {2}} {c ^ {2} -a ^ {2}} = 1 )

Այսպիսով, ստանդարտ տեսքով սկզբնամասում կենտրոնացած հիպերբոլայի հավասարումը հետևյալն է.

( frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )

Հիպերբոլան գրաֆիկի համար օգտակար կլինի իմանալ գաղտնալսումների մասին: Մենք կգտնենք (x ) - ընդհատումներ և (y ) - ընդհատումներ բանաձևի միջոցով:

(x ) - գաղտնալսում է

Եկեք (y = 0 ):

( սկսել {հարթեցված} frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} & = 1 frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {0 ^ {2}} {b ^ {2}} & = 1 frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} & = 1 x ^ {2} & = a ^ {2} x & = pm ա վերջ {հարթեցված} )

(X ) - ընդհատումները ((a, 0) ) և ((- a, 0) ) են:

(y ) - գաղտնալսումներ

Եկեք (x = 0 ):

( սկսել {հարթեցված} frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} & = 1 frac {0 ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} & = 1 - frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} & = 1 y ^ {2} & = - b ^ {2} y & = pm sqrt {-b ^ {2}} վերջ {հարթեցված} )

Չկան (y ) - գաղտնալսումներ:

The (ա, բ ) Հավասարության մեջ եղած արժեքները նաև օգնում են մեզ գտնել հիպերբոլայի ասիմպտոտները: Ասիմպտոտները հատում են ուղիղ գծերը, որոնց մոտենում են գրաֆիկի ճյուղերը, բայց երբեք չեն հատվում որպես (x, յ) արժեքներն ավելի ու ավելի են մեծանում:

Ասիմպտոտները գտնելու համար մենք ուրվագծում ենք մի ուղղանկյուն, որի կողմերը հատում են միմյանց x- առանցքը ((- a, 0), (a, 0) ) և հատել (y ) - առանցքը ((0, −b), (0, b) ): Այս ուղղանկյան անկյունագծերը պարունակող գծերը հիպերբոլայի ասիմպտոտներն են: Ուղղանկյունը և ասիմպտոտները հիպերբոլայի մաս չեն, բայց դրանք օգնում են մեզ գրաֆիկական հիպերբոլան:

Ասիմպտոտներն անցնում են ծագման միջով, և մենք կարող ենք գնահատել դրանց թեքությունը `օգտագործելով մեր ուրվագիծը ուրվագծված: Նրանք ունեն հավասարումներ (y = frac {b} {a} x ) և (y = - frac {b} {a} x ):

Հիպերբոլաների համար կա երկու հավասարություն `կախված այն բանից, թե արդյոք լայնակի առանցքը ուղղահայաց է կամ հորիզոնական: Մենք կարող ենք իմանալ, թե արդյոք լայնակի առանցքը հորիզոնական է, նայելով հավասարմանը: Երբ հավասարումը ստանդարտ տեսքով է, եթե (x ^ {2} ) - տերմինը դրական է, լայնակի առանցքը հորիզոնական է: Երբ հավասարումը ստանդարտ տեսքով է, եթե (y ^ {2} ) - տերմինը դրական է, լայնակի առանցքը ուղղահայաց է:

Երկրորդ հավասարումները կարող են ստացվել մեր արածի նման: Արդյունքները կամփոփենք այստեղ:

Սահմանում ( PageIndex {2} )

Հիպերբոլա կենտրոնի հետ հավասարության ստանդարտ ձև ((0,0) )

Հիպերբոլայի հավասարման ստանդարտ ձևը ((0,0) ) կենտրոնով

( frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 quad ) կամ ( quad frac {y ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {x ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )

Ուշադրություն դարձրեք, որ, ի տարբերություն էլիպսի հավասարության, (x ^ {2} ) հայտարարը միշտ չէ, որ (a ^ {2} ) հայտարարը, և (y ^ {2} ) հայտարարը միշտ չէ (բ ^ {2} ):

Ուշադրություն դարձրեք, որ երբ (x ^ {2} ) - տերմինը դրական է, լայնակի առանցքը գտնվում է (x ) - առանցքի վրա: Երբ (y ^ {2} ) - տերմինը դրական է, լայնակի առանցքը գտնվում է (y ) - առանցքի վրա:

Հիպերբոլայի հավասարության ստանդարտ ձևերը կենտրոնի հետ ((0,0) )

( frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 ) ( frac {y ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {x ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )
ԿողմնորոշումԼայնակի առանցք (x ) - առանցքի վրա:
Բացվում է ձախ և աջ
Լայնակի առանցք (y ) - առանցքի վրա:
Բացվում է վեր ու վար
Գագաթներ ((- ա, 0), (ա, 0) ) ((0, -ա), (0, ա) )
(x ) - գաղտնալսում է ((- ա, 0), (ա, 0) )ոչ ոք
(y ) - գաղտնալսումներոչ ոք ((0, -ա), (0, ա) )
ՈւղղանկյունՕգտագործել (( երեկոյան, 0) (0, երեկոյան բ) )Օգտագործել ((0, pm ա) ( pm b, 0) )
Ասիմպտոտներ (y = frac {b} {a} x, y = - frac {b} {a} x ) (y = frac {a} {b} x, y = - frac {a} {b} x )
Աղյուսակ 11.4.1

Մենք կօգտագործենք այս հատկությունները հիպերբոլաները գծագրելու համար:

Օրինակ ( PageIndex {1} ) Ինչպես գրաֆիկական հիպերբոլա կենտրոնով պատկերել ((0,0) )

Գրաֆիկ ( frac {x ^ {2}} {25} - frac {y ^ {2}} {4} = 1 ):

Լուծում:

Քայլ 1Գրել հավասարումը ստանդարտ տեսքով:Հավասարումը ստանդարտ տեսքով է: ( frac {x ^ {2}} {25} - frac {y ^ {2}} {4} = 1 )
Քայլ 2Որոշեք ՝ լայնակի առանցքը հորիզոնական է, թե՞ ուղղահայաց:Քանի որ (x ^ {2} ) - տերմինը դրական է, լայնակի առանցքը հորիզոնական է:Լայնակի առանցքը հորիզոնական է:
Քայլ 3Գտեք գագաթները:Քանի որ (a ^ {2} = 25 ) ապա (a = pm 5 ): Գագաթները գտնվում են (x ) - առանցքի վրա:((-5,0),(5,0))
Քայլ 4Ուրվագծեք ուղղանկյունը, որը կենտրոնացած է ծագման խաչմերուկում `մեկ առանցքի վրա ( երեկոյան ), իսկ մյուսը ՝ ( երեկոյան b ):

Քանի որ (a = pm 5 ), ուղղանկյունը հատելու է (x ) - առանցքը գագաթներին:

Քանի որ (b = pm 2 ), ուղղանկյունը հատելու է (y ) - առանցքը ((0, -2) ) և ((0,2) - ում:

Քայլ 5Ուրվագծեք ասիմպտոտները. Տողերը ուղղանկյան անկյունագծերի միջով:

Ասիմպտոտներն ունեն հավասարումներ (y = frac {5} {2} x, y = - frac {5} {2} x ):
Քայլ 6Նկարեք հիպերբոլայի երկու ճյուղերը:Սկսեք յուրաքանչյուր գագաթից և օգտագործեք ասիմպտոտները որպես ուղեցույց:
Աղյուսակ 11.4.2

Ercորավարժություններ ( PageIndex {1} )

Գրաֆիկ ( frac {x ^ {2}} {16} - frac {y ^ {2}} {4} = 1 ):

Պատասխանել

Ercորավարժություններ ( PageIndex {2} )

Գրաֆիկ ( frac {x ^ {2}} {9} - frac {y ^ {2}} {16} = 1 ):

Պատասխանել

Մենք ամփոփում ենք հղման քայլերը:

Գծապատկեր հիպերբոլայի կենտրոնը ((0,0) ) կետում

  1. Գրեք հավասարումը ստանդարտ տեսքով:
  2. Որոշեք ՝ լայնակի առանցքը հորիզոնական է, թե՞ ուղղահայաց:
  3. Գտեք գագաթները:
  4. Ուրվագծեք ուղղանկյունը, որը կենտրոնացած է սկզբունքի վրա, որը հատում է մի առանցքը (± a ), իսկ մյուսը ՝ (± b ):
  5. Ուրվագծեք ասիմպտոտները. Տողերը ուղղանկյան անկյունագծերի միջով:
  6. Նկարեք հիպերբոլայի երկու ճյուղերը:

Երբեմն հիպերբոլայի հավասարումը նախ պետք է տեղադրվի ստանդարտ տեսքով, նախքան այն գծագրենք:

Օրինակ ( PageIndex {2} )

Գրաֆիկ (4 y ^ {2} -16 x ^ {2} = 64 ):

Լուծում:

Հավասարությունը ստանդարտ տեսքով գրելու համար յուրաքանչյուր տերմին բաժանեք (64 ) -ով, որպեսզի հավասարումը հավասար լինի (1 ): ( frac {4 y ^ {2}} {64} - frac {16 x ^ {2}} {64} = frac {64} {64} )
Պարզեցնել ( frac {y ^ {2}} {16} - frac {x ^ {2}} {4} = 1 )
Քանի որ (y ^ {2} ) - տերմինը դրական է, լայնակի առանցքը ուղղահայաց է: Քանի որ (a ^ {2} = 16 ) ապա (a = pm 4 ):
Գագաթները գտնվում են (y ) - առանցքի վրա, ((0, -a), (0, a) ): Քանի որ (b ^ {2} = 4 ) ապա (b = pm 2 ):((0,-4),(0,4))
Ուրվագծեք (x ) - առանցքը ((- 2,0), (2,0) ) և (y ) - առանցքը հատող ուղղանկյունը գագաթներին: Նախանշեք ասիմպտոտները ուղղանկյան անկյունագծերի միջով: Նկարեք հիպերբոլայի երկու ճյուղերը:
Աղյուսակ 11.4.3

Ercորավարժություններ ( PageIndex {3} )

Գրաֆիկ (4 y ^ {2} -25 x ^ {2} = 100 ):

Պատասխանել

Exորավարժություններ ( PageIndex {4} )

Գրաֆիկ (25 y ^ {2} -9 x ^ {2} = 225 ):

Պատասխանել

Գծեք հիպերբոլայի կենտրոնի հետ ((h, k) )

Հիպերբոլաները միշտ չէ, որ կենտրոնացած են ծագման վրա: Երբ հիպերբոլան կենտրոնացած է ((h, k) ) վրա, հավասարումները մի փոքր փոխվում են, ինչպես արտացոլված է աղյուսակում:

Հիպերբոլայի հավասարման ստանդարտ ձևերը կենտրոնի հետ ((h, k) )

( frac {(x-h) ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {(y-k) ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 ) ( frac {(y-k) ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {(x-h) ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )
ԿողմնորոշումԼայնակի առանցքը հորիզոնական է: Բացվում է ձախ և աջԼայնակի առանցքը ուղղահայաց է: Բացվում է վեր ու վար
Կենտրոն ((հ, կ) ) ((հ, կ) )
Գագաթներ (ա ) միավորները կենտրոնից ձախ և աջ (ա ) միավորները կենտրոնից վերև և ներքևում
ՈւղղանկյունՕգտագործեք կենտրոնի վերևում / ներքևում գտնվող (ա ) միավորները ձախ / աջ (բ ) ստորաբաժանումներիցՕգտագործեք (ա ) միավորներ կենտրոնի վերևում / ներքևում (բ ) ստորաբաժանումներից ձախ / աջ
Աղյուսակ 11.4.4

Օրինակ ( PageIndex {3} ) Ինչպես գրաֆիկական հիպերբոլա կենտրոնով պատկերել ((h, k) )

Գրաֆիկ ( frac {(x-1) ^ {2}} {9} - frac {(y-2) ^ {2}} {16} = 1 )

Լուծում:

Քայլ 1Գրել հավասարումը ստանդարտ տեսքով:Հավասարումը ստանդարտ տեսքով է: ( frac {(x-1) ^ {2}} {9} - frac {(y-2) ^ {2}} {16} = 1 )
Քայլ 2Որոշեք ՝ լայնակի առանցքը հորիզոնական է, թե՞ ուղղահայաց:Քանի որ (x ^ {2} ) - տերմինը դրական է, հիպերբոլան բացվում է ձախ և աջ:Լայնակի առանցքը հորիզոնական է: Հիպերբոլան բացվում է ձախից և աջից:
Քայլ 3Գտեք կենտրոնը և (a, b ): (h = 1 ) և (k = 2 )
(a ^ {2} = 9 )
(բ ^ {2} = 16 )

Կենտրոն ՝ ((1,2) )

(a = 3 )

(b = 4 )

Քայլ 4Ուրվագծեք ((h, k) ) կենտրոնում գտնվող ուղղանկյունը ՝ օգտագործելով (a, b ):

Նշեք կենտրոնը, ((1,2) ):

Ուրվագծեք ուղղանկյունը, որն անցնում է կենտրոնի ձախ / աջ կետերի (3 ) միավորներով և կենտրոնի վերևում և ներքևում գտնվող (4 ) միավորներով:

Քայլ 5Ուրվագծեք ասիմպտոտները. Տողերը ուղղանկյան անկյունագծերի միջով: Նշեք գագաթները:Ուրվագծեք անկյունագծերը: Նշեք այն գագաթները, որոնք գտնվում են կենտրոնի ձախ և աջ կողմում գտնվող (3 ) միավորների ուղղանկյան վրա:
Քայլ 6Նկարեք հիպերբոլայի երկու ճյուղերը:Սկսեք յուրաքանչյուր գագաթից և օգտագործեք ասիմպտոտները որպես ուղեցույց:
Աղյուսակ 11.4.5

Ercորավարժություններ ( PageIndex {5} )

Գրաֆիկ ( frac {(x-3) ^ {2}} {25} - frac {(y-1) ^ {2}} {9} = 1 ):

Պատասխանել

Exորավարժություններ ( PageIndex {6} )

Գրաֆիկ ( frac {(x-2) ^ {2}} {4} - frac {(y-2) ^ {2}} {9} = 1 ):

Պատասխանել

Մենք ամփոփում ենք քայլերը հեշտ հղման համար:

Գծեք հիպերբոլայի կենտրոնացված ((h, k) ) կետում

  1. Գրեք հավասարումը ստանդարտ տեսքով:
  2. Որոշեք ՝ լայնակի առանցքը հորիզոնական է, թե՞ ուղղահայաց:
  3. Գտեք կենտրոնը և (a, b ):
  4. Ուրվագծեք ((h, k) ) կենտրոնում գտնվող ուղղանկյունը ՝ օգտագործելով (a, b ):
  5. Ուրվագծեք ասիմպտոտները. Տողերը ուղղանկյան անկյունագծերի միջով: Նշեք գագաթները:
  6. Նկարեք հիպերբոլայի երկու ճյուղերը:

Ուշադիր եղեք կենտրոնը նույնականացնելիս: Ստանդարտ հավասարումը ունի (x − h ) և (y − k ) կենտրոնը որպես ((h, k) ):

Օրինակ ( PageIndex {4} )

Գրաֆիկ ( frac {(y + 2) ^ {2}} {9} - frac {(x + 1) ^ {2}} {4} = 1 ):

Լուծում:

Քանի որ (y ^ {2} ) - տերմինը դրական է, հիպերբոլան բացվում և իջնում ​​է:
Գտեք կենտրոնը, ((h, k) ):Կենտրոն ՝ ((- 1, -2) )
Գտեք (ա, բ ): (a = 3 b = 2 )
Ուրվագծեք ուղղանկյունը, որն անցնում է կենտրոնի վերևից և ներքևի կետերից (3 ) միավորներով և
(2 ) միավորը կենտրոնից ձախ / աջ:
Ուրվագծեք ասիմպտոտները. Տողերը ուղղանկյան անկյունագծերի միջով:
Նշեք գագաթները:
Գծեք մասնաճյուղերը:
Աղյուսակ 11.4.6

Exորավարժություններ ( PageIndex {7} )

Գրաֆիկ ( frac {(y + 3) ^ {2}} {16} - frac {(x + 2) ^ {2}} {9} = 1 ):

Պատասխանել

Exորավարժություններ ( PageIndex {8} )

Գրաֆիկ ( frac {(y + 2) ^ {2}} {9} - frac {(x + 2) ^ {2}} {9} = 1 ):

Պատասխանել

Կրկին, երբեմն մենք պետք է հավասարումը դնենք ստանդարտ ձևով, որպես մեր առաջին քայլ:

Օրինակ ( PageIndex {5} )

Գրեք հավասարումը ստանդարտ տեսքով և գծապատկերով (4 x ^ {2} -9 y ^ {2} -24 x-36 y-36 = 0 ):

Լուծում:

Ստանդարտ ձև ստանալու համար լրացրեք հրապարակները:
Յուրաքանչյուր տերմին բաժանեք (36 ) -ով, որպեսզի ստացվի (1 ) հաստատունը:
Քանի որ (x ^ {2} ) - տերմինը դրական է, հիպերբոլան բացվում է ձախ և աջ:
Գտեք կենտրոնը, ((h, k) ):Կենտրոն ՝ ((3, -2) )
Գտեք (ա, բ ):

(a = 3 )

(b = 4 )

Ուրվագծեք ուղղանկյունը, որն անցնում է կենտրոնի ձախ / աջ կետերի (3 ) միավորներով և կենտրոնի վերևից և ներքևից (2 ) միավորներով:
Ուրվագծեք ասիմպտոտները. Տողերը ուղղանկյան անկյունագծերի միջով:
Նշեք գագաթները:
Գծեք մասնաճյուղերը:
Աղյուսակ 11.4.7

Exորավարժություններ ( PageIndex {9} )

  1. Գրեք հավասարումը ստանդարտ տեսքով և
  2. Գրաֆիկ (9 x ^ {2} -16 y ^ {2} +18 x + 64 y-199 = 0 ):
Պատասխանել
  1. ( frac {(x + 1) ^ {2}} {16} - frac {(y-2) ^ {2}} {9} = 1 )

Exորավարժություններ ( PageIndex {10} )

  1. Գրեք հավասարումը ստանդարտ տեսքով և
  2. Գրաֆիկ (16 x ^ {2} -25 y ^ {2} +96 x-50 y-281 = 0 ):
Պատասխանել
  1. ( frac {(x + 3) ^ {2}} {25} - frac {(y + 1) ^ {2}} {16} = 1 )

Որոշեք կոնաձև հատվածները նրանց հավասարումների միջոցով

Այժմ, երբ մենք ավարտեցինք կոնաձև հատվածների ուսումնասիրությունը, կանդրադառնանք տարբեր հավասարումների և կճանաչենք կոնը իր հավասարման միջոցով նույնականացնելու որոշ եղանակներ: Երբ մեզ տալիս են գրաֆիկի հավասարություն, օգտակար է պարզել կոնը, որպեսզի իմանանք հետագա քայլերը:

Կոնքը իր հավասարումից պարզելու համար ավելի հեշտ է, եթե հավասարության մի կողմում դնենք փոփոխական տերմինները, իսկ մյուսում `հաստատունները:

Կոնաձև (X ^ {2} ) - և (y ^ {2} ) - տերմինների բնութագրերըՕրինակ
ՊարաբոլաԿամ (x ^ {2} ) ԿԱՄ (y ^ {2} ): Քառակուսիով միայն մեկ փոփոխական է:
Շրջանակ (x ^ {2} ) - և (y ^ {2} ) - տերմիններն ունեն նույն գործակիցները: (x ^ {2} + y ^ {2} = 49 )
Էլիպս (x ^ {2} ) - և (y ^ {2} ) - տերմիններն ունեն նույնը նշան, տարբեր գործակիցներ: (4 x ^ {2} +25 y ^ {2} = 100 )
Հիպերբոլա (x ^ {2} ) - և (y ^ {2} ) - տերմիններն ունեն տարբեր նշաններ, տարբեր գործակիցներ:
Աղյուսակ 11.4.8

Օրինակ ( PageIndex {6} )

Բացահայտեք յուրաքանչյուր հավասարության գրաֆիկը որպես շրջան, պարաբոլա, էլիպս կամ հիպերբոլա:

  1. (9 x ^ {2} +4 y ^ {2} +56 y + 160 = 0 )
  2. (9 x ^ {2} -16 y ^ {2} +18 x + 64 y-199 = 0 )
  3. (x ^ {2} + y ^ {2} -6 x-8 y = 0 )
  4. (y = -2 x ^ {2} -4 x-5 )

Լուծում:

ա (X ^ {2} ) - և (y ^ {2} ) - տերմիններն ունեն նույն նշանը և տարբեր գործակիցներ:

(9 x ^ {2} +4 y ^ {2} +56 y + 160 = 0 )

Էլիպս

բ (X ^ {2} ) - և (y ^ {2} ) - տերմիններն ունեն տարբեր նշաններ և տարբեր գործակիցներ:

Հիպերբոլա

գ (X ^ {2} ) - և (y ^ {2} ) - տերմիններն ունեն նույն գործակիցները:

Շրջանակ

դ Քառակուսիացված է միայն մեկ փոփոխական ՝ (x ):

Պարաբոլա

Ercորավարժություններ ( PageIndex {11} )

Բացահայտեք յուրաքանչյուր հավասարության գրաֆիկը որպես շրջան, պարաբոլա, էլիպս կամ հիպերբոլա:

  1. (x ^ {2} + y ^ {2} -8 x-6 y = 0 )
  2. (4 x ^ {2} +25 y ^ {2} = 100 )
  3. (y = 6 x ^ {2} +2 x-1 )
  4. (16 y ^ {2} -9 x ^ {2} = 144 )
Պատասխանել
  1. Շրջանակ
  2. Էլիպս
  3. Պարաբոլա
  4. Հիպերբոլա

Ercորավարժություններ ( PageIndex {12} )

Բացահայտեք յուրաքանչյուր հավասարության գրաֆիկը որպես շրջան, պարաբոլա, էլիպս կամ հիպերբոլա:

  1. (16 x ^ {2} +9 y ^ {2} = 144 )
  2. (y = 2 x ^ {2} +4 x + 6 )
  3. (x ^ {2} + y ^ {2} +2 x + 6 y + 9 = 0 )
  4. (4 x ^ {2} -16 y ^ {2} = 64 )
Պատասխանել
  1. Էլիպս
  2. Պարաբոլա
  3. Շրջանակ
  4. Հիպերբոլա

Մուտք գործեք այս առցանց ռեսուրսները լրացուցիչ հրահանգների և հիպերբոլաների միջոցով գործնականում կիրառելու համար:

  • Գծապատկեր հիպերբոլա կենտրոնի հետ ծագման կետում
  • Գծագրեք հիպերբոլա կենտրոնի հետ ոչ թե inագում
  • Գծապատկեր հիպերբոլա ընդհանուր տեսքով
  • Conic բաժինների ընդհանուր ձևով բացահայտում

Հիմնական հասկացություններ

  • Հիպերբոլա: Ա հիպերբոլա ինքնաթիռի բոլոր կետերն են, որտեղ նրանց հեռավորությունների տարբերությունը երկու ֆիքսված կետերից հաստատուն է:
  • Ֆիքսված կետերից յուրաքանչյուրը կոչվում է ա կենտրոնանալ հիպերբոլայի
    Ֆոկուսների միջով անցնող գիծը կոչվում է լայնակի առանցք.
    Երկու կետերը, որտեղ լայնակի առանցքը հատում է հիպերբոլան, յուրաքանչյուրն ա գագաթ հիպերբոլայի
    Ֆոկուսներին միացող հատվածի միջին կետը կոչվում է կենտրոն հիպերբոլայի
    Կենտրոնով անցնող լայնակի առանցքին ուղղահայաց գիծը կոչվում է կոնյուկացված առանցք.
    Գրաֆիկի յուրաքանչյուր կտոր կոչվում է ա մասնաճյուղ հիպերբոլայի

Նկար 11.4.2

Հիպերբոլայի հավասարության ստանդարտ ձևերը կենտրոնի հետ ((0,0) )

( frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 ) ( frac {y ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {x ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )
ԿողմնորոշումԼայնակի առանցք (x ) - առանցքի վրա:
Բացվում է ձախ և աջ
Լայնակի առանցք (y ) - առանցքի վրա:
Բացվում է վեր ու վար
Գագաթներ ((- ա, 0), (ա, 0) ) ((0, -ա), (0, ա) )
(x ) - գաղտնալսում է ((- ա, 0), (ա, 0) )ոչ ոք
(y ) - գաղտնալսումներոչ ոք ((0, -ա), (0, ա) )
ՈւղղանկյունՕգտագործել (( երեկոյան, 0) (0, երեկոյան բ) )Օգտագործել ((0, pm ա) ( pm b, 0) )
Ասիմպտոտներ (y = frac {b} {a} x, y = - frac {b} {a} x ) (y = frac {a} {b} x, y = - frac {a} {b} x )
Աղյուսակ 11.4.1
  • Ինչպես գրաֆիկավորել հիպերբոլան, որի կենտրոնում է ((0,0) ) կետը:
    1. Գրեք հավասարումը ստանդարտ տեսքով:
    2. Որոշեք ՝ լայնակի առանցքը հորիզոնական է, թե՞ ուղղահայաց:
    3. Գտեք գագաթները:
    4. Ուրվագծեք ուղղանկյունը, որը կենտրոնացած է սկզբունքի վրա, որը հատում է մի առանցքը (± a ), իսկ մյուսը ՝ (± b ):
    5. Ուրվագծեք ասիմպտոտները. Տողերը ուղղանկյան անկյունագծերի միջով:
    6. Նկարեք հիպերբոլայի երկու ճյուղերը:

Հիպերբոլայի հավասարման ստանդարտ ձևերը կենտրոնի հետ ((h, k) )

( frac {(x-h) ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {(y-k) ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 ) ( frac {(y-k) ^ {2}} {a ^ {2}} - frac {(x-h) ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 )
ԿողմնորոշումԼայնակի առանցքը հորիզոնական է: Բացվում է վեր ու վար
Կենտրոն ((հ, կ) ) ((հ, կ) )
Գագաթներ (ա ) միավորները կենտրոնից ձախ և աջ (ա ) միավորները կենտրոնից վերև և ներքևում
ՈւղղանկյունՕգտագործեք կենտրոնի վերևում / ներքևում գտնվող (ա ) միավորները ձախ / աջ (բ ) ստորաբաժանումներիցՕգտագործեք (ա ) միավորներ կենտրոնի վերևում / ներքևում (բ ) ստորաբաժանումներից ձախ / աջ
Աղյուսակ 11.4.4
  • Ինչպես գրաֆիկական հիպերբոլա, որի կենտրոնն է ((h, k) ) կետը:
    1. Գրեք հավասարումը ստանդարտ տեսքով:
    2. Որոշեք ՝ լայնակի առանցքը հորիզոնական է, թե՞ ուղղահայաց:
    3. Գտեք կենտրոնը և (a, b ):
    4. Ուրվագծեք ((h, k) ) կենտրոնում գտնվող ուղղանկյունը ՝ օգտագործելով (a, b ):
    5. Ուրվագծեք ասիմպտոտները. Տողերը ուղղանկյան անկյունագծերի միջով: Նշեք գագաթները:
    6. Նկարեք հիպերբոլայի երկու ճյուղերը:
Կոնաձև (X ^ {2} ) - և (y ^ {2} ) - տերմինների բնութագրերըՕրինակ
ՊարաբոլաԿամ (x ^ {2} ) ԿԱՄ (y ^ {2} ): Քառակուսիով միայն մեկ փոփոխական է:
Շրջանակ (x ^ {2} ) - և (y ^ {2} ) - տերմիններն ունեն նույն գործակիցները: (x ^ {2} + y ^ {2} = 49 )
Էլիպս (x ^ {2} ) - և (y ^ {2} ) - տերմիններն ունեն նույնը նշան, տարբեր գործակիցներ: (4 x ^ {2} +25 y ^ {2} = 100 )
Հիպերբոլա (x ^ {2} ) - և (y ^ {2} ) - տերմիններն ունեն տարբեր նշաններ, տարբեր գործակիցներ:

11.5 & nbsp & nbsp Հիպերբոլազներ

Ֆոկուսներից բացի, հիպերբոլայի հետ կապված կան նաև այլ հատուկ կետեր, որոնք մենք նշել ենք գծապատկերում: Ֆոկուսների միջով գծը կտրում է հիպերբոլան երկու կետում, գծապատկերում պիտակավորված A և B: A և B կետերը կոչվում են գագաթներ, Գագաթներին միացող գծային հատվածը կոչվում է լայնակի առանցք, Ֆոկուսների միջև և լայնակի առանցքի վրա ընկած կետը կոչվում է կենտրոն հիպերբոլայի Սա դիագրամում O պիտակավորված կետն է:

Եթե ​​մենք հիպերբոլան դիրքում ենք ինքնաթիռում, որի կենտրոնը գտնվում է սկզբնամասում և իր առանցքները x առանցքի վրա, ապա մենք կարող ենք հիպերբոլայի համար ստանալ լավ հավասարում: Հավասարության ածանցումը գրեթե նույնական է էլիպսի հավասարության ածանցյալին: Մենք այստեղ չենք տեսնի բոլոր մանրամասները, այլ կստեղծենք մեքենաներ, որպեսզի ստանաք հավասարումը: Ինչպես էլիպսով, մենք թողնում ենք, որ դրական հաստատունը լինի 2ա և թող գ լինել դրական թիվ, որպեսզի օջախները տեղակայվեն (& մինուս) կետումգ, 0) և (գ, 0): Մենք ունենք

| ՊՖ 1 | & մինուս | PF 2 | = 2ա
| ՊՖ 1 | = 2ա + | PF 2 |
| ՊՖ 1 | 2 = ( 2ա + | PF 2 |) 2
| ՊՖ 1 | 2 = 4ա 2 4ա| ՊՖ 2 | + | PF 2 | 2
Այժմ դուք պետք է շարունակեք հանրահաշիվը և պարզեցումը ՝ ցույց տալու համար, որ հիպերբոլայի հավասարումը x 2 է /ա 2 & մինուս y 2 /բ 2 = 1 որտեղ բ 2 = գ 2 & մինուս ա 2 Հանրահաշվի վերաբերյալ ավելի մանրամասն կարելի է գտնել ՝ կտտացնելով այստեղ: Դիագրամում գծված երկու տողերը կոչվում են ասիմպտոտներ և դրանց հավասարումները y = են բ x /ա, Ասիմպտոտների մասին ավելին կասենք շուտով: Ասիմպտոտները հիանալի օգնություն են հիպերբոլայի գծապատկերը ուրվագծելիս:

Ասիմպտոտների կարևորությունը հասկանալու համար եկեք վերաշարադրենք հիպերբոլայի հավասարումը x 2 /ա 2 = y 2 /բ 2 + 1. Այժմ x- ի շատ մեծ արժեքների համար հավասարման աջ կողմում 1-ի ավելացումը դառնում է աննշան: Այսինքն ՝ x x 2 / շատ մեծ արժեքների համարա 2 y 2 /բ 2 և այսպես x /ա y /բ իսկ y- ի համար լուծելը y է տալիս բx /ա որոնք ասիմպտոտների հավասարումներն են: Այլ կերպ ասած, ասիմպտոտները տալիս են y- ի վարքագծի մոտավորություններ x մեծ արժեքների համար: Ինչպես տեսնում ենք նկարում, հիպերբոլան «ավելի ու ավելի է մոտենում» x մեծ արժեքների ասիմպտոտներին: Գծապատկերման առումով, եթե նկարում ենք ասիմպտոտները, դրանք ուղեցույց են տալիս հիպերբոլայի ձևի համար:

Թվերը ա և բ ունեն երկրաչափական նշանակություն: Անդրադառնալով գծապատկերին ՝ մենք գիտենք, որ A և B կետերում y = 0. Այնուհետև hyperbola- ի հավասարության մեջ y = 0 փոխարինողը տալիս է x 2 /ա 2 = 1, որը պարզեցնում է x 2 = ա 2 Այս հավասարումը ունի x = լուծումներ ա կամ & մինուսա, Ի վեր ա > 0, ապա Ա-ն ունի կոորդինատներ (& մինուս)ա, 0) և B- ն ունի կոորդինատներ (ա, 0): Այսպիսով, հիպերբոլայի գագաթները գտնվում են (& մինուս)ա, 0) և (ա, 0): Այժմ նկարեք C և D կետերը կոորդինատներով (0,բ) և (0, & մինուս)բ) համապատասխանաբար: Գծի հատվածի CD- ն անցնում է O- ի կենտրոնով և ուղղահայաց է լայնակի առանցքին: Այն կոչվում է կոնյուկացված առանցք, Նշենք, որ A, B, C և D պարունակող ուղղանկյան անկյունագծերը ասիմպտոտների գծային հատվածներ են: Սա տալիս է ասիմպտոտները նկարելու հարմար եղանակ. Այն է ՝ ուղղաձիգ գծեր գագաթների միջով, հորիզոնական գծեր գծերի միջոցով (0,բ) և (0, & մինուս)բ) Այս չորս գծերի հատման կետերը կազմում են ուղղանկյան գագաթները: Նկարիր ուղղանկյան անկյունագծերը պարունակող գծերի մեջ և դու գծեցիր ասիմպտոտները: Նշենք, որ CD- ի երկարությունը 2 էբ իսկ AB երկարությունը 2 էա (համեմատել էլիպսի փոքր և մեծ առանցքի հետ): Նշենք, որ ի վեր բ 2 = գ 2 & մինուս ա 2 ապա բ y առանցքը և կենտրոնը սկզբնամասում: Այս դեպքում հիպերբոլայի հավասարումը դուրս է գալիս y 2 /ա 2 & մինուս x 2 /բ 2 = 1. Ֆոկուսները գտնվում են (0,գ) և (0, & մինուս)գ) և գագաթները (0,ա) և (0, & մինուս)ա) Ասիմպտոտների հավասարումներն են

Մեր նոր հաստատած հավասարումները հայտնի են որպես ստանդարտ հավասարումներ հիպերբոլայի մեջ ստանդարտ դիրք, Ստանդարտ դիրքը միշտ ենթադրում է, որ կենտրոնը գտնվում է սկզբնամասում, իսկ օջախները գտնվում են առանցքներից մեկի վրա:

Այս ցուցադրման մեջ դուք կարող եք փոխել օջախների գտնվելու վայրը և դրանց արժեքը ա շարժվելով սահնակներով: Հիշեցնենք, որ 2ա հիպերբոլայի վրա կետի հեռավորությունների տարբերությունն է յուրաքանչյուր ֆոկուսի վրա: Սկզբնապես օջախները x առանցքի վրա են, բայց կարող եք նաև ընտրել, որ դրանք տեղադրվեն y առանցքի վրա:
Հիպերբոլաները ստանդարտ դիրքում
Օրինակ: Գտեք հիպերբոլայի x 2/16 & մինուս y 2/9 = 1 ֆոկուսները:
Լուծում. Ֆոկուսները տեղակայված են x առանցքի վրա, քանի որ x տերմինը դրական է: Մենք ունենք ա 2 = 16 և բ 2 = 9. Ապա գ 2 = 25 և այլն գ = 5. Հետեւաբար, ֆոկուսները գտնվում են (& մինուս 5,0) և (5,0) կետերում:

Օրինակ: Գտեք հիպերբոլայի հավասարումը ստանդարտ դիրքում `(0,13) ֆոկուսով և 24 երկարության լայնակի առանցքով:
Լուծում. Մյուս ֆոկուսը գտնվում է (0, և մինուս 13) -ում, և քանի որ ֆոկուսները գտնվում են y առանցքի վրա, մենք փնտրում ենք գտնել y 2 / ձևի հավասարություն:ա 2 & մինուս x 2 /բ 2 = 1. արժեքը ա լայնակի առանցքի կեսի երկարությունն է և այլն ա = 12. Նաև, բ 2 = գ 2 & մինուս ա 2 = 169 & մինուս 144 = 25. Ուստի բ = 5. Այսպիսով, հիպերբոլայի հավասարումը հետևյալն է յ 2/144 & մինուս x 2 /25 = 1.

Եթե ​​հիպերբոլան թարգմանենք ստանդարտ դիրքում, որպեսզի դրա կենտրոնը տեղափոխվի դեպիժ,կ) ապա հիպերբոլայի հավասարումը տրված է հետեւյալ կերպ.

Հիպերբոլայի հավասարումը ստանդարտ դիրքից թարգմանված այնպես, որ դրա կենտրոնը գտնվում է (ժ,կ) տրվում է (x & մինուս ժ) 2 /ա 2 & մինուս (յ & մինուս կ) 2 /բ 2 = 1. եթե դրա ֆոկուսները գտնվում են x առանցքին զուգահեռ գծի վրա և (յ & մինուս կ) 2 /ա 2 & մինուս (x & մինուս ժ) 2 /բ 2 = 1. եթե դրա ֆոկուսները ընկած են y առանցքին զուգահեռ գծի վրա:

Հիպերբոլայի հավասարման այս ձևը կոչվում է ստանդարտ հավասարումը, Այնուամենայնիվ, եթե վերցնենք ստանդարտ հավասարություն (x & մինուս ժ) 2 / u 2 & մինուս (յ & մինուս կ) 2 / v 2 = 1 և ընդլայնելով այն ստանում ենք այն ձևի հավասարություն, որտեղ A, B, C, D և E հաստատուններ են: Մեր առջև դրված հարցն այն է, որ եթե մեզ այդպիսի հավասարություն տրվի, կարո՞ղ ենք այն ճանաչել որպես հիպերբոլայի հավասարություն: Այս հարցի պատասխանը կարելի է որոշել քառակուսին ավարտելու գործընթացի միջոցով (ճիշտ այնպես, ինչպես արեցինք էլիպսի և պարաբոլի համար):

Օրինակ:

Հաջորդ վարժությունում ձեզ տրվում է ընդլայնված տեսքով հիպերբոլայի հավասարություն: Նոր խնդրի համար կտտացրեք «Նորը»: Թղթի վրա դուք պետք է որոշեք կենտրոնի և օջախների գտնվելու վայրը: Առաջարկում ենք նախ վերաշարադրել հավասարումը ստանդարտ տեսքով: Դա իրականացնելու համար, հավանաբար, պետք է քառակուսին լրացնել x և y տերմիններով: Ձեր պատասխանը ստանալուց հետո փորձեք ուրվագծել հիպերբոլայի գրաֆիկը: «Օգնություն» կոճակը կբացահայտի գրաֆիկը և քառակուսին լրացնելու արդյունքը: «Լուծել» կոճակը տալիս է պատասխանները:


Հ. R տիրույթով կա մեկ գործառույթ, որը և՛ զույգ է, և՛ կենտ: Գտեք այդ գործառույթը:

Հ. Տրված գործառույթը հավասար է և տարօրինակ տիրույթի հետ

Հ. Որոշեք գործառույթը մեկ առ մեկ է:

A: Հաշվի առնելով. Hx = 1x4 Ֆունկցիան ասում են, որ մեկ մեկ գործառույթ է, եթե տիրույթում երկու տարր չի համապատասխանում:

Հ. 90-91 վարժություններում կատարեք նշված լրացումները: Պատասխանները գրեք գիտական ​​նշումներով: 90. 5:

Ա. Հաշվի առնելով. Y = 5.6 × 1013 + 3.1 1013 Նշված լրացում կատարելու համար մենք ընդունում ենք ընդհանուրը և պարզեցնում այն

Q: sinx Showույց տվեք, որ -dx: sinx + cosX

Պատասխան. Տրված գործառույթը համարենք I = ∫0π2sin xsin x + cos xdx Օգտագործեք ինտեգրման king հատկությունը, ապա I = ∫0π:

Հ. Բացատրեք, թե ինչու հորիզոնական գծի թեստը կարող է օգտագործվել գրաֆիկից մեկ առ մեկ գործառույթները բացահայտելու համար:

Հ. Հաշվի առնելով, հորիզոնական գծի թեստը կարող է օգտագործվել գրաֆիկից մեկ առ մեկ գործառույթները բացահայտելու համար:

Հ. Գործառույթը համընկնում է իր գրաֆիկի հետ (Նկարներ 9.27– 9.32): f (x) = 1 / x

Հ. Գծեք գրաֆիկական հետևյալ պարաբոլներից յուրաքանչյուրին և օգտագործեք TRACE հատկությունը ՝ գտնելու t- ի ամբողջական թվաքանակը:

A: fx = -0.5x2 + 5x-8.5 Գրաֆիկը ՝

Հ. Լուծեք անհավասարությունը և պատասխանեք հարցին: 4 + 0.15x & lt 20 + 0.05.x Սա է անհավասարությունը, որը առաջացնում է:

A. Տրված արտահայտությունը `4 + 0.15x & amplt 20 + 0.05x Երկու կողմերից 0.05x հանելը` 4 + 0.15x-0.05x & amplt 20 + 0:

Հ. Գործակցեք բազմանդամը ամբողջությամբ և գտեք դրա բոլոր զրոները: Նշեք յուրաքանչյուր զրոյի բազմապատկությունը: Q (x)

A: Qx = x4 + 2x2 + 1 Պարզեցման ժամանակ մենք ստանում ենք ⇒Qx = x4 + x2 + x2 + 1⇒Qx = x2x2 + 1 + x2 + 1⇒Qx = x2 + 1x2 + 1⇒Qx = x2 + 12


Հիպերբոլա և # 8211 հատկություններ, բաղադրիչներ և գծապատկեր

Հիպերբոլան կոնաձև հատվածի եզակի տեսակ է, որտեղ մենք տեսնում ենք երկու հավասարեցված կորեր, որոնք ներկայացնում են դրա հավասարումը: Այս կոնները օգտագործվում են տիեզերանավի ուղիները նկարագրելիս և նույնիսկ օգտագործվում են որոշակի սեյսմոլոգիական իրադարձությունների մոդելավորման համար:

Հիպերբոլաները կոնաձև հատվածներ են, որոնք արդյունք են ինքնաթիռի, որը հատում է կրկնակի կոնի երկու մակերեսները: Նրանց գծապատկերները նման են U- աձեւ երկու կորերի, որոնք ուղղահայաց կամ հորիզոնական ուղղված են միմյանց:

Հնարավոր է, որ ձեզ հիպերբոլազներ են ծանոթացել, երբ առաջին անգամ իմացաք այդ մասին կոնաձև հատվածներ , այնպես որ, եթե ձեզ արագ թարմացում է անհրաժեշտ, ազատորեն նայեք այս հոդվածին ՝ տեսնելու, թե ինչն է տարբերում հիպերբոլոզները պարաբոլազներից և էլիպսերից:

Այս հոդվածում մենք կկենտրոնանանք հիպերբոլազի վրա և կսովորենք հետևյալը.

Հասկանալով, թե ինչպես են ստացվում հիպերբոլաները և դրա մեջ պարունակվող տարբեր բաղադրիչները:

Բացահայտեք հիպերբոլայի հավասարման տարբեր ստանդարտ ձևերը:

Իմացեք, թե ինչպես ներկայացնել այս կոնները $ xy $ համակարգված համակարգում:

Մենք նաև կփորձենք անել հակառակը ՝ գտնելով հիպերբոլաները ներկայացնող հավասարումները ՝ հաշվի առնելով դրանց գծապատկերները: Այս հոդվածը մանրակրկիտ ընդգրկում է հիպերբոլազի բոլոր բաղադրիչները, այնպես որ անպայման նշումներ կատարեք:

Առայժմ, արդյո՞ք մենք չենք սկսում թարմացնելով, թե ինչպես են հիպերբոլոզները ձեւավորվում կրկնակի կոն և ինքնաթիռի միջոցով:

Հիպերբոլոզներն առաջանում են, երբ ինքնաթիռը և աջ կրկնակի կոնը հատվում են միմյանց հետ և ծածկում վերին և ստորին խաչմերուկները, ինչպես ցույց է տրված ստորև:

Սա նշանակում է, որ հիպերբոլաները U- ի տեսքով երկու կորեր են (կոչվում են ճյուղեր), որոնք դեմ դիմաց են միմյանց: Նրանք կարող են կամ ուղղահայաց կողմնորոշվել որպես մեր օրինակ, կամ կողմնորոշվել հորիզոնական:

Վերոնշյալ պատկերը մեզ ցույց է տալիս հիպերբոլայի տարբեր բաղադրիչները ՝ անկախ դրանց կողմնորոշումից:

Հիպերբոլաներն ունեն երկու կորեր, որոնք կոչվում են միմյանց դեմ ուղղված ճյուղեր:

Քանի որ դրանք ունեն U- աձեւ երկու կորեր, հիպերբոլաները կունենան նաև երկու գագաթ և օջախ:

Լայնակի առանցքը ուղղորդող առանցք է, որը հիպերբոլան կիսում է կիսով չափ:

Ձևական հիպերբոլայի սահմանում

Վերը նշված բաղադրիչները օգնում են մեզ պաշտոնապես սահմանել հիպերբոլաները: Հիպերբոլաները կոնաձև հատվածներ են, որտեղ դրանց գծապատկերների վրա ընկած բոլոր կետերը բավարարում են հետևյալ պայմանը.

Եկեք ասենք, որ $ P (x, y) $ - ը հիպերբոլայի վրա է, որոշեք $ P $ - ի և երկու օջախների հեռավորությունները:

Հիպերբոլայի վրա պառկած, այս երկու հեռավորությունների միջեւ տարբերությունը միշտ կլինի հաստատուն:

Սա նշանակում է, որ հիպերբոլաների համար, ինչպիսին է վերևում պատկերված պատկերը, $ P_1 $ և $ P_2 $ երկու կետ են ՝ հիպերբոլայի վրա ընկած: (Բացարձակ արժեք) տարբերությունը $ overline- ի միջեւ$ և $ overline$ հավասար կլինի $ overline- ի տարբերությանը$ և $ overline$.

Բոլոր հիպերբոլաների և # 8217 տատանումները կբավարարեն այս պայմանները, և այդ պայմանները հիպերբոլաները եզակի են դարձնում մնացած կոնային հատվածներից:

Ինչպե՞ս գտնել հիպերբոլայի հավասարումը:

Չոր ստանդարտ ձևերը մեզ համար կարևոր են հաշվի առնել հիպերբոլաների և դրանց հավասարումների հետ աշխատելիս: Հիպերբոլայի հավասարման ձևի վրա ազդող գործոնները հետևյալն են.

Հիպերբոլայի կենտրոնը կազդի նրա հավասարման վրա:

Գրաֆիկի կողմնորոշումը կանդրադառնա, թե որ տերմինն է նախ տեղադրվելու:

Հիպերբոլայի բանաձեւը ստանդարտ ձևերով

Մենք այս բաժինը բաժանելու ենք հիպերբոլայի ստանդարտ ձևերի, որոնք կենտրոնացած են ծագման վրա ՝ $ (0, 0) $, և կենտրոնացած են գագաթին ՝ $ (h, k) $:

Հիպերբոլաների ստանդարտ ձևը կենտրոնացած է ծագման վայրում

Երբ հիպերբոլաները կենտրոնացած են ծագման վրա, մենք ակնկալում ենք, որ քառակուսի տերմինի ներսում հաստատուններ չլինեն: Ահա մի աղյուսակ, որը ցույց է տալիս հավասարության երկու հնարավոր ձևերը.

Parabola- ի կողմնորոշումը

Մենք կարող ենք տեսնել, որ առաջատար տերմինը մեզ գաղափար է տալիս, թե ինչպես է հայտնվելու հիպերբոլայի գրաֆիկը. Երբ առաջատար տերմինը $ x ^ 2 $ է, հիպերբոլաները հորիզոնականորեն սիմետրիկ են: Նմանապես, երբ $ y ^ 2 $ - ը առաջատար տերմին է, հիպերբոլաները կլինեն ուղղահայաց սիմետրիկ:

Հիպերբոլազի ստանդարտ ձևը կենտրոնացած է $ boldsymbol <(h, k)> $

Երբ հիպերբոլաները կենտրոնացած չեն ծագման վրա, փոխարենը ՝ $ (h, k) $:

Parabola- ի կողմնորոշումը

Այս զույգի հավասարումների միակ տարբերությունն այն փաստն է, որ հիպերբոլան թարգմանվում է $ h $ միավոր հորիզոնական, իսկ $ k $ միավորը ՝ ուղղահայաց: Հիպերբոլայի մնացած բաղադրիչները նույնպես կանդրադառնան այս թարգմանության վրա:

Ինչպե՞ս գտնել հիպերբոլայի գագաթները:

Հիպերբոլայի գագաթները առաջատար եզրույթի համար հնարավոր նվազագույն և առավելագույն արժեքները ցույց տվող երկու կետերն են: Անկախ կենտրոնի գտնվելու վայրից, գագաթների հեռավորությունը կենտրոնից կախված կլինի առաջին հայտարարից:

Ամփոփելու համար վերևում նշված աղյուսակը, գագաթները գտնելու համար մենք կարող ենք կամ.

Տեղափոխեք $ a $ միավոր կենտրոնի երկու ուղղություններով, երբ հիպերբոլայի գծապատկերն անհրաժեշտ լինի:

Ավելացրեք և հանեք $ a $ կենտրոնից և # 8217 կոորդինատից. Որն է առաջատար տերմինը, դա այն կոորդինտն է, որը մենք կավելացնենք և հանում $ a $:

Ինչպե՞ս գտնել հիպերբոլայի օջախները:

Ֆոկուսները կախված կլինեն հիպերբոլայի հավասարման հայտարարների արժեքներից:

Սա նշանակում է, որ մենք կարող ենք գտնել կենտրոնի ֆոկուսների հեռավորությունը `ավելացնելով հայտարարները և այնուհետև վերցնելով գումարը & # 8217 քառակուսի արմատ:

$ C $ արժեք ունենալուց հետո մենք $ c $ միավորով հեռացնում ենք կենտրոնից `հիպերբոլայի և # 8217 երկու օջախները գտնելու համար:

Սա նշանակում է, որ մենք հաշվում ենք $ c $ միավորներ կենտրոնի երկու կողմերում և հիպերբոլայի ուղղությամբ ՝ կենտրոնից օջախները գտնելու համար:

Ինչպե՞ս գտնել հիպերբոլայի ասիմպտոտները:

Հիպերբոլաները ունեն մի զույգ ասիմպտոտ, որոնց ընդհանուր ձևը $ y = mx + b $ է: Սա նշանակում է, որ մենք հիպերբոլայի ասիմպտոտներ գտնելիս փնտրում ենք երկու գծային հավասարումներ:

Ասիմպտոտների հավասարումները կախված կլինեն հայտարարների քառակուսի արմատներից: Մենք կարող ենք նաև գտնել հիպերբոլայի հավասարումը, որը կենտրոնացած է $ (h, k) $ - ի վրա, պարզապես թարգմանելով այն:

Այս աղյուսակում ամփոփված են ասիմպտոտների ստանդարտ ձևերը: Դրանից մենք տեսնում ենք, որ.

Երբ առաջատար տերմինը համարիչի վրա ունի $ y ^ 2 $, ասիմպտոտի հաստատունի համարիչը կլինի $ a $:

Երբ առաջատար տերմինը համարիչի վրա ունի $ x ^ 2 $, ասիմպտոտի հաստատունի համարիչը կլինի $ b $:

$ (H, k) $ կենտրոնացած հիպերբոլաների ասիմպտոտները կունենան հավասարումներ, որոնք կունենան նմանատիպ ձևեր, բացառությամբ այն բանի, որ թարգմանության համար հաշիվ ունենք $ (y - k) $ և $ (x - h) $:

Պարզապես համոզվեք, որ նշեք առաջատար տերմինները և գործակիցները & # 8217 կարգը, քանի որ այստեղ ընդհանուր սխալները կարող են առաջանալ:

Երբ տալիս են հիպերբոլայի գրաֆիկը, և մենք պետք է որոշենք դրա հավասարումը, ասիմպտոտների ձևն իմանալը օգտակար կլինի: Մենք կարող ենք օգտագործել $ a $ արժեքը և ի վերջո լուծել $ b $: Մի անհանգստացեք, հաջորդ բաժնի վերջին խնդիրը ձեզ ցույց կտա, թե ինչ նկատի ունենք:

Ինչպե՞ս նկարել հիպերբոլան:

Հիմա, երբ մենք հասկացանք հիպերբոլաների ընդհանուր ձևերը և սովորեցինք, թե ինչպես գտնել դրանց բաղադրիչները, ժամանակն է, որ սովորենք, թե ինչպես գրաֆիկական հիպերբոլազներ նկարել:

Here are four graphs, and it’s best to familiarize yourself with these as they are the four main types of graphs we’ll encounter in the examples below.

From these graphs, we can confirm what we’ve learned about hyperbolas and their components:

When the leading term is $x^2$, the parabola’s are oriented horizontally, meaning the branches open to the left and right.

Meanwhile, when the leading term is $y^2$, the parabolas are oriented vertically, meaning the branches open upward and downward.

The foci and vertices can be determined by finding the points that are $c$ and $a$ units away from the center but along the direction of the parabola.

Here are six steps to help guide you in graphing a hyperbola.

Locate and plot the center of the hyperbola.

Locate and plot the vertices and foci of the hyperbola.

If possible, plot its intercepts as well for additional guide points.

Find the asymptotes and present them as dashed lines.

Locate and plot the vertices and foci of the hyperbola.

Graph the two branches of the hyperbola using the vertices and asymptotes as a guide.

You can also create a guide rectangle using the values of the denominator – construct a dashed rectangle with vertices, $(a, b)$, $(-a,b)$, $(a, -b)$, and $(-a,-b)$ for hyperbolas that open to the sides. Use $(b, a)$, $(-b, a)$, $(b, -a)$, and $(-b, -a)$ when they open upwards and down wards.

The asymptotes will pass through the vertices, so it’ll make Step 4 easier as well.

Why don’t we review these steps and tips by graphing the hyperbola represented by the equation, $dfrac <9>– dfrac <16>= 1$?

Քայլ 1: The center of this hyperbola will be at the origin – $(0, 0)$.

Step 2 – 3: Since the leading term is $dfrac<9>$, we can see that the vertices will be at $(-3, 0)$ and $(3, 0)$.

Find the distance of the foci from the center using $c^2 = a^2 + b^2$. We can ss that $c^2 = 25$ and consequently, the foci of the hyperbola are $(-5, 0)$ and $(5, 0)$.

Let’s include the points of the vertices of the imaginary rectangular to guide us: $(3, 4)$, $(-3, 4)$, $(3, -4)$, and $(-3, -4)$.

Քայլ 4: The standard forms of the asymptotes for the hyperbola are $y = pm dfracx$. Hence, we have $y = dfrac<4><3>x$ and $y = -dfrac<4><3>x$.

Step 5: Graph the curves of the hyperbola using the vertices and the asymptotes as a guide.

This shows how the hyperbola and the important components can help us understand how to graph the hyperbola. We can take off the guide points to finalize the graph of the hyperbola, as shown below.

Make sure to review the important sections we’ve discussed and note how each component relates to the other. When you’re ready, we have more questions (with complete explanation) prepared to help you master this topic.

Use your knowledge about hyperbolas and fill in the blanks to make the following statements true.

ա The vertices of $dfrac <16>– dfrac <9>= 1$ are ________ and __________.

բ The foci of $dfrac <36>– dfrac <64>= 1$ are located at ________ and __________.

գ The asymptotes for the hyperbola, $dfrac <25>– dfrac <36>= 1$, have equations of _____________ and _____________.

The vertices will depend on the leading term of the hyperbola’s equation, $dfrac <16>– dfrac <9>= 1$. This means that $a^2 = 16$ and so, $a = 4$.

Since the center of the hyperbola is $(0, 0)$ and the branches are opening to the right and left so that the vertices will be $(-a, 0)$ and $(a, 0)$.

ա The hyperbola’s vertices will be $(-4, 0)$ and $(4, 0)$.

Now, to find the foci of $dfrac <36>– dfrac <64>= 1$, we add the denominators then take the square root of the result.

The hyperbola is still centered at the origin, and the branches will be opening to the left and to the right so that the foci will be of the forms $(-c, 0)$ and $(c, 0)$.

բ This means that the hyperbola’s foci are $(-10,0)$ and $(10, 0)$.

Since the leading term of the hyperbola’s equation is $y^2$ and the hyperbola’s center is $(0, 0)$, the asymptotes will be of the forms, $y = pm dfracx$.

գ Hence, the equations of the asymptotes are $y = dfrac<3><4>x$ and $y = -dfrac<3><4>x$.

Identify the center, vertices, and foci of the following hyperbolas.

We can divide the problem into pairs of items – depending on the centers that these problems have.

For the first two equations, since the numerators are solely $x^2$ and $y^2$ without any additional constants, we expect their centers to be at the origin.

The vertices will depend on the leading terms’ denominators, so we take the square root of $49$ and $144$.

The foci’s distance from the center can be calculated using $c^2 = a^2 + b^2$, where $c$ represents the foci’ distance from the center.

When $x^2$ is the leading term, these components will be reflected on the $x$-coordinates, while the second equation will have these values on the $y$-component.

Let’s work on the two remaining equations and begin by finding the centers found at $(h, k)$.

For the third equation, the vertices and the foci can be determined by counting $a$ and $c$ units to the left and the center’s right.

On the other hand, the fourth equation will have vertices, and the foci located $a$ and $c$ units above and below the center.

This example shows how it’s possible for us to identify different components of hyperbolas using their equations. Now, what if we’re given these components and we need to find the equation instead?

Use the given components of the hyperbolas to find the equations that represent these hyperbolas.

ա A hyperbola with a foci of $(-4, 0)$ and $(4, 0)$ and vertices at $(-3, 0)$ and $(3, 0)$.

բ A hyperbola with a foci of $(0, -9)$ and $(0, 9)$ and vertices at $(0,-4)$ and $(0, 4)$.

գ A hyperbola with a center at $(-4, 5)$, a focus at $(-8, 5)$, and a vertex at $(-6, 5)$.

դ A hyperbola with a center at $(-6, -8)$, a focus at $(-6, -3)$, and a vertex at $(-6, -5)$.

For the first hyperbola, we can see that both pairs of foci and vertices lie along the $x$-axis. This means that the hyperbola’s branches are opening to the left and to the right.

From this, we can see that the standard form of the equation is $dfrac – dfrac = 1$.

Since the vertices are $(-3, 0)$ and $(3, 0)$, we have $a = 3$.

From the foci, we have $c = 4$ and consequently $c^2 = 16$.

We can calculate $b^2$ using the fact that $c^2 = a^2 + b^2$.

Now that we have $a^2$ and $b^2$, we can now write the equation representing the first hyperbola.

ա The hyperbola’s equation is $dfrac <9>– dfrac <7>= 1$.

We can apply a similar approach to the second item, but this time, the leading term will be $y^2$ since the foci and vertices are located along the $y$-axis.

This means that the standard form of the equation is $dfrac – dfrac = 1$.

Since the vertices are $(0, -4)$ and $(0, 4)$, we have $a = 4$.

From the foci, we have $c = 9$ and consequently $c^2 = 81$.

We can also calculate $b^2$ the same way we did with the previous hyperbola. Hence, we have the following.

We can now find the equation of the hyperbola for the second item using the values of $a^2$ and $b^2$.

բ The hyperbola’s equation is $dfrac <4>– dfrac <65>= 1$.

The third hyperbola’s center is given, so we’re expecting the equation to contain $(x –h)^2$ and $(y – k)^2$ in the numerators.

Since only the $x$-coordinates are changing for the vertices and foci, the hyperbola’s branches open to the left and to the right.

The distance of the given vertex from the center is $2$, so $a = 2$ and $a^2 = 4$.

Similarly, since the distance of the given focus and the center is $4$, $c = 4$ and $c^2 =16$.

The graph’s standard form will be $dfrac<(x –h)^2> – dfrac<(y – k)^2> = 1$, so we still need to find value of $b^2$. We can do so using the formula, $c^2 = a^2 + b^2$.

գ Using $(h, k)= (-4, 5)$, $a^2 = 4^2$, and $b^2 = 12$, the equation of the third hyperbola is $dfrac<(x + 4)^2> <16>– dfrac<(y – 5)^2> <12>= 1$.

We’ll apply a similar process to find the equation of the fourth hyperbola.

Since only the $y$-coordinates are changing for the vertices and foci, the hyperbola’s branches to open upward and downward with a standard form of $dfrac<(y –k)^2> – dfrac<(x – h)^2> = 1$.

The distance of the given vertex from the center is $3$, so $a = 3$ and $a^2 = 9$.

Similarly, since the distance of the given focus and the center is $5$, $c = 5$ and $c^2 =25$.

Let’s use these information and the formula, $c^2 = a^2 + b^2$ to find $b^2$.

դ Using $(h, k)= (-6, -8)$, $a^2 = 9$, and $b^2 = 16$, the equation of the third hyperbola is $dfrac<(y + 8)^2> <9>– dfrac<(x + 6)^2> <16>= 1$.

Graph the hyperbola represented by the following equations. Make sure to include the foci, vertices, and asymptotes of the hyperbola as well.

Let’s inspect the first equation and we can see that its standard form is $dfrac – dfrac = 1$.

This means that the hyperbola’s center is $(0, 0)$.

Since the leading term has $y^2$ at its numerator, the hyperbola’s branches are opening upward and downward.

This also means that the vertices will be positioned at $(0, -a)$, $(0, a)$, $(0, -b)$, and $(0, b)$.

The hyperbola’s asymptotes are also of the form $y = pm dfrac x$.

To find the foci’s coordinates, let’s go ahead and use the formula, $c^2 = a^2 + b^2$, where $c$ represents the distance of the foci from the center .

We can begin by plotting the vertices, foci, and asymptotes. The hyperbola’s asymptotes can be graphed faster if we add a rectangle as guide with corners at $(8, 5)$, $(-8, 5)$, $(8, -5)$, and $(-8, -5)$.

With these guides, we can now plot the hyperbola’s branches opening upward and downward starting from the two vertices.

We can finalize the first hyperbola graph by removing the rectangular guide and only leaving the important components behind.

The equation of the second hyperbola, $8x^2 – 50y^2 = 200$, still needs to be written in standard form and we can do this by dividing both sides of the equation by $200$.

From the standard alone, we can see that the hyperbola’s branches are opening sideward with a center at $(0, 0)$. Let’s go ahead and use the values of $a$ and $b$ to find the vertices and asymptotes of the hyperbola.

We can also determine the hyperbola’s foci by first finding the value of $c$.

Plot these components and include a rectangular guide with corners at $(5, 2)$, $(-5, 2)$, $(5, -2)$, and $(-5, -2)$.

We can now graph the hyperbola’s branches that open sidewards and use the vertices and asymptotes as a guide. Finalize the graph by removing the rectangular guide as shown by the two graphs below.

These two graphs are valid – the central rectangle is just a guide, so the final graphs would look better if we remove the rectangular guide.

Graph the hyperbola represented by the following equations. Make sure to include the foci, vertices, and asymptotes of the hyperbola as well.

The hyperbola represented by the first equation has a standard form of $dfrac<(x – h)^2> – dfrac<(y – k)^2> = 1$, where $(h, k)$ represents the hyperbola’s center.

From the standard form, we can see that the hyperbola opens sideward with a center at $(-3, 2)$.

This means that we can find its vertices by moving $a$ units to the left and right of the center.

The hyperbola’s asymptote will be of the form $y – k = pm dfrac (x – h)$.


MATH 1060 | Trigonometry

These lecture videos are organized in an order that corresponds with the OER book we will be using for our Math1060 courses. We have numbered the videos for quick reference so it's reasonably obvious that each subsequent video presumes knowledge of the previous videos' material. Along with the video lecture for each topic, we have included the "pre-notes" and "post-notes" which are the notes of the lecture before we did the problems and after we worked everything out during the lecture, respectively. You may want to download the notes to use as a reference while watching the lecture video, or for later reference.

If you find an error in the lecture or a problem with the video, or if you would like to give feedback to us about these lectures, please email [email protected] to do so.


NOTE: These videos were not recorded in stereo sound. If you are listening to these videos on headphones, you may want to consider setting your sound channels to come through both sides. This document will give you an idea of how to accomplish that.

  • 1A Degrees and Radians (part 1)
  • 1B Degrees and Radians (part 2)
    • 1 Pre Notes
    • 1 Post Notes
    • 2 Pre Notes
    • 2 Post Notes
    • 3 Pre Notes
    • 3 Post Notes
    • 4 Pre Notes
    • 4 Post Notes
    • 5 Pre Notes
    • 5 Post Notes
    • 6 Pre Notes
    • 6 Post Notes
    • 7 Pre Notes
    • 7 Post Notes
    • 8 Pre Notes
    • 8 Post Notes
    • 9 Pre Notes
    • 9 Post Notes
    • 10 Pre Notes
    • 10 Post Notes
    • 11 Pre Notes
    • 11 Post Notes
    • 11.5 Pre Notes
    • 11.5 Post Notes
    • 12 Pre Notes
    • 12 Post Notes
    • 13 Pre Notes
    • 13 Post Notes
    • 14 Pre Notes
    • 14 Post Notes
    • 15 Pre Notes
    • 15 Post Notes
    • 16 Pre Notes
    • 16 Post Notes
    • 17 Pre Notes
    • 17 Post Notes
    • 18 Pre Notes
    • 18 Post Notes
    • 19 Pre Notes
    • 19 Post Notes
    • 20 Pre Notes
    • 20 Post Notes
    • 21 Pre Notes
    • 21 Post Notes
    • 22 Pre Notes
    • 22 Post Notes
    • 23 Pre Notes
    • 23 Post Notes
    • 24 Pre Notes
    • 24 Post Notes
    • 25 Pre Notes
    • 25 Post Notes
    • 26 Pre Notes
    • 26 Post Notes
    • 26.5 Pre Notes
    • 26.5 Post Notes
    • 27 Pre Notes
    • 27 Post Notes
    • 28 Pre Notes
    • 28 Post Notes

    11.5: Hyperbolas - Mathematics

    4. Complete the square on the (x) and (y) portions of the equation and write the equation into the standard form of the equation of the hyperbola.

    Allուցադրել բոլոր քայլերը Թաքցնել բոլոր քայլերը

    The process here will be is identical to the process we used in the previous section to write equations of ellipses in standard form.

    The first step is to make sure the coefficient of the () and () is a one. The () has a coefficient of 4 and the () has a coefficient of -1. What we will do is factor a 4 out of every term involving an (x) and a -1 out of ever term involving a (y). Doing that gives,

    [4left( <- 8x> ight) - left( <+ 4y> ight) + 24 = 0]

    Be careful with these kinds of problems and don’t forget that even a coefficient of -1 needs to be taken care of!

    Now let’s get started on completing the square. First, we need one-half the coefficient of the (x) and (y) term, square each and the add/subtract those numbers in the appropriate places as follows,

    Be careful you add/subtract these numbers and make sure you put them in the parenthesis!

    Next, we need to factor the (x) and (y) terms and add up all the constants.

    When adding the constants up, make sure to multiply the 4 through the (x) terms and the -1 through the (y) terms before adding the constants up.

    To finish things off we’ll first move the 36 to the other side of the equation.

    To get this into standard form we need a one on the right side of the equation. To get this all we need to do is divide everything by 36 and we’ll do a little simplification work on the (x) term.


    11.5: Hyperbolas - Mathematics

    The next graph that we need to look at is the hyperbola. There are two basic forms of a hyperbola. Here are examples of each.

    Hyperbolas consist of two vaguely parabola shaped pieces that open either up and down or right and left. Also, just like parabolas each of the pieces has a vertex. Note that they aren’t really parabolas, they just resemble parabolas.

    There are also two lines on each graph. These lines are called asymptotes and as the graphs show as we make (x) large (in both the positive and negative sense) the graph of the hyperbola gets closer and closer to the asymptotes. The asymptotes are not officially part of the graph of the hyperbola. However, they are usually included so that we can make sure and get the sketch correct. The point where the two asymptotes cross is called the center of the hyperbola.

    There are two standard forms of the hyperbola, one for each type shown above. Here is a table giving each form as well as the information we can get from each one.

    Form (displaystyle frac <<< ight)>^2>>><<>> - frac <<< ight)>^2>>><<>> = 1) (displaystyle frac <<< ight)>^2>>><<>> - frac <<< ight)>^2>>><<>> = 1)
    Center (left( ight)) (left( ight))
    Opens Opens left and right Opens up and down
    Vertices (displaystyle left( ight)) and (left( ight)) (displaystyle left( ight)) and (left( ight))
    Slope of Asymptotes (displaystyle pm frac) (displaystyle pm frac)
    Equations of Asymptotes (displaystyle y = k pm fracձախ( ight)) (displaystyle y = k pm fracձախ( ight))

    Note that the difference between the two forms is which term has the minus sign. If the (y) term has the minus sign then the hyperbola will open left and right. If the (x) term has the minus sign then the hyperbola will open up and down.

    We got the equations of the asymptotes by using the point-slope form of the line and the fact that we know that the asymptotes will go through the center of the hyperbola.

    Let’s take a look at a couple of these.

    Now, notice that the (y) term has the minus sign and so we know that we’re in the first column of the table above and that the hyperbola will be opening left and right.

    The first thing that we should get is the center since pretty much everything else is built around that. The center in this case is (left( <3, - 1> ight)) and as always watch the signs! Once we have the center we can get the vertices. These are (left( <8, - 1> ight)) and (left( < - 2, - 1> ight)).

    Next, we should get the slopes of the asymptotes. These are always the square root of the number under the (y) term divided by the square root of the number under the (x) term and there will always be a positive and a negative slope. The slopes are then ( pm frac<7><5>).

    Now that we’ve got the center and the slopes of the asymptotes we can get the equations for the asymptotes. They are,

    We can now start the sketching. We start by sketching the asymptotes and the vertices. Once these are done we know what the basic shape should look like so we sketch it in making sure that as (x) gets large we move in closer and closer to the asymptotes.

    Here is the sketch for this hyperbola.

    In this case the hyperbola will open up and down since the (x) term has the minus sign. Now, the center of this hyperbola is (left( < - 2,0> ight)). Remember that since there is a y 2 term by itself we had to have (k = 0). At this point we also know that the vertices are (left( < - 2,3> ight)) and (left( < - 2, - 3> ight)).

    In order to see the slopes of the asymptotes let’s rewrite the equation a little.

    So, the slopes of the asymptotes are ( pm frac<3> <1>= pm 3). The equations of the asymptotes are then,

    [y = 0 + 3left( ight) = 3x + 6hspace<0.25in>>hspace<0.25in>,,y = 0 - 3left( ight) = - 3x - 6]


      Videos
      R.1 Solving Equations

    R.3 The Slope-Intercept Form of a Line

    R.4 Solving a System of Equations

    R.5 Multiplying Polynomials

    R.10 Area and Perimeter Fundamentals

    1.3 Rates, Ratios, and Proportions

    1.4 Translation in a Coordinate Plane

    1.6 Reflection, Rotation, and Symmetry

    1.7 Composition of Transformations

    2. Similar Figures and Dilation

    2.2 Dilation and Similar Figures

    2.3 Similarity, Polygons, and Circles

    2.4 Similarity and Transformations

    3.2 Conditional Statements

    4. Parallel and Perpendicular Lines

    4.2 More on Parallel Lines and Angles

    4.4 Parallel Lines, Perpendicular Lines, and Slope

    4.5 Parallel Lines and Triangles

      Videos
      5.1 Isosceles and Equilateral Triangles

    5.3 Proving Triangles Congruent with SSS and SAS

    5.4 Proving Triangles Congruent with ASA and AAS

    6. Relationships Within Triangles

    6.2 Perpendicular and Angle Bisectors

    6.4 Centroids and Orthocenters

    6.6 Optional: Inequalities in One Triangle

    6.7 Optional: Indirect Reasoning

    7. Similarity and Trigonometry

    7.2 Similar Triangles: Side-Angle-Side Theorem

    7.4 Similar Right Triangles

    7.5 Special Right Triangles

    7.7 Optional: Inverses of Trigonometric Functions

    7.8 Law of Cosines and Law of Sines

    8.4 More on Chords and Angles

      Videos
      9.1 Parallelograms and Their Diagonals

    9.2 Deciding If a Parallelogram Is Also a Rectangle, Square, or Rhombus

    9.3 Deciding If a Quadrilateral Is a Parallelogram

    9.4 Optional: Polygons and Their Angles

    9.6 Areas and the Coordinate Plane

    9.7 Area of Regular Polygons

      Videos
      10.1 Three-Dimensional Figures, Cross-Sections, and Drawings


    Conic Sections: Hyperbolas 5 Amazing Examples!

    Hyperbolas, not to be confused with those exaggerated statements called hyperboles, are one of my favorite types of Conic Sections.

    Jenn, Founder Calcworkshop ® , 15+ Years Experience (Licensed & Certified Teacher)

    Հիպերբոլազներ look like two opposite facing parabolas but with some really distinguishing characteristics that sets them apart from them rest.

    So what features do Hyperbolas have that are similar to other conics?

    Well, Hyperbolas have centers (h,k), vertices, co-vertices, and foci just like other conics.

    But what makes them special, or different, is that they have Oblique Asymptotes and when you look at their graph it’s like seeing double. Or as Purple Math says, it’s like looking at a mirror image.

    We will learn how easy it is to graph a Hyperbola and find all of it’s traits:

    Yes, even finding those Oblique Asymptotes couldn’t be any easier when all you have to do is draw a box or rectangle connecting our vertices and co-vertices!

    Together we will look at five examples where we will either be given a Hyperbola in Standard (h,k) Form or in General Form and then need to Complete the Square in order to graph, and find all characteristics including domain and range.

    Gosh, they’re so much fun to draw! Just wait and see!


    Hyperboloid

    Our editors will review what you’ve submitted and determine whether to revise the article.

    Hyperboloid, the open surface generated by revolving a hyperbola about either of its axes. If the tranverse axis of the surface lies along the x axis and its centre lies at the origin and if a, b, և գ are the principal semi-axes, then the general equation of the surface is expressed as x 2 /ա 2 ± յ 2 /բ 2 − զ 2 /գ 2 = 1.

    Revolution of the hyperbola about its conjugate axis generates a surface of one sheet, an hourglass-like shape (see figure , left), for which the second term of the above equation is positive. The intersections of the surface with planes parallel to the xz և yz planes are hyperbolas. Intersections with planes parallel to the xy plane are circles or ellipses.

    Revolution of the hyperbola about its transverse axis generates a surface of two sheets, two separate surfaces (see figure, right), for which the second term of the general equation is negative. Intersections of the surface(s) with planes parallel to the xy և xz planes produce hyperbolas. Cutting planes parallel to the yz plane and at a distance greater than the absolute value of ա,|ա|, from the origin produce circles or ellipses of intersection, respectively, as ա equals բ կամ ա is not equal to բ.


    Դիտեք տեսանյութը: IQ կենտրոնը մենթալ մաթեմատիկայի 4 գիրք է ներկայացրել (Հոկտեմբեր 2021).