Հոդվածներ

72` Բարդ թվերի թվաբանության ներածություն - մաթեմատիկա


72` Բարդ թվերի թվաբանության ներածություն - մաթեմատիկա

Բաժին A.3. ՀԱՄԱԼԻՐ ԹԻՎԵՐԻ ԹՇՆԱՄԱՇԻՆԱԿԱՆ ԳՈՐERՈՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Վերոնշյալներից որն է կազմում C համար Eq- ում: (A-1) - ը ամենալավն է օգտագործելու համար: Դա կախված է թվաբանական գործողությունից, որը մենք ուզում ենք կատարել: Օրինակ, եթե մենք գումարենք երկու բարդ թվեր, ուղղանկյուն ձևը հավասար է: (A-1) օգտագործումը ամենադյուրինն է: Երկու բարդ թվերի `C1 = R1 + jI1 և C2 = R2 + jI2, գումարումը պարզապես իրական մասերի գումարած գումարած j անգամ երեւակայական մասերի գումարն է,

Նկար A-3- ը երկու բարդ թվերի հանրագումարի գրաֆիկական պատկերում է `օգտագործելով ֆազորների գաղափարը: Այստեղ A-3 (a) Նկարում պատկերված C1 + C2 ֆազորի գումարը նոր ֆազոր է C1 փուլի սկզբից մինչև C2 փուլի ավարտ A-3 (b) նկարում: Հիշեք, որ R- ները և Is- ը կարող են լինել դրական կամ բացասական թվեր: Մեկ բարդ թվից մյուսը հանելը պարզ է, քանի դեռ մենք գտնում ենք երկու իրական մասերի և երկու մտացածին մասերի տարբերությունները առանձին-առանձին: Այսպիսով

A-11 հավասարումը

Նկար A-3: Երկու բարդ թվերի գումարի երկրաչափական ներկայացում:

Բարդ թվերի լրացման մի օրինակ քննարկվում է Բաժին 11.3-ում, որտեղ մենք լուսաբանեցինք Ֆուրիեի արագ տրանսֆորմացիայի արդյունքների միջինացման թեման:

A.3.2 Բարդ թվերի բազմապատկում

Ուղղանկյուն ձևը կարող ենք օգտագործել երկու բարդ թվեր բազմապատկելու համար

A-12 հավասարումը

Այնուամենայնիվ, եթե մենք ներկայացնում ենք երկու բարդ թվերը էքսպոնենցիալ ձևով, դրանց արտադրյալը ստանում է ավելի պարզ ձև

A-13 հավասարումը

քանի որ բազմապատկումը բերում է արտահայտիչների գումարմանը:

Որպես երկու բարդ թվերի բազմապատկման հատուկ դեպք, մասշտաբավորումը բարդ թիվը բազմապատկող է մեկ այլ բարդ թվով, որի երեւակայական մասը զրո է: Ուղղանկյուն կամ ցուցիչ ձևերը կարող ենք հավասար հեշտությամբ օգտագործել հետևյալ կերպ.

A-14 հավասարություն

A-15 հավասարություն

A.3.3 Բարդ համարի հոլովում

Բարդ թվի բարդ խառնուրդը ստացվում է զուտ համարի & # 39-ի երեւակայական մասի նշանը փոխելու միջոցով: Այսպիսով, եթե C * նշենք որպես C = R + jI = Mej & oslash թվի բարդ խառնուրդ, ապա C * արտահայտվում է որպես

A-16 հավասարումը

Գոյություն ունեն խառնուրդների երկու հատկություններ, որոնք երբեմն օգտակար են լինում: Նախ `արտադրանքի խառնուրդը հավասար է համակցվածների արտադրյալին: Այսինքն, եթե C = C1C2, ապա Eq- ից: (A-13),

A-17 հավասարություն

Երկրորդ, բարդ թվի և նրա զուգորդի արտադրյալը բարդ թիվն է և # 39-ի մեծությունը քառակուսիով: Դա # 39-ին հեշտ է ցուցադրել ցուցիչ տեսքով, ինչպես նաև

A-18 հավասարություն

(Այս հատկությունը հաճախ օգտագործվում է թվային ազդանշանի մշակման ժամանակ `որոշելու համար Mejwt- ի կողմից ներկայացված բարդ սինուսոիդային ֆազորի հարաբերական հզորությունը):

A.3.4 Բարդ թվերի բաժին

Երկու բարդ թվերի բաժանումը հարմար է նաև օգտագործելով ցուցիչ և մեծության և անկյան ձևերը, ինչպիսիք են

A-19 հավասարություն

A-19 & # 39 հավասարություն

Չնայած գրեթե այդքան էլ հարմար չէ, մենք կարող ենք կատարել ուղղանկյուն նշման բարդ բաժանում `բազմապատկելով համարիչը և հայտարարը` հայտարարի բարդ հոլովով,

A-20 հավասարություն

A.3.5 Կոմպլեքս համարի հակադարձ

Բաժանման հատուկ ձևը բարդ թվի հակադարձ կամ փոխադարձն է: Եթե ​​C = Mej & oslash, ապա դրա հակառակը տրված է

A-21 հավասարություն

Ուղղանկյուն տեսքով, C = R + jI- ի հակադարձը տրված է

A-22 հավասարություն

Մենք ստանում ենք Eq. (A-22) փոխարինելով R1 = 1, I1 = 0, R2 = R և I2 = I Eq- ում: (A-20):

A.3.6 Մի հզորության բարձրացրած բարդ թվեր

Բարդ թիվը որոշակի ուժի բարձրացնելը հեշտությամբ կատարվում է էքսպենսենսիվ տեսքով: Եթե ​​C = Mej & oslash, ապա

A-23 հավասարություն

Օրինակ, եթե C = 3ej125 & deg, ապա C խորանարդն է

A-24 հավասարություն

Մենք այս հավելվածը եզրափակում ենք թվաբանական չորս բարդ գործողություններով, որոնք այնքան էլ տարածված չեն թվային ազդանշանի մշակման մեջ, բայց հնարավոր է, որ դրանք երբեմն անհրաժեշտ լինեն:

A.3.7 Բարդ համարի արմատները

C բարդ թվի kth արմատը այն թիվն է, որը բազմապատկվելով k անգամ, հանգեցնում է C. C- ի ցուցիչ ձևը այս գործընթացն ուսումնասիրելու լավագույն միջոցն է: Երբ բարդ թիվը ներկայացված է C = Mej & oslash- ով, հիշեք, որ այն կարող է ներկայացվել նաև միջոցով

A-25 հավասարություն

Այս դեպքում փոփոխական & oslash- ը Eq- ում: (A-25) աստիճաններով է: Գոյություն ունեն k հստակ արմատներ, երբ մենք գտնում ենք C.- ի kth արմատը, հստակ ասելով ՝ մենք նկատի ունենք արմատներ, որոնց արտահայտիչները 360-ից պակաս են: Մենք գտնում ենք այդ արմատները ՝ օգտագործելով հետևյալը.

A-26 հավասարություն

Հաջորդը, մենք նշանակում ենք 0, 1, 2, 3, արժեքները: , ., k & ndash1- ից n Eq- ում: (A-26) C.- ի k արմատները ստանալու համար: Լավ, մեզ այստեղ օրինակ է պետք: Եկեք ասենք, որ մենք փնտրում ենք C = ​​125ej (75 & deg) խորանարդի (երրորդ) արմատը: Մենք ընթանում ենք հետևյալ կերպ.

A-27 հավասարություն

Հաջորդը Eq- ին ենք հատկացնում n = 0, n = 1 և n = 2 արժեքները: (A-27) ՝ C.- ի երեք արմատները ստանալու համար: Այսպիսով, երեք հստակ արմատներն են

A.3.8 Բարդ թվի բնական լոգարիթմներ

C = Mej & oslash բարդ թվի բնական լոգարիթմը վերցնելը պարզ է `օգտագործելով ցուցիչ նշումը, որը

A-28 հավասարություն

որտեղ 0 & oslash & lt 2p: Օրինակով, եթե C = 12ejp / 4, C- ի բնական լոգարիթմն է

A-29 հավասարություն

Սա նշանակում է, որ e (2.485 + j0.785) = e2.485 & middot ej0.785 = 12ejp / 4:

A.3.9 Լոգարիթմ Բարդ համարի բազայի 10-ին

Կարող ենք հաշվարկել C = Mej & oslash բարդ թվի հիմքի 10 լոգարիթմը ՝ օգտագործելով

A-30 հավասարություն

Իհարկե e- ը իռացիոնալ թիվ է, մոտավորապես հավասար է 2.71828-ի, որի մուտքը դեպի բազա 10-ը մոտավորապես 0.43429 է: Հաշվի առնելով դա ՝ մենք կարող ենք պարզեցնել հավասարությունը: (A-30) ինչպես

A-31 հավասարություն

Վերը նշված օրինակը կրկնելով C = 12ejp / 4-ով և օգտագործելով Eq: (A-31) մոտավորություն, C- ի հիմքի 10 լոգարիթմն է

Արդյունքի երկրորդ ժամկետի համար Eq. (A-30) մենք օգտագործել ենք loga (xn) = n & middotlogax ըստ լոգարիթմների օրենքի:

A-32 հավասարություն

Արդյունքը EQ- ից: (A-32) նշանակում է, որ

A-33 հավասարություն

A.3.10 Մուտք գործեք Բարդ լոգարիթմների միջոցով բարդ թվի հիմքում 10

Unfortunatelyավոք, որոշ ծրագրային մաթեմատիկական փաթեթներ չունեն բազայի 10 լոգարիթմական ֆունկցիա և կարող են հաշվարկել միայն բնական լոգարիթմները: Այս իրավիճակում մենք պարզապես օգտագործում ենք

A-34 հավասարություն

հաշվարկել x- ի հիմքի 10 լոգարիթմը: Օգտագործելով բազային բանաձևի այս փոփոխությունը, մենք կարող ենք գտնել C = Mej & oslash բարդ թվի հիմքի 10 լոգարիթմը, այսինքն ՝

A-35 հավասարություն

Քանի որ log10 (e) - ը մոտավորապես հավասար է 0.43429- ի, մենք օգտագործում ենք Eq: (A-35) հայտարարելու համար, որ

A-36 հավասարություն

Կրկին կրկնելով C = 12ejp / 4 – ի վերոնշյալ օրինակը, Eq. (A-36) մոտավորությունը թույլ է տալիս վերցնել C բազայի 10 լոգարիթմը ՝ օգտագործելով բնական տեղեկամատյանները, ինչպես


Օրինակներ

Ավելի վաղ ձեզ հարցրել էին, թե ինչպես մտածել բարդ թվի բացարձակ արժեքի մասին: Բոլոր թվերի համար բացարձակ արժեքի մասին մտածելու լավ միջոց է այն սահմանել որպես հեռավորություն թիվից զրոյի: Բարդ թվերի դեպքում, երբ անհատական ​​թիվը իրականում ինքնաթիռի վրա կոորդինատ է, զրո է ծագումը:

Ձեռքով հաշվարկեք հետևյալ հզորությունը և օգտագործեք ձեր հաշվիչը ՝ ձեր աշխատանքը աջակցելու համար:

(( sqrt <3> +2 i) cdot ( sqrt <3> +2 i) cdot ( sqrt <3> +2 i) )

TI-84- ը կարող է անցնել մտացածին ռեժիմի, ապա հաշվարկել հենց այն, ինչ դու արեցիր: Նկատի ունեցեք, որ հաշվիչը տասնորդական մոտավորություն կտա (- 9 sqrt <3> ) - ի համար:

Պարզեցրեք հետևյալ բարդ արտահայտությունը.

Կոտորակներ ավելացնելու համար հարկավոր է գտնել ընդհանուր հայտարար:

Ի վերջո, վերացրեք մտացածին բաղադրիչը հայտարարից `օգտագործելով զուգորդիչը:

Պարզեցրեք հետևյալ բարդ թիվը:

Բարդ թվերը պարզեցնելիս (i ) չպետք է ունենա 1-ից մեծ ուժ: (I ) - ի լիազորությունները կրկնում են չորս մաս ցիկլով.

Հետեւաբար, դուք պարզապես պետք է որոշեք, թե որտեղ է 2013 թվականը ցիկլի մեջ: Դա անելու համար որոշեք մնացորդը, երբ 2013-ը բաժանեք 4-ի: Մնացորդը 1 է, այնպես որ (i ^ <2013> = i ):

Գծիր հետևյալ բարդ թիվը բարդ կոորդինատային հարթության վրա և որոշիր դրա բացարձակ արժեքը:

Ուղղանկյուն եռանկյան կողմերն են 5 և (12, ), որոնք դուք պետք է ճանաչեք որպես Պյութագորաս

եռապատկվել է 13. հիպոթենուսով: (| -12 + 5 i | = 13 ):

Պարզեցրեք հետևյալ բարդ թվերը:

Հետևյալներից յուրաքանչյուրի համար բարդի կոորդինատային հարթության վրա գծիր բարդ թիվը և


Բարդ թվերի ֆոն

Ելնելով Cut-the-Knot- ի պատմությունից ՝ ես իմ ուսանողներին տալիս եմ համառոտ պատմություն այն թվերի համակարգի հետ, որը մենք ներկայումս օգտագործում ենք: Ես տախտակի վրա գծագրում եմ դիագրամ `ինչպես բարդ թվերի վեն դիագրամը, որպեսզի աջակցեմ քննարկմանը: Պատմությունը ներկայացնելիս ես շեշտում եմ, որ թվերի տարբեր բազմություններին տրված անունները ցույց են տալիս դրանց օգտակարությունը շրջապատող թերահավատությունը: Կարծում եմ, սա օգնում է իմ ուսանողներին հաղթահարել իրենց սեփական թերահավատությունը մտացածին թվերի օգտակարության վերաբերյալ:

Իմ ուսանողները դեռ բավարար մաթեմատիկական ֆոն չունեն բարդ թվերի օգտակարությունը իսկապես հասկանալու համար, բայց ես փորձում եմ նրանց որոշակի ինտուիցիա տալ, որ բարդ թվերը օգտակար են երկու մասեր ունեցող մեծությունները ներկայացնելու համար: Օրինակ ՝ պարզ համակարգչային ծրագրում բարդ թիվ ավելացնելը կարող է օբյեկտը տեղափոխել միաժամանակ աջ և վեր: Նմանապես, ես իմ ուսանողներին ասում եմ, որ քանի որ բարդ թվերով գործողությունները օգտագործում են համակարգչային անիմացիա, ալիքների տեսություն, քվանտային մեխանիկա, էլեկտրականություն և այլ ոլորտներ, մենք այդ գործողությունների հիմունքները սովորում ենք հանրահաշիվ 2-ում [MP4]:


Groovy- ն չի տրամադրում որևէ ներկառուցված կառույց բարդ թվաբանության համար: Այնուամենայնիվ, այն իսկապես աջակցում է թվաբանական օպերատորի գերբեռնվածությանը: Այսպիսով, շատ դժվար չէ կառուցել բավականին ամուր, ամբողջական և ինտուիտիվ բարդ թվերի դաս, ինչպիսին է հետևյալը.

Հաջորդը Համալիր Կատեգորիա դասը թույլ է տալիս փոփոխել կանոնավորը Թիվ վարք, երբ համագործակցում եք Համալիր.

Ուշադրություն դարձրեք նաև, որ այս լուծումը ազատական ​​առավելություն է ստանում Groovy- ի Unicode- ի ամբողջական աջակցությունից, ներառյալ նույնականացման մեջ օգտագործվող ոչ անգլերեն այբուբենի աջակցությունը:

Թեստային ծրագիր (ComplexCategory մեթոդները խառնվում է համարների դասի մեջ).


Բարդ թվերով թվաբանություն

Ողջույն, ես նոր եմ Java- ում, ես & # x27 փորձել եմ, բայց այստեղ ես խրված եմ: Ես իսկապես կգնահատեի, եթե կարողանաք ինձ օգնել այս հարցում: Ես նախագիծ եմ կառուցում, այն հետագայում կլինի հղում, եթե երբևէ կապվեմ թվաբանության հետ կապված խնդրի հետ: Կանխավ շնորհակալություն.

Կոմպլեքս թվերով թվաբանություն կատարելու համար ստեղծեք դասարան, որը կոչվում է Համալիր: Կոմպլեքս համարները ունեն ձև

realPart + երեւակայական Part * i

որտեղ i- ը -1-ի քառակուսի արմատն է

Օգտագործեք լողացող կետի փոփոխականներ `դասի մասնավոր տվյալները ներկայացնելու համար: Տրամադրեք կոնստրուկտոր, որը հնարավորություն է տալիս այս դասի օբյեկտը նախանշել, երբ հայտարարվում է:

Ստեղծեք երկու բարդ օբյեկտներ (9.5, 7.7) և (1.2, 3.1) արժեքներով:

Առանց փաստարկի կոնստրուկտորին տրամադրեք լռելյայն արժեքներ, եթե նախնական ձևակերպողներ չտրամադրվեն: Տրամադրել հետևյալ գործողությունները կատարող հանրային մեթոդներ.

ա) Ավելացրեք երկու բարդ թվեր. իրական մասերը գումարվում են միասին, իսկ երեւակայական մասերը ՝ միասին: Այսպիսով, եթե մենք ունենք (a + bi) + (c + di)), արդյունքը պետք է լինի (a + c) + (b + d) i.

բ) հանել երկու բարդ թվերի. աջ օպերանդի իրական մասը հանվում է ձախ օպերանդի իրական մասից, իսկ աջ օպերանդի մտացածին մասը `հանվում ձախ օպերանդի մտացածին մասից: Այսպիսով, եթե մենք ունենք (a + bi) - (c + di)), արդյունքը պետք է լինի (a - c) + (b - d) i:

գ) Բազմապատկել երկու բարդ թվեր. Արդյունքի իրական մասը աջ օպերանդի իրական մասն է, բազմապատկում է ձախ օպերանդի իրական մասը հանած աջ օպերանդի մտացածին մասը բազմապատկում է ձախ օպերանդի մտացածին մասը: Արդյունքի երեւակայական մասը ձախ օպերանդի իրական մասն է ՝ բազմապատկելով ձախ օպերանդի երեւակայական մասը գումարած ձախ օպերանդի երեւակայական մասը բազմապատկելով աջ օպերանդի իրական մասը: Այսպիսով, եթե մենք ունենք (a + bi) * (c + di)), արդյունքը պետք է լինի (ac - bd) + (ad + bc) i:

դ) Բաժանում երկու Բարդ թվեր. Մենք հայտարարում ենք հայտարարի քառակուսի իրական մասի արժեքը գումարած հայտարարի քառակուսի երեւակայական մասը `Ա: Արդյունքի իրական մասը` համարիչի իրական մասը բազմապատկում է հայտարարի իրական մասը գումարած ` Հաշվիչի երեւակայական մասը բազմապատկել է հայտարարի մտացածին մասը և բաժանված Ա-ով: Արդյունքի երեւակայական մասը ձախ օպերանդի իրական մասն է, բազմապատկել ձախ օպերանդի երեւակայական մասը գումարած ձախ օպերանդի երեւակայական մասը բազմապատկել իրականը աջ օպերանդի մի մասը: Այսպիսով, եթե մենք ունենք (a + bi) / (c + di)), արդյունքը պետք է լինի (ac + bd) + i (bc-ad)) / (c2 + d2):

ե) Տպիր բարդ թվեր (a, b) ձևով, որտեղ a- ն իրական մասն է, իսկ b- ը `երեւակայական:


Բաժին A.2. ՀԱՄԱԼԻՐ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐԻ ԹՇՆԱՄԱՐՏԱԿԱՆ ՆԵՐԿԱՅԱՈՒՉՈՒԹՅՈՒՆ

(A-1 & # 39 & # 39) և (A-1 & # 39 & # 39 & # 39) հավասարումները հիշեցնում են մեզ, որ C բարդ թիվը կարող է նաև համարվել բարդ ինքնաթիռի ֆազորի ծայր, M մեծությամբ ուղղությամբ, & oslash աստիճանի համեմատ դրական դրական առանցքի հետ, ինչպես ցույց է տրված նկար A-2-ում: (Մենք և # 39. Մենք խուսափում ենք M փուլը վեկտոր անվանելուց, քանի որ վեկտոր տերմինը նշանակում է տարբեր բաներ տարբեր ենթատեքստերում: Գծային հանրահաշվում վեկտորը տերմին է, որը նշանակվում է միաչափ մատրիցա: Մյուս կողմից, մեքենաշինության և դաշտի տեսության մեջ, վեկտորներն օգտագործվում են մեծություններն ու ուղղությունները նշանակելու համար, բայց կան վեկտորային գործողություններ (սկալային կամ կետային արտադրանք և վեկտոր կամ խաչմերուկ), որոնք չեն կիրառվում ֆազորի մեր սահմանման համար:) Այս պատկերի փոփոխականների միջև կապերը հետևում են հետևյալին. ուղղանկյուն եռանկյունիների ստանդարտ եռանկյունաչափություն: Հիշեք, որ C- ը բարդ թիվ է, և R, I, M և & oslash փոփոխականները բոլորն էլ իրական թվեր են: C- ի մեծությունը, որը երբեմն կոչվում է C- ի մոդուլ, կազմում է

A-2 հավասարություն

և, ըստ սահմանման, C- ի փուլային անկյունը կամ փաստարկը I / R- ի կամարտն է, կամ

A-3 հավասարումը

Փոփոխական & oslash- ը Eq- ում: (A-3) ընդհանուր անկյունային տերմին է: Այն կարող է ունենալ աստիճանի կամ ռադիանի չափսեր: Իհարկե, մենք կարող ենք վերափոխվել և վերափոխվել աստիճանների և ճառագայթների միջև, օգտագործելով p radians = 180 & deg: Այսպիսով, եթե & oslashr- ը ռադիաններով է, և & oslashd- ը աստիճաններով է, ապա մենք կարող ենք & oslashr- ը աստիճաններ դարձնել արտահայտությամբ

A-4 հավասարումը

Նմանապես, արտահայտության միջոցով մենք կարող ենք & oslashd- ը դարձնել ռադիան

A-5 հավասարումը

Բարդ թվի ցուցիչ ձևն ունի հետաքրքիր բնութագիր, որը պետք է հիշել: Մինչ ուղղանկյուն տեսքով միայն մեկ արտահայտությունը կարող է նկարագրել մեկ բարդ թիվ, ցուցիչ արտահայտությունների անսահման քանակը կարող է նկարագրել մեկ բարդ թիվ, որը, մինչդեռ, ցուցիչ ձևով, C բարդ թիվը կարող է ներկայացվել C = Mej & oslash- ով, դա կարող է ներկայացվել նաև

A-6 հավասարումը

որտեղ n = & plusmn1, & plusmn2, & plusmn3,. , , և & oslash- ը ռադիաններով է: Երբ & oslash- ը աստիճանների մեջ է, Eq. (A-6) տեսքով է

A-7 հավասարումը

(A-6) և (A-7) հավասարումները գրեթե ինքնաբացատրվում են: Դրանք նշում են, որ բարդ փուլի կետը, որը ներկայացված է C փուլի ծայրով, մնում է անփոփոխ, եթե ֆազորը պտտենք 2p ռադիանի որոշ ինտեգրալ բազմապատիկի կամ 360 & աստիճանի ինտեգրալ բազմապատիկի: Այսպիսով, օրինակ, եթե C = Mej (20 & deg), ապա

A-8 հավասարումը

Փոփոխականի & oslash- ը, ֆազորի անկյունը A-2 նկարում, անհրաժեշտ չէ հաստատուն լինել: Մենք & # 39 հաճախ հանդիպում ենք բարդ սինուսոիդ պարունակող արտահայտությունների, որոնք ունենում են ձև

A-9 հավասարումը

Հավասարումը (A-9) ներկայացնում է M մեծության ֆազոր, որի անկյունը A-2 նկարում ժամանակի հետ գծային աճում է `յուրաքանչյուր վայրկյանում w ռադիանի արագությամբ: Եթե ​​w = 2p, Eq- ի նկարագրված ֆազորը: (A-9) - ը ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ պտտվում է վայրկյանում 2p radians & mdashone հեղափոխություն մեկ վայրկյանում & mdashand, և որ # 39-ականներին ինչու է w կոչվում radian հաճախականություն: Հաճախականության առումով, հավասար. (A-9) & # 39-րդ փուլը պտտվում է ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ ՝ վայրկյանում w = 2pf ռադիանով, որտեղ f - ցիկլային հաճախականությունն է վայրկյանում ցիկլերով (Հց): Եթե ​​ցիկլային հաճախականությունը f = 10 Հց է, ֆազորը վայրկյանում պտտվում է 20 p ռադիանի վրա: Նմանապես, արտահայտությունը

A-9 հավասարություն & # 39

ներկայացնում է M մեծության ֆազոր, որը պտտվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ ՝ բարդ ինքնաթիռի ծագման մասին վայրկյանում & ndashw ռադիանների բացասական շառավղային հաճախականությամբ:


Մաթեմատիկա (մաթեմատիկա)

Այցելեք մ.թ.ա. փոխանցման ուղեցույց - bctransferguide.ca - դասընթացի փոխանցման մասին տեղեկատվության համար:

Ուսանողները կզարգացնեն հանրահաշվի, գործառույթների և գծապատկերների հաշվարկային հմտությունները և հայեցակարգային ըմբռնումը, որոնք անհրաժեշտ են ավելի առաջադեմ մաթեմատիկական մտածողության մեջ: Նրանք կուսումնասիրեն հավասարումներ, անհավասարություններ, գծապատկերներ, ֆունկցիաներ, աջ անկյան եռանկյունաչափություն և խնդիրների լուծման ծրագրեր:

Նախապայման (ներ). E1 մակարդակ, ինչպես սահմանված է Մաթեմատիկայի այլընտրանքների աղյուսակում:

Ուսանողները կզարգացնեն հայեցակարգային ըմբռնման և հաշվարկման հմտություններ, որոնք ամուր հիմք կստեղծեն հաշվարկի ուսումնասիրության համար: Նրանք կուսումնասիրեն գործառույթները, դրանց գծապատկերները և խնդիրների լուծման դրանց կիրառությունները: Մասնավորապես, նրանք կուսումնասիրեն բազմանդամ, ռացիոնալ, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական և եռանկյունաչափական գործառույթները: Նրանք կզարգացնեն մաթեմատիկայի հասկացություններն ու լեզուն օգտագործելու և հասկանալու իրենց կարողությունը

Նախապայման (ներ). Մաթեմատիկայի այլընտրանքների աղյուսակում սահմանված մակարդակ C1

Ուսանողները կամփոփեն և կցուցադրեն տվյալները և եզրակացություններ կկատարեն համամասնությունների, միջոցների և ստանդարտ շեղումների վերաբերյալ մեկ և երկու բնակչության համար: Ուսանողները կամփոփեն և կցուցադրեն տվյալները, կգտնեն վստահության ընդմիջումներ և կկատարեն հիպոթեզի թեստեր համամասնությունների, միջոցների և ստանդարտ շեղումների համար ՝ մեծ և փոքր բնակչության մեկ և երկու բնակչության համար: Նրանք նաև կկատարեն ռեգրեսիայի վերլուծություն և կորոշեն հավանականությունները:

Նախապայման (ներ). Մաթեմատիկայի այլընտրանքների աղյուսակում սահմանված մակարդակ C1

Ուսանողները կուսումնասիրեն մաթեմատիկայի կառուցվածքն ու զարգացումը ոչ մաթեմատիկոսի տեսանկյունից: Նրանք կուսումնասիրեն պատմական նյութեր դասական մաթեմատիկական գաղափարների զարգացման, ինչպես նաև նորագույն մաթեմատիկայի էվոլյուցիայի և կառուցվածքի վերաբերյալ ՝ գնահատական ​​ստանալով պատմական և ժամանակակից մաթեմատիկական մտածողության: Սա մաթեմատիկայի հետախուզական դասընթաց է այն ուսանողների համար, ովքեր ունեն մաթեմատիկական նվազագույն ֆոն, և որոնց հիմնական հետաքրքրությունները գիտություններից դուրս են: Այս դասընթացը կարող է օգտագործվել Բակալավրի աստիճանի քանակական պահանջը մասնակիորեն կատարելու համար: Այն չի կարող օգտագործվել որպես մաթեմատիկայի հետագա դասընթացների նախապայման:

Նախապայման (ներ). E1 մակարդակ, ինչպես սահմանված է Մաթեմատիկայի այլընտրանքների աղյուսակում

Ուսանողները կուսումնասիրեն հանրահաշվական հասկացություններն ու մեթոդները `օգտագործելով դրանք ընդհանուր և բնապահպանական խնդիրների լուծման համար: Նրանք կուսումնասիրեն հիմնական երկրաչափությունը և եռանկյունաչափությունը, ինչպես նաև գործառույթները (բազմանդամ, ռացիոնալ, էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական):

Նախապայման (ներ). Մաթեմատիկայի այլընտրանքների աղյուսակում սահմանված E1 մակարդակ

Ուսանողները կսովորեն տարբերակել հանրահաշվական և տարրական տրանսցենդենտալ գործառույթները և կիրառել այս հմտությունները գրաֆիկայի, առավելագույնի և նվազագույնի, հարակից տեմպերի և ուղղագծային շարժման վրա: Նրանց կներկայացվեն պարամետրային կորերը և դրանց դիֆերենցիալ հաշիվը: Մաթեմատիկա 1130-ի համար կրեդիտ ունեցող ուսանողները կարող են չգնալ այս դասընթացը հետագա վարկի համար:

Նախապայման (ներ). A1 մակարդակ, ինչպես սահմանված է Մաթեմատիկայի այլընտրանքների աղյուսակում

Ուսանողները կուսումնասիրեն դիֆերենցիալ հաշվարկը և դրա կիրառությունները կենսաբանական գիտություններում: Մասնավորապես, դրանք կուսումնասիրեն հանրահաշվական և տարրական տրանսցենդենտալ ֆունկցիաների սահմաններն ու տարբերակումը `գծապատկերների և օպտիմիզացման կիրառմամբ: Ուսանողները MATH 1120- ի համար կրեդիտով կարող են չընդունել MATH 1130-ը հետագա կրեդիտի համար:

Նախապայման (ներ). Մաթեմատիկայի այլընտրանքների աղյուսակում սահմանված B1 մակարդակ

Ուսանողները կզարգանան մաթեմատիկական խնդիրներ լուծելու հմտություններ: Նրանք կուսումնասիրեն առաջարկային և քանակական չափման տրամաբանությունը և կկիրառեն այս գիտելիքները խնդիրների լուծման և տարրական բազմությունների տեսության համար, ներառյալ հարաբերություններն ու գործառույթները:

Նախապայման (ներ). Մաթեմատիկայի այլընտրանքների աղյուսակում սահմանված մակարդակ C1

Ուսանողները կուսումնասիրեն հանրահաշվական և տարրական տրանսցենդենտալ ֆունկցիաների տարբերակումը և կկիրառեն այս հմտությունները գրաֆիկայի, առավելագույնի և նվազագույնի հայտնաբերման և բիզնեսի, տնտեսագիտության և սոցիալական գիտությունների խնդիրների լուծման համար: Ուսանողները կուսումնասիրեն նաև առաջին և երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալներ

Նախապայման (ներ). B1 մակարդակ, ինչպես սահմանված է Մաթեմատիկայի այլընտրանքների աղյուսակում

Ուսանողները կլուծեն գծային հավասարումների համակարգեր և կուսումնասիրեն մատրիցների, որոշիչների, անշրջելիության, առանձնահատկությունների և յուրահատուկ վեկտորների հանրահաշիվը, գծային սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների (ODE- ների) անկյունագծայնությունը և համակարգերը: Նրանք կուսումնասիրեն Էվկլիդեսի տարածության երկրաչափությունը, կետային և խաչաձեւ արտադրանքները, բարդ թվերի թվաբանությունը, բարդ թվերի ցուցիչները և բարդ ինքնաթիռը: Ուսանողները կօգտագործեն համակարգչային հանրահաշվի համակարգ `մատրիցային հանրահաշվի խնդիրները լուծելու համար:

Նախապայման (ներ). Մաթեմատիկա 1120, մաթեմատիկա 1130 (C +), մաթեմատիկա 1140 (B-), մաթեմատիկա 1230 կամ մաթեմատիկա 1240

Ուսանողները կուսումնասիրեն թվաբանության, երկրաչափության և տվյալների վերլուծության տեսությունը և կիրառությունները (վիճակագրություն): Այս դասընթացը նախատեսված է տարրական դպրոցի ուսուցչի կարիերա պլանավորող ուսանողների համար:

Նախապայման (ներ). Մաթեմատիկայի այլընտրանքային աղյուսակում սահմանված E1 մակարդակ և 1100 կամ ավելի մակարդակի դասընթացների 9 կրեդիտ:

Ուսանողները կուսումնասիրեն տեսողական արվեստում օգտագործվող մաթեմատիկական սկզբունքները, մեթոդները և կառուցվածքները: Նրանք կուսումնասիրեն էվկլիդյան և ոչ էվկլիդեսյան երկրաչափությունը, համաչափությունը, հարթության մեջ թեքությունները, ֆրակտալային երկրաչափությունը և հեռանկարը: Նշում. Այս դասընթացը չի կարող օգտագործվել որպես մաթեմատիկայի հետագա դասընթացների նախապայման:

Նախապայման (ներ). Մաթեմատիկայի այլընտրանքների աղյուսակում սահմանված E1 մակարդակ:

Ուսանողները կսովորեն ինտեգրել հանրահաշվական և տարրական տրանսցենդենտալ գործառույթները և կիրառել այդ հմտությունները համապատասխան խնդիրների համար: Բացի այդ, նրանք կսովորեն հաշվարկի հիմնարար թեորեմը, պարամետրական կորերի, Թեյլորի բազմանդամները, հաջորդականություններն ու շարքերը և պարզ դիֆերենցիալ հավասարումները `

Ուսանողները կուսումնասիրեն ինտեգրալ հաշվարկը և դրա կիրառությունները կենսաբանական գիտություններում: Մասնավորապես, նրանք կուսումնասիրեն ինտեգրման տեխնիկան, ներառյալ մասերի և մասնակի ֆրակցիաների դիֆերենցիալ հավասարումները, ներառյալ գծային դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգերը և կենսաբանական գիտությունների մաթեմատիկական մոդելները:

Ուսանողները կուսումնասիրեն գծային հավասարումների համակարգեր, մատրիցներ, որոշիչներ, առանձնահատկությունների արժեքներ և յուրահատուկ վեկտորներ, կետային արտադրանքներ, խաչաձեւ արտադրանքներ, Գրամ-Շմիդտի գործընթացը, վեկտորի և սկալային կանխատեսումները, գծերն ու հարթությունները Էվկլիդյան տարածքում: Ուսանողները նաև կուսումնասիրեն վեկտորային տարածություններ, ներառյալ ընդհանուր վեկտորային տարածություններն ու ենթատարածությունները, գծային անկախությունը, ծածկույթի հավաքածուները, հիմքերը և գծային փոխակերպումները: Ուսանողները կգրեն պարզ ապացույցներ:

Նախապայման (ներ). Հետևյալներից մեկը. ՄԱԹ 1120 (Գ) կամ ՄԱԹ 1130 (Գ +) կամ ՄԱԹ 1140 (Բ-) կամ ՄԱԹ 1220 (Գ) կամ ՄԱԹ 1230 (Գ) կամ ՄԱԹ 1240 (Գ)

Ուսանողները կուսումնասիրեն ներածական հավանականությունն ու վիճակագրությունը `օգտագործելով հաշվարկի ֆոն: Նրանք կուսումնասիրեն հասկացություններ, ներառյալ պատահականությունը, հավանականությունը, հավանականության բաշխումը դիսկրետ և շարունակական պատահական փոփոխականների համար, նկարագրական վիճակագրությունը, բազմակողմանի բաշխումը, սպասման օրենքները, պատահական փոփոխականների գործառույթները, վիճակագրական եզրակացությունը և վարկածի ստուգումը: Ուսումնասիրված բաշխումները կներառեն երկանկյունային, նորմալ, երկրաչափական, հիպերերաչափական, էքսպոնենցիալ և Պուասոնի բաշխումներ:

Նախապայման (ներ). Մեկը. ՄԱԹ 1220, ՄԱԹ 1230, ՄԱԹ 1240

Ուսանողները կուսումնասիրեն երեք չափումների հաշիվը: Դրանք կուսումնասիրեն վեկտորները, գծերը, ինքնաթիռները, բալոնների և մակերևույթների վեկտորային գործառույթները, տարածության կորերը և շարժումը տարածության մեջ և մի քանի փոփոխականների ֆունկցիաների դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվը: Ուսանողները կուսումնասիրեն օպտիմալացում, ներառյալ Lagrange բազմապատկիչները: Նրանք կուսումնասիրեն ուղղանկյուն, բևեռ, գլանաձև և գնդաձեւ կոորդինատային համակարգեր: Ուսանողները կուսումնասիրեն կիրառական խնդիրները և համակարգչային հանրահաշվի համակարգի օգտագործումը:

Նախադրյալ (ներ). Մաթեմատիկա 1220 (C), մաթեմատիկա 1230 (C +), մաթեմատիկա 1240 (B-)

Ուսանողները կուսումնասիրեն այն հաշիվը, որի հիմքում ընկած է հաշիվը: Մասնավորապես, նրանք կուսումնասիրեն իրական թվերը, հաջորդականությունների սահմանները, գործառույթների սահմանները, շարունակականությունը և կսովորեն, թե ինչպես կառուցել ապացույցներ, որոնք ներառում են այդ հասկացությունները:

Նախապայման (ներ) ՝ ՄԱՏԹ 1220-ից, ՄԱԹԵ 1230 (C +), ՄԱՏԹ 1240 (Բ-) կամ ՄԱՏԹ 2232-ից

Ուսանողները կսովորեն վիճակագրական տեխնիկան և դրանց կիրառումը կյանքի գիտություններում: Դրանք կուսումնասիրեն նկարագրական վիճակագրությունը, տարրական հավանականությունը, հավանականության բաշխումը, մասնավորապես, երկիշխանությունը, նորմալը, տ և քառակուսի բաշխումը, վստահության միջակայքերը և վարկածի ստուգումը բնակչության միջոցների և համամասնությունների, ինչպես նաև բնակչության միջին և համամասնությունների տարբերությունների համար: Ուսանողները կուսումնասիրեն նաև գծային ռեգրեսիա և կի-քառակուսի լավության պիտանի թեստ: Մաթեմատիկա 2341-ի համար կրեդիտ ունեցող ուսանողները կարող են չընդունել ՄԱԹ 2335-ը հետագա կրեդիտի համար:

Ուսանողները կսովորեն վիճակագրական մեթոդներ և դրանց կիրառումը բիզնեսի և տնտեսագիտության ոլորտում: Նրանք կուսումնասիրեն նկարագրական վիճակագրությունը, տարրական հավանականությունը, պատահական փոփոխականները, ընտրանքի բաշխումը, գծային ռեգրեսիան, փոխկապակցվածությունը, գնահատումը և վարկածի ստուգումը: Նրանք նաև կսովորեն, թե ինչպես կիրառել վիճակագրական ծրագրակազմը նկարագրական և եզրակացության վիճակագրության վրա: Ուսումնասիրված բաշխումները կներառեն binominal, normal, t- և chi-square բաշխումներ: Ուսանողները, ովքեր ունեն MATH 2335- ի կրեդիտ, կարող են չընդունել MATH 2341` հետագա վարկի համար:

Նախապայման (ներ). Մաթեմատիկայի այլընտրանքային աղյուսակում սահմանված C1 մակարդակ և 1100 կամ ավելի մակարդակի դասընթացների 9 կրեդիտ:

Ուսանողները կուսումնասիրեն դիսկրետ մաթեմատիկայի հիմնական տեխնիկան, ներառյալ տրամաբանության, ձևական դատողությունների, ինդուկցիայի, ռեկուրսիայի, հաշվելու, ֆունկցիաների և հարաբերությունների մեթոդները, մոդուլային թվաբանությունը և կառուցվածքները, ինչպիսիք են գրաֆիկները և ծառերը:

Նախապայման (ներ) ՝ CPSC 1103 և հետևյալներից որևէ մեկը. ՄԱԹ 1120, ՄԱԹ 1130 կամ ՄԱԹ 1140

Գծային հավասարումների համակարգերը լուծելու համար ուսանողները կօգտագործեն տողերի կրճատում: Նրանք կուսումնասիրեն մատրիցի բազմապատկման, հակադարձման, տեղափոխման, որոշիչների, առանձնահատկությունների և յուրահատուկ վեկտորների և անկյունագծացման ալգորիթմները և այդ հմտությունները կկիրառեն գործնական խնդիրների համար: Նրանք կուսումնասիրեն էվկլիդեսյան տարածության երկրաչափությունը: Նրանք կուսումնասիրեն բարդ թվերի թվաբանությունը, ցուցիչները և լոգարիթմերը և կօգտագործեն դրանք ֆիզիկայի և ճարտարագիտության մեջ կիրառվող մի շարք կիրառական խնդիրներ լուծելու համար: Ուսանողները կօգտագործեն համակարգչային հանրահաշվի համակարգ ՝ մատրիցային հանրահաշվի խնդիրները լուծելու համար:

Ուսանողները կուսումնասիրեն բազմակողմանի և վեկտորի հաշվարկի սկզբունքները: Նրանք կուսումնասիրեն բևեռային, գլանաձև և գնդաձեւ կոորդինատային համակարգերի մակերեսները, մասնակի ածանցյալները, գրադիենտները և բազմաթիվ ինտեգրալները: Ուսանողները նաև կուսումնասիրեն վեկտորներով գնահատված ֆունկցիաների ածանցյալները, դիֆերենցիալ օպերատորները, գծերի ինտեգրալները և Գրինի թեորեմը, մակերեսային ինտեգրալները, ներառյալ տարաձայնությունների և Սթոքսի թեորեմները, պահպանողական դաշտերը և ներուժը ՝ շեշտը դնելով կիրառականության վրա:

Ուսանողները կսովորեն կիրառական մաթեմատիկայում օգտակար մի շարք մեթոդներ և մեթոդներ: Նրանք կուսումնասիրեն գամմա ֆունկցիան և հիպերբոլիկ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները: Ուսանողները կուսումնասիրեն հոսանքի սերիաների և Frobenius սերիայի մեթոդները սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման համար, ներառյալ մաթեմատիկական ֆիզիկայի ընտրված կարևոր դիֆերենցիալ հավասարումները: Ավելին, նրանք կուսումնասիրեն Ստուրմ-Լիուվիլի խնդիրները և օրթոգոնալ շարքերը: Տրվում է համառոտ ներածություն մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների և փոփոխականների տարանջատման մասին:

Ուսանողները կուսումնասիրեն և կիրականացնեն մաթեմատիկայի դասավանդման հետ կապված տեսություններ: Նրանք կվերանայեն և կուսումնասիրեն մաթեմատիկայի ներկա և անցյալի ուսուցման պրակտիկան: Նրանք կամբողջացնեն մի նախագիծ, որը ինտեգրում է տեսությունը գործնականի հետ և ստեղծում է գրավոր աշխատանքի պորտֆոլիո: Ուսանողներից կպահանջվի կիրառել տեսությունը այնպիսի գործողությունների միջոցով, ինչպիսիք են `մաթեմատիկայի դասավանդումը, դասարանում օժանդակելը կամ ուսումնական ծրագրերի նյութերը մշակելը:

Նախադրյալ (ներ). Մաթեմատիկա 2232 (C), MATH 2321 (C), MATH 2331 (C), MATH 2410 (C): Նշում. Խորհուրդ է տրվում EDUC 2220 (C):

Ուսանողները կմշակեն և կիրականացնեն MATLAB և Maple ծրագրեր ՝ մաթեմատիկայից և մաթեմատիկայի կիրառությունից խնդիրներ լուծելու համար: Դրանք կներկայացվեն LaTeX- ի միջոցով մաթեմատիկական բառերի մշակման: Ուսանողներից պահանջվում է ունենալ շարժական համակարգիչ, որը կարող է գործարկել ծրագրակազմ, ինչպես նշանակել է դասավանդողը:

Նախադրյալ (ներ). Բոլորը ՝ ա) CPSC 1103 և MATH 2321 (բ) MATH 1152 կամ 2232 և (գ) MATH 1115, 2315, 2335 կամ 2341

Ուսանողները կուսումնասիրեն մաթեմատիկայի հիմքում ընկած կառուցվածքը, ներառյալ մաթեմատիկական սիմվոլիկան, սահմանումների տեսության ներածությունը և տրամաբանությունը: Դրանք կզարգացնեն ապացուցման մեթոդների ըմբռնումը և մաթեմատիկայի կառուցվածքի գնահատումը:

Նախադրյալ (ներ) ՝ ՄԱԹ 2232 (Գ) և դրանցից մեկը ՝ ՄԱԹ 1220 (Գ), ՄԱԹ 1230 (C +) կամ ՄԱԹ 1240 (B-):

Ուսանողները կուսումնասիրեն խմբի տեսության հիմնարար հասկացություններն ու արդյունքները: Նրանք կուսումնասիրեն խմբեր և ենթախմբեր, Լագրանժի թեորեմ, հոմոմորֆիզմներ, նորմալ ենթախմբեր, գործոնային խմբեր, Կոշի թեորեմ և ուղիղ ապրանքներ:

Նախապայման (ներ). Երկուսն էլ (ա) ՄԱԹ 1220, ՄԱԹ 1230 (C +) կամ ՄԱԹ 1240 (B-) և (բ) ՄԱԹ 2232:

Ուսանողները կուսումնասիրեն բարդ թվեր, բարդ թվերի ֆունկցիաներ, վերլուծական ֆունկցիաներ, Կոշի-Ռիմանի հավասարումներ, տարրական ֆունկցիաներ, ուրվագծային ինտեգրում, Կոսի ինտեգրալ թեորեմ և բանաձև, վերլուծական ֆունկցիաների, բևեռների և մնացորդների շարքերի ներկայացում ՝ ֆիզիկայի և ճարտարագիտության կիրառմամբ:

Ուսանողները կուսումնասիրեն Էվկլիդեսի և այլ երկրաչափությունները և կկառուցեն երկրաչափական ապացույցներ և առարկաներ: Նրանք գործնական խնդիրների նկատմամբ կկիրառեն երկրաչափական հասկացությունները և հիմնավորումները:

Նախադրյալ (ներ). ՄԱԹ 2232 (C) և հետևյալներից որևէ մեկը. ՄԱԹ 1220 (C), 1230 (C +) կամ 1240 (B-)

Ուսանողներին կներկայացվի բազմակի ռեգրեսիայի վերլուծության ստանդարտ տեխնիկան: Նրանք կուսումնասիրեն պարզ ռեգրեսիան, ANOVA- ն, բազմակողմանի բաշխումը, մնացորդների և ընդհանուր գծային մոդելների վերլուծությունը և դրանց դերը հետազոտություններում:

Նախապայման (ներ). 15 կրեդիտ 1100 մակարդակի կամ ավելի բարձր մակարդակի դասընթացներից և դրանցից մեկը ՝ MATH 1115, MATH 2335, MATH 2341 կամ MATH 2315:

Ուսանողները կուսումնասիրեն վեկտորի գնահատված գործառույթների հաշիվը և վեկտորային դաշտերը: Նրանք կուսումնասիրեն վեկտորի գնահատված ֆունկցիաների ածանցյալները, շղթայի կանոնը, Jacobians և անշրջելիությունը, դիֆերենցիալ օպերատորները, գծերի ինտեգրալները և Գրինի թեորեմը, մակերեսային ինտեգրալները, ներառյալ տարաձայնությունները և Սթոքսի թեորեմները, ուղու անկախությունը և պահպանողական դաշտերն ու ներուժը:

Նախապայման (ներ) ՝ ՄԱԹ 2321 (C) և դրանցից մեկը ՝ MATH 2232 (C), MATH 1152 (C)

Ուսանողները կուսումնասիրեն լուծելու առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ, երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ ՝ հաստատուն գործակիցներով, Լապլասի կերպափոխություններ, գծային դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգեր և դիֆերենցիալ հավասարումների կիրառումներ: Ուսանողները կօգտագործեն նաև համակարգչային հանրահաշիվ համակարգ:

Նախադրյալ (ներ) ՝ [Մաթեմատիկա 2232 (C) կամ Մաթեմատիկա 1152 (C)] և [MATH 1220 (C) կամ MATH 1230 (C +) կամ MATH 1240 (B-)]

Ուսանողները կուսումնասիրեն ալիքի հավասարումը, ջերմային հավասարումը, Լապլասի հավասարումը և մաթեմատիկական ֆիզիկայի այլ դասական հավասարումներ: Նրանք կուսումնասիրեն բնորոշ կորերը, ջերմության և ալիքի հավասարումների լուծումները անվերջ, կիսաեզրափակիչ և վերջավոր գծի վրա, Ֆուրիեի շարքերը, Լապլասի փոխակերպումները և թվային լուծումները ՝ օգտագործելով վերջավոր տարբերություններ:

Ուսանողները կուսումնասիրեն մաթեմատիկայի պատմության ասպեկտները նրա ամենասկզբից `XIX դարի և քսաներորդ դարի աբստրակցիայի և խստության զարգացման միջոցով կոնկրետ խնդիրների լուծման գործում: Նրանք կքննարկեն և կվերլուծեն ինչպես գաղափարների աճը, այնպես էլ դրանց մշակման ենթատեքստը ՝ շեշտը դնելով միջնակարգ դպրոցում դասավանդվող մաթեմատիկայի և համալսարանական ուսման առաջին երկու տարիների վրա:

Նախադրյալ (ներ). ՄԱԹ 2232 (C) և դրանցից մեկը ՝ MATH 1220 (C), MATH 1230 (C +), MATH 1240 (B-)

Ուսանողները կուսումնասիրեն մաթեմատիկայի կրթության տեսություններն ու միտումները: They will survey significant historical, philosophical, psychological and societal factors influencing the development of mathematics education as a field of inquiry, and will critically examine and discuss current theories and research in mathematics instruction. They will investigate problem solving, reasoning and communication in mathematics.

Prerequisite(s): One of: MATH 2232 (C), MATH 2321 (C), MATH 2331 (C), MATH 2410 (C). Note: EDUC 2220 (C) is recommended.

Students will study the following topics: divisibility, properties of types of integer numbers, primes, congruences, Diophantine equations, primitive roots, and quadratic residues.

Prerequisite(s): Both (a) MATH 1220, MATH 1230 (C+) or MATH 1240 (B-), and (b) MATH 2232.

Students will study the fundamental concepts and results of point-set (general) topology. They will study sets, relations and functions, order, cardinality, Axiom of Choice, topological spaces, bases and subbases, continuity and homeomorphisms, metric spaces, countability and compactness.

Prerequisite(s): MATH 2232 (C) and MATH 2331 (C) and one of the following: MATH 1220 (C), 1230 (C+), or 1240 (B-)

Students will study mathematical modelling and data analysis for biological systems. They will focus on developing and analysing dynamic models of biological systems and processes. They will study the mathematics of population dynamics, models of metabolic processes, genomics and epidemiology.

Students will study the theory and practical application of numerical methods for approximating solutions of linear and nonlinear problems. They will study solutions to nonlinear equations, interpolation and splines, numerical differentiation and integration, solution of initial and boundary value problems, and error sources and analysis. Students are required to have a portable computer able to run software as designated by the instructor.

Students will study the formation, analysis, and interpretation of mathematical models drawn from the physical, biological, economic, and social sciences. They will study continuous and discrete, deterministic and stochastic models. Students will use techniques such as differential and difference equations, matrix analysis, optimization, simple stochastic processes, and numerical methods. NOTE: Students are required to have a portable computer able to run software as designated by the instructor.

Students will study a particular advanced topic in mathematics, depending upon student interest and faculty availability. Note: Students may take this course multiple times for further credit on different topics.

Prerequisite(s): MATH 2232 (C) and one of: MATH 1220 (C), MATH 1230 (C+), MATH 1240 (B-)

Students will complete a substantial research project under the supervision of an instructor. They will identify relevant sources of information, in the form of a literature search and review, and submit a final paper investigating a research question. Students will present their project and research results.


Quotable Mathematics

"√-1 is take for granted today. No serious mathematician would deny that it is a number. Yet it took centuries for √-1 to be officially admitted to the pantheon of numbers. For almost three centuries, it was controversial mathematicians didn't know what to make of it many of them worked with it successfully without admitting its existence. […] Primarily for cognitive reasons. Mathematicians simply could not make it fit their idea of what a number was supposed to be. A number was supposed to be a magnitude. √-1 is not a magnitude comparable to the magnitudes of real numbers. No tree can be √-1 units high. You cannot owe someone √-1 dollars. Numbers were supposed to be linearly ordered. √-1 is not linearly ordered with respect to other numbers." (George Lakoff & Rafael E Nuñez, "Where Mathematics Come From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being, 2000)

"From a formal perspective, much about complex numbers and arithmetic seems arbitrary. From a purely algebraic point of view, i arises as a solution to the equation x^2+1=0. There is nothing geometric about this - no complex plane at all. Yet in the complex plane, the i-axis is 90° from the x-axis. Why? Complex numbers in the complex plane add like vectors. Why? Complex numbers have a weird rule of multiplication […]" (George Lakoff & Rafael E Nuñez, "Where Mathematics Come From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being, 2000)

"[…] i is not a real number-not ordered anywhere relative to the real numbers! In other words, it does not even have the central property of ‘numbers’, indicating a magnitude that can be linearly compared to all other magnitudes. You can see why i has been called imaginary. It has almost none of the properties of the small natural numbers-not subitizability, not groupability, and not even relative magnitude. If i is to be a number, it is a number only by virtue of closure and the laws of arithmetic." (George Lakoff & Rafael E Nuñez, "Where Mathematics Come From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being, 2000)

"The complex plane is just the 90° rotation plane-the rotation plane with the structure imposed by the 90° Rotation metaphor added to it. Multiplication by i is "just" rotation by 90°. This is not arbitrary it makes sense. Multiplication by-1 is rotation by 180°. A rotation of 180° is the result of two 90° rotations. Since i times i is -1, it makes sense that multiplication by i should be a rotation by 90°, since two of them yield a rotation by 180°, which is multiplication by -1." (George Lakoff & Rafael E Nuñez, "Where Mathematics Come From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being, 2000)


DMCA- ի բողոք

Եթե ​​կարծում եք, որ կայքի միջոցով հասանելի բովանդակությունը (ինչպես սահմանված է մեր ofառայությունների մատուցման պայմաններում) խախտում է ձեր հեղինակային իրավունքներից մեկը կամ մի քանիսը, խնդրում ենք տեղեկացնել մեզ ՝ տրամադրելով գրավոր ծանուցում («Խախտման ծանուցում»), որը պարունակում է ստորև նկարագրված տեղեկատվությունը նշված ստորև նշված գործակալը: Եթե ​​Varsity Tutor– ները ձեռնարկեն գործողություններ ՝ ի պատասխան Խախտումների մասին ծանուցման, այն բարեխղճորեն փորձելու է կապ հաստատել այն կողմի հետ, որը հասանելի է դարձրել նման բովանդակություն ամենավերջին էլ.

Ձեր խախտման մասին ծանուցումը կարող է փոխանցվել բովանդակությունը հասանելի դարձած կողմին կամ երրորդ կողմերին, ինչպիսիք են ChillingEffects.org- ը:

Խնդրում ենք ձեզ տեղեկացնել, որ վնասի համար պատասխանատվություն եք կրելու (ներառյալ ծախսերը և փաստաբանի վարձավճարները), եթե նյութապես խեղաթյուրեք, որ արտադրանքը կամ գործունեությունը խախտում է ձեր հեղինակային իրավունքները: Այսպիսով, եթե համոզված չեք, որ Կայքում տեղադրված կամ դրա հետ կապված բովանդակությունը խախտում է ձեր հեղինակային իրավունքը, ապա պետք է նախ մտածեք, որ կապվեք փաստաբանի հետ:

Followանուցում ներկայացնելու համար հետևեք այս քայլերին.

Դուք պետք է ներառեք հետևյալը.

Հեղինակային իրավունքի սեփականատիրոջ կամ նրանց անունից հանդես գալու իրավասություն ունեցող անձի ֆիզիկական կամ էլեկտրոնային ստորագրություն Հեղինակային իրավունքի նույնականացումը, որը պնդում է, որ խախտվել է մանրամասներ ՝ թույլ տալու համար, որ Varsity Tutor- ները գտնեն և դրականորեն բացահայտեն այդ բովանդակությունը, օրինակ ՝ մեզ համար անհրաժեշտ է հղում դեպի կոնկրետ հարցի (ոչ միայն հարցի անվանումը), որը պարունակում է բովանդակություն և հարցի որ մասի նկարագրություն ՝ նկար, պատկեր հղում, տեքստ և այլն. ձեր բողոքը վերաբերում է ձեր անունին, հասցեին, հեռախոսի համարին և էլ. փոստի հասցեին և ձեր կողմից արված հայտարարությանը. ա) որ դուք բարեխղճորեն հավատում եք, որ ձեր հեղինակային իրավունքը խախտող բովանդակության օգտագործումը օրենքով կամ հեղինակային իրավունքի սեփականատիրոջ կամ այդպիսի սեփականատիրոջ գործակալի կողմից լիազորված չէ. բ) որ ձեր Խախտման ծանուցման մեջ պարունակվող ամբողջ տեղեկատվությունը ճշգրիտ է, և (գ) կեղծիքի ստացման տույժով, որ դուք կամ հեղինակային իրավունքի սեփականատերը կամ նրանց անունից գործելու իրավասություն ունեցող անձ:

Ուղարկեք ձեր բողոքը մեր նշանակված գործակալին ՝

Չարլզ Քոն Վարսիթի Թութորս ՍՊԸ
101 S. Hanley Rd, Suite 300
Սենթ Լուիս, MO 63105


Դիտեք տեսանյութը: Խառը թվի հասկացությունը: Խառը թվերի գումարումը և հանումը 5-րդ դասարան (Հոկտեմբեր 2021).