Հոդվածներ

4.2. Համարժեք կոտորակներ


Այս բաժնում մենք գործ ունենք a / b ձևի կոտորակների, թվերի կամ արտահայտությունների հետ:

Սահմանում ՝ կոտորակներ

Ձևի մի շարք

[ dfrac {a} {b} nonumber ]

որտեղ (a ) և (b ) թվեր են, կոչվում է a մաս, (A ) թիվը կոչվում է համարիչ կոտորակի, մինչդեռ (b ) թիվը կոչվում է հայտարար կոտորակի.

Այս բաժնի վերջի մոտ կտեսնենք, որ կոտորակի համարիչը և հայտարարը կարող են լինել հանրահաշվական արտահայտություններ, բայց այս պահի դրությամբ մենք մեր ուշադրությունը սահմանափակում ենք այն կոտորակներով, որոնց համարիչներն ու հայտարարները ամբողջ թիվ են: Կոտորակների ուսումնասիրությունը մենք սկսում ենք համարժեք կոտորակներ.

Համարժեք կոտորակներ

Երկու կոտորակ են համարժեք եթե դրանք ներկայացնում են նույն թվային արժեքը:

Բայց ինչպե՞ս կարող ենք իմանալ, որ երկու կոտորակ նույն թվն է ներկայացնում: Դե, մեկ տեխնիկան ներառում է մի քանի պարզ պատկերացում: Հաշվի առեք Նկար 4.1-ում ցույց տրված պատկերը, որտեղ ստվերավորված շրջանը ներկայացնում է նկարի ընդհանուր տարածքի 1/3-ը (երեք հավասար շրջաններից մեկը ստվերում է):

Նկար 4.2-ում մենք ստվերել ենք ամբողջ տարածաշրջանի 2/6-ը (վեց հավասար շրջաններից երկուսը ստվերում են):

Նկար 4.3-ում մենք ստվերել ենք ամբողջ տարածաշրջանի 4/12-ը (տասներկու հավասար տարածաշրջաններից չորսը ստվերում են):

Եկեք վերցնենք դիագրամները Նկար 4.1-ից, Նկար 4.2-ից և Նկար 4.3-ից և դրանք շարենք մեկի վրա, ինչպես ցույց է տրված Նկար 4.4-ում:

Նկար 4.4-ը բերում է հիմնավոր տեսողական ապացույցների, որ հետևյալ խմբակցությունները համարժեք են:

[ dfrac {1} {3} = dfrac {2} {6} = dfrac {4} {12} չհամարվող ]

Հիմնական դիտարկումներ

1. Եթե սկսենք 1/3 կոտորակից, ապա թե՛ համարիչը, թե՛ հայտարարը բազմապատկելով 2-ով, կստանանք հետևյալ արդյունքը:

[ սկիզբ {հարթեցված} dfrac {1} {3} = dfrac {1 cdot 2} {3 cdot 2} ~ & textcolor {red} { text {Բազմապատկիր համարիչը և հայտարարը 2-ով:} } = dfrac {2} {6} ~ & textcolor {red} { text {Պարզեցրեք համարիչը և հայտարարը:}} վերջ {հարթեցված} չհամարվող ]

Սա հենց նույնն է, ինչ տեղի է ունենում Նկար 4.1-ից 4.2-ով, որտեղ մենք կրկնապատկում ենք հասանելի տուփերի քանակը (3-ից հասնելով 6-ի) և կրկնապատկում ենք ստվերած տուփերի քանակը (1-ից ստվերածից անցնում ենք 2-ի ստվերածված):

2. Եթե սկսենք 1/3 կոտորակից, ապա թե՛ համարիչը, թե՛ հայտարարը բազմապատկենք 4-ով, կստանանք հետևյալ արդյունքը:

[ սկիզբ {հավասարեցված} = dfrac {1} {3} = dfrac {1 cdot 4} {3 cdot 4} ~ & textcolor {red} { text {Բազմապատկել համարիչը և հայտարարը 4-ով:} } = dfrac {4} {12} ~ & textcolor {red} { text {Պարզեցրեք համարիչը և հայտարարը:}} վերջ {հարթեցված} չհամարվող ]

Սա հենց նույնն է, ինչ տեղի է ունենում Նկար 4.1-ից 4.3-ով, երբ մենք բազմապատկում ենք հասանելի տուփերի քանակը 4-ով (3-ից հասնելով 12-ի առկա) և բազմապատկում ստվերավորված տուփերի քանակը 4-ով (1-ից ստվերում անցնում է 4-ի) ստվերում):

Վերոնշյալ քննարկումը դրդում է հետևյալ հիմնարար արդյունքին.

Համարժեք կոտորակների ստեղծում

Եթե ​​դուք սկսում եք կոտորակից, ապա բազմապատկեք թե՛ դրա համարիչը, թե՛ հայտարարը նույն թվով, ապա ստացված կոտորակը համարժեք է (ունի նույն թվային արժեքը) սկզբնական կոտորակին: Խորհրդանիշներում

[ dfrac {a} {b} = dfrac {a cdot x} {b cdot x} nonumber ]

Հակադարձելով վիճում են

Վերոհիշյալ փաստարկի հակադարձումը նույնպես ճիշտ է:

1. Եթե սկսենք 2/6 կոտորակից, ապա և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը բաժանենք 2-ի, կստանանք հետևյալ արդյունքը:

[ start {հարթեցված} dfrac {2} {6} = dfrac {2 div 2} {6 div 2} ~ & textcolor {red} { text {Բաժանել համարիչը և հայտարարը 2-ի վրա:}} = dfrac {1} {3} ~ & textcolor {red} { text {Պարզեցրեք համարիչը և հայտարարը:}} վերջ {հարթեցված} չհամարվող ]

Սա հենց նույնն է, ինչ տեղի է ունենում հետադարձ գծապատկերից 4.2-ից 4.1-ը, որտեղ մենք բաժանում ենք առկա տուփերի քանակը 2-ի վրա (անցնելով 6-ը հասանելիից 3-ի) և ստվերածված տուփերի քանակը բաժանում 2-ի (2-ից ստվերում անցնելով 1 ստվերավորված):

2. Եթե սկսենք 4/12 կոտորակից, ապա և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը բաժանենք 4-ի, կստանանք հետևյալ արդյունքը:

[ սկիզբը {հավասարեցված} դֆրակ {4} {12} = դֆրակ {4 div 4} {12 div 4} ~ & textcolor {կարմիր} { տեքստ {Բազմապատկել համարիչը և հայտարարը 4-ով:}} = dfrac {1} {3} ~ & textcolor {red} { text {Պարզեցրեք համարիչը և հայտարարը:}} վերջ {հարթեցված} չհամարվող ]

Սա հենց նույնն է, ինչ տեղի է ունենում հետադարձ գծապատկեր 4.3-ից 4.1-ից, երբ մենք բաժանում ենք առկա տուփերի քանակը 4-ի վրա (անցնելով 12-ից հասանելի 3-ը) և բաժանում ենք ստվերավորված տուփերի քանակը 4-ի (4-ից ստվերում անցնում է 1 ստվերավորված):

Վերոնշյալ քննարկումը դրդում է հետևյալ հիմնարար արդյունքին.

Համարժեք կոտորակների ստեղծում

Եթե ​​սկսում ես կոտորակով, ապա բաժանիր թե՛ դրա համարիչը, թե՛ հայտարարը նույն թվի վրա, ստացված կոտորակը համարժեք է (ունի նույն թվային արժեքը) սկզբնական կոտորակին: Խորհրդանիշներում

[ dfrac {a} {b} = dfrac {a div x} {b div x}. non number ]

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը

Մեզ մի քիչ ավելի շատ տերմինաբանություն է պետք:

Բաժանարար

Եթե ​​d և a բնական թվեր են, մենք ասում ենք, որ «d բաժանում է a» - ն, եթե և միայն այն դեպքում, երբ երբ a- ն բաժանվում է d- ի, մնացորդը զրո է: Այս դեպքում մենք ասում ենք, որ «d- ն ա-ի բաժանարար է»:

Օրինակ, երբ 36-ը բաժանվում է 4-ի, մնացածը զրո է: Այս դեպքում մենք ասում ենք, որ «4-ը 36-ի բաժանարար է»: Մյուս կողմից, երբ 25-ը բաժանվում է 4-ի, մնացածը զրո չէ: Այս դեպքում մենք ասում ենք, որ «4-ը 25-ի բաժանարար չէ»:

Մեծագույն ընդհանուր բաժանարար

Թող a և b լինեն բնական թվեր: A- ի և b- ի ընդհանուր բաժանարարներն այն բնական թվերն են, որոնք բաժանում են և a, և b: Ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը այս ընդհանուր բաժանարարներից ամենամեծն է:

Օրինակ 1

Գտեք 18-ի և 24-ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարին:

Լուծում

Նախ թվարկեք յուրաքանչյուր թվի բաժանարարները, յուրաքանչյուր համարը զրոյական մնացորդով բաժանող թվերը:

18-ի ՝ 1, 2, 3, 6, 9-ի և 18-ի բաժանարարներ

24-ի `1, 2, 3, 4, 6, 8, 12-ի և 24-ի բաժանարարներ

Ընդհանուր բաժանարարներն են.

Ընդհանուր բաժանարարներ ՝ 1, 2, 3 և 6

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը ընդհանուր բաժանարարներից ամենամեծն է: Այն է,

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը = 6:

Այսինքն `ամենամեծ թիվը, որը բաժանում է և 18-ը, և 24-ը` 6-ն է:

Exորավարժություններ

Գտեք 12-ի և 18-ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը:

Պատասխանել

6

Կոտորակի իջեցում ամենացածր պայմաններին

Նախ ՝ սահմանում:

Ամենացածր պայմանները

Ասում են, որ կոտորակ է իջեցվել է նվազագույն ժամկետների եթե թե՛ համարիչի, թե՛ հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 1 է:

Այսպիսով, օրինակ, 2/3-ը իջնում ​​է ամենացածր տերմինների, քանի որ 2-ի և 3-ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 1-ն է: Մյուս կողմից, 4/6-ը ոչ իջեցվել է նվազագույն տերմինների, քանի որ 4-ի և 6-ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 2-ն է:

Օրինակ 2

Նվազեցրեք 18/24 կոտորակը ամենացածր պայմաններին:

Լուծում

Լավ աշխատող տեխնիկան բաժանողն է թե համարիչը, թե հայտարարը `համարիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի: 1-ին օրինակում մենք տեսանք, որ 18-ի և 24-ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 6-ն է. Մենք բաժանում ենք և համարիչը և հայտարարը 6-ի վրա, որպեսզի ստանանք

[ start {հարթեցված} dfrac {18} {24} = dfrac {18 div 6} {24 div 6} ~ & textcolor {red} { text {Բաժանել համարիչը և հայտարարը 6-ի վրա:}} = dfrac {3} {4} ~ & textcolor {red} { text {Պարզեցրեք համարիչը և զառերը:}} վերջ {հարթեցված} ոչ համարակալված ]

Նկատի ունեցեք, որ 3-ի և 4-ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը այժմ 1-ն է: Այսպիսով, 3/4-ը իջնում ​​է ամենացածր տերմինների:

Կա երկրորդ եղանակ, որով մենք կարող ենք ցույց տալ համարիչի և հայտարարի բաժանումը 6-ի վրա: Նախ և՛ գործիչը, և՛ հայտարարը, գործակիցը հետևյալ կերպ.

[ start {հարթեցված} dfrac {18} {24} = dfrac {3 cdot 6} {4 cdot 6} ~ & textcolor {red} { text {Factor out a 6.}} end {հավասարեցված} ոչ թվով ]

Դրանից հետո դուք կարող եք ցույց տալ թե՛ համարիչի, թե՛ հայտարարի «բաժանումը» 6-ով ՝ «հատելով» կամ «չեղարկելով» համարիչը 6-ում `հայտարարի մեջ 6-ի համար, ինչպես հետևյալը.

[ սկիզբը {հավասարեցում} = dfrac {3 cdot չեղարկել {6}} {4 cdot չեղարկել {6}} ~ & textcolor {red} { text {Չեղարկել ընդհանուր գործոնը:}} = dfrac {3} {4} end {հարթեցված} ոչ համարանիշ ]

Նկատի ունեցեք, որ մենք ստանում ենք նույն համարժեք կոտորակը, իջեցված մինչև ամենացածր պայմանները, այն է ՝ 3/4:

Exորավարժություններ

Նվազեցրեք 12/18 կոտորակը ամենացածր պայմաններին:

Պատասխանել

2/3

Կարևոր կետ

2-րդ օրինակում մենք տեսանք, որ 6-ը երկուսն էլ ա էր բաժանարար և ա գործոն 18-ի բառերը բաժանարար և գործոն համարժեք են

Մենք օգտագործեցինք հետևյալ տեխնիկան 2-րդ օրինակի մեր երկրորդ լուծման մեջ:

Չեղարկման կանոն

Եթե ​​համարիչն ու հայտարարը որպես ապրանք եք արտահայտում, ապա կարող եք չեղյալ համարել ընդհանուր գործոնները համարիչից և հայտարարից: Արդյունքը կլինի համարժեք կոտորակ:

«Չեղարկման կանոնի» պատճառով ՝ կոտորակը նվազագույն տերմինների իջեցնելու ամենաարդյունավետ եղանակներից մեկը նախ գտնելն է թե՛ համարիչի, թե՛ հայտարարի հիմնական գործոնները, ապա չեղյալ համարել բոլոր ընդհանուր գործոնները:

Օրինակ 3

Նվազեցրեք 18/24 կոտորակը ամենացածր պայմաններին:

Լուծում

Օգտագործեք գործոնի ծառեր ՝ գործոնի համարիչն ու հայտարարը պարզեցնելու համար:

Հաշվիչը և հայտարարը փաստարկելուց հետո մենք չեղյալ ենք հայտարարում ընդհանուր գործոնները:

[ start {հարթեցված} dfrac {18} {24} = dfrac {2 cdot 3 cdot 3} {2 cdot 2 cdot 2 cdot 3} ~ & textcolor {կարմիր} { տեքստ { Պարզ գործոնի համարիչ և հայտարար:}} = dfrac { չեղարկել {2} cdot չեղարկել {3} cdot 3} { չեղարկել {2} cdot 2 cdot 2 cdot չեղարկել {3}} ~ & textcolor {red} { text {Չեղարկել ընդհանուր գործոնները:}} = dfrac {3} {2 cdot 2} ~ & textcolor {red} { text {Մնացած գործոններ:}} = dfrac {3} {4} ~ & textcolor {red} { text {Պարզեցրեք հայտարարը.}} վերջ {հավասարեցված} ոչ համարանիշ ]

Այսպիսով, 18/24 = 3/4:

Ercորավարժություններ ( PageIndex {1} )

28/35 կոտորակը իջեցնել նվազագույն պայմանների:

Պատասխանել

4/5

Օրինակ 4

28/42 կոտորակը իջեցնել նվազագույն պայմանների:

Լուծում

Օգտագործեք գործոնի ծառեր ՝ գործոնի համարիչն ու հայտարարը պարզեցնելու համար:

Այժմ մենք կարող ենք չեղարկել ընդհանուր գործոնները:

[ start {հարթեցված} dfrac {28} {42} = dfrac {2 cdot 2 cdot 7} {2 cdot 3 cdot 7} ~ & textcolor {red} { text {Պարզ գործոնի համարիչ և հայտարար:}} = dfrac { չեղարկել {2} cdot 2 cdot չեղարկել {7}} { չեղարկել {2} cdot 3 cdot չեղարկել {7}} ~ & textcolor {կարմիր } { text {Չեղարկել ընդհանուր գործոնները:}} = dfrac {2} {3} վերջ {հարթեցված} չհամարվող ]

Այսպիսով, 28/42 = 2/3:

Ercորավարժություններ

Նվազեցրեք 36/60 կոտորակը ամենացածր պայմաններին:

Պատասխանել

3/5

Կոտորակների կրճատում փոփոխականներով

Մենք օգտագործում ենք ճիշտ նույն տեխնիկան ՝ կրճատելու համար այն կոտորակները, որոնց համարիչներն ու հայտարարները պարունակում են փոփոխականներ:

Օրինակ 5

Կրճատել

[ dfrac {56x ^ 2y} {60xy ^ 2} ոչ թվով ]

մինչև ամենացածր տերմինները:

Լուծում

Օգտագործեք գործոնի ծառեր `համարիչի և հայտարարի գործակիցները գործոնավորելու համար:

Այժմ չեղյալ հայտարարեք ընդհանուր գործոնները:

[ start {հարթեցված} dfrac {56x ^ 2y} {60xy ^ 2} = dfrac {2 cdot 2 cdot 2 cdot 7 cdot x cdot x cdot y} {2 cdot 2 cdot 3 cdot 5 cdot x cdot y cdot y} ~ & textcolor {red} { text {Prime գործիչի համարիչ և հայտարար:}} = dfrac { չեղարկել {2} cdot չեղարկել {2 } cdot 2 cdot 7 cdot չեղարկել {x} cdot x cdot չեղարկել {y}} { չեղարկել {2} cdot չեղարկել {2} cdot 3 cdot 5 cdot չեղարկել {x } cdot y cdot չեղարկել {y}} ~ & textcolor {red} { text {Չեղարկել cmmon գործոնները:}} = dfrac {2 cdot 7 cdot x} {3 cdot 5 cdot y} ~ & textcolor {red} { text {Մնացած գործոններ:}} = dfrac {14x} {15y} ~ & textcolor {red} { text {Պարզեցրեք համարիչը և հայտարարը:}} վերջ { հավասարեցված} ոչ թվով ]

Այսպիսով, 56x2y / (60 սեքս2) = 14x / (15y):

Exորավարժություններ

Կրճատել

[ dfrac {25a ^ 3b} {40a ^ 2b ^ 3} non-number ]

Պատասխանել

[ dfrac {5a} {8b ^ 2} non-number ]

Խոսք մաթեմատիկական նշագրման մասին

Գոյություն ունեն մաթեմատիկական նշագրման երկու տեսակ. (1) մաթեմատիկական գծանշում և (2) մաթեմատիկական նշում:

Ներքին մաթեմատիկական նշում

Նշում 14x/(15յ) կոչվում է շարային մաթեմատիկական նշում, Երբ նույն արտահայտությունը կենտրոնացած է իր իսկ գծի վրա, ինչպես

[ dfrac {14x} {15y}, nonumber ]

նշման այս տեսակը կոչվում է ցուցադրվող մաթեմատիկական նշում:

Երբ ձեռքով խնդիր եք օգտագործում, օգտագործելով մատիտի և թղթի հաշվարկներ, նախընտրելի ձևաչափը ցուցադրվում է նշումով, ինչպես օրինակ `ցուցադրված նշումը, որն օգտագործվում է օրինակ 5-ում տրված արտահայտությունը պարզեցնելու համար: Այնուամենայնիվ, համակարգիչները և հաշվիչները պահանջում են, որ ձեր արտահայտությունները մուտքագրեք ներմաթեմատիկական նշում , Հետևաբար, չափազանց կարևոր է, որ դուք հավասարապես իրավասու լինեք կամ մաթեմատիկական նշագրման հետ `ցուցադրվող կամ ներդիր:

Ի դեպ, գործողությունների կարգը, երբ կիրառվում է 14x / (15y) տող արտահայտության վրա, պահանջում է, որ նախ կատարենք փակագծերի ներսում բազմապատկումը: Այդ դեպքում մենք պետք է կատարենք բազմապատկումներ և բաժանումներ, երբ դրանք պատահում են, երբ արտահայտության միջոցով շարժվում ենք ձախից աջ: Ահա թե ինչու 14x / (15y) խորքային նշումը համարժեք է ցուցադրվող նշմանը

[ dfrac {14x} {15y}. non number ]

Այնուամենայնիվ, 14x / 15y արտահայտությունը այլ գազան է: Փակագծեր չկան, ուստի մենք կատարում ենք բազմապատկում և բաժանում `արտահայտության միջոցով շարժվելով ձախից աջ: Այսպիսով, մենք նախ պետք է վերցնենք 14-ի և x- ի արտադրյալը, արդյունքը բաժանենք 15-ի, ապա բազմապատկենք y- ի վրա: Displayedուցադրված նշումներում այս արդյունքը համարժեք է

[ dfrac {14x} {15} cdot y, nonumber ]

որն այլ արդյունք է:

Որոշ ընթերցողներ կարող են զարմանալ, թե ինչու մենք չօգտագործեցինք (14x) / (15y) նշումը `օրինակ 5-ի լուծումը նկարագրելու համար: Ի վերջո, այս խորը նշումը նույնպես համարժեք է ցուցադրվող նշմանը:

[ dfrac {14x} {15y}. non number ]

Սակայն հարցն այն է, որ մենք դրա կարիքը չունենք, քանի որ գործողությունների կարգն արդեն պահանջում է, որ մենք վերցնենք 14-ի և x-ի արտադրյալը, նախքան 15-ը բաժանենք: Եթե ​​դա վնասում է ձեր գլուխը, իմացեք, որ միանգամայն ընդունելի է օգտագործել համարժեք նշումը (14x) / (15y) փոխարեն 14x / (15y): Երկուսն էլ ճիշտ են:

Համարժեք կոտորակներ ավելի բարձր տերմիններով

Երբեմն անհրաժեշտություն է առաջանում գտնել համարժեք կոտորակ ՝ այլ, ավելի մեծ հայտարարով:

Օրինակ 6

Արտահայտեք 3/5-ը ՝ որպես 20 հայտարար հայտարարող համարժեք կոտորակ:

Լուծում

Այստեղ բանալին հիշելն է, որ համարիչը և հայտարարը նույն թվով բազմապատկելով առաջանում է համարժեք կոտորակ: 20-ի հայտարարով համարժեք կոտորակ ստանալու համար մենք ստիպված կլինենք 3/5-ի համարիչը և հայտարարը բազմապատկել 4-ի վրա:

[ սկիզբ {հարթեցված} dfrac {3} {5} ~ & textcolor {կարմիր} { տեքստ {Բազմապատկել համարիչը և հայտարարը 4-ով:}} = dfrac {12} {20} ~ & textcolor {red} { text {Պարզեցրեք համարիչը և հայտարարը:}} վերջ {հարթեցված} ոչ համարանիշ ]

Հետեւաբար, 3/5-ը հավասար է 12/20-ի:

Exորավարժություններ

Արտահայտեք 2/3-ը ՝ 21 համարի ունեցող համարժեք կոտորակի:

Պատասխանել

14/21

Օրինակ 7

Արտահայտեք 8-ը որպես 5 հայտարար հայտարարող համարժեք կոտորակ:

Լուծում

Այստեղ առանցքայինը դա նշելն է

[ start {հարթեցված} 8 = dfrac {8} {1} ~ & textcolor {red} { text {Հասկացված հայտարարը 1.}} վերջ {հարթեցված} չհամարվող ]

5-ի հայտարարով համարժեք կոտորակ ստանալու համար մենք ստիպված կլինենք 8/1-ի համարիչը և հայտարարը բազմապատկել 5-ի վրա:

[ start {հավասարվել} = dfrac {8 cdot 5} {1 cdot 5} ~ & textcolor {red} { text {Բազմապատկել համարիչը և հայտարարը 5-ով:}} = dfrac {40} {5} ~ & textcolor {red} { text {Պարզեցրեք համարիչը և հայտարարը:}} վերջ {հարթեցված} ոչ համարանիշ ]

Հետեւաբար, 8-ը հավասար է 40/5-ի:

Exորավարժություններ

Արտահայտեք 5-ը ՝ 7 հայտարար հայտարարող համարժեք կոտորակի:

Պատասխանել

35/7

Օրինակ 8

Արտահայտեք 2/9-ը `18 հայտարար հայտարարող համարժեք կոտորակովա.

Լուծում

Ստանալ համարժեք կոտորակ ՝ 18 հայտարարովա, մենք ստիպված կլինենք 2/9-ի համարիչը և հայտարարը բազմապատկել 2-իա.

[ start {հավասարեցված} dfrac {2} {9} = dfrac {2 cdot 2a} {9 cdot 2a} ~ & textcolor {red} { text {Բազմապատկել համարիչը և հայտարարը} 2a- ով:} = dfrac {4a} {18a} ~ & textcolor {red} { text {Պարզեցրեք համարիչը և հայտարարը:}} վերջ {հարթեցված} չհամարվող ]

Հետեւաբար, 2/9-ը հավասար է 4-իա/(18ա), կամ դրան համարժեք, (4ա)/(18ա).

Exորավարժություններ

Արտահայտեք 3/8-ը որպես համարժեք կոտորակ, որն ունի 24 հայտարարա.

Պատասխանել

[ dfrac {9a} {24a} nonumber ]

Բացասական կոտորակներ

Մենք պետք է գործ ունենանք նաև կոտորակների հետ, որոնք բացասական են: Նախ եկեք քննարկենք բացասական նշանի տեղադրումը:

  • Դրականը, որը բաժանվում է բացասականով, բացասական է, ուստի

[ dfrac {3} {- 5} = - dfrac {3} {5}: non number ]

  • Բայց ճիշտ է նաև, որ դրականը բաժանված բացասականը բացասական է: Այսպիսով,

[ dfrac {−3} {5} = dfrac {−3} {5}. չհամարվող ]

Այս երկու դիտարկումները ենթադրում են, որ հետևյալ երեք կոտորակները հավասարազոր են (նույն թիվը).

[ dfrac {3} {- 5} = - dfrac {3} {5} = dfrac {-3} {5}: non number ]

Ուշադրություն դարձրեք, որ բացասական նշանի համար կա երեք հնարավոր տեղադրություն. (1) հայտարարը, (2) կոտորակի բարը կամ (3) համարիչը: Այս տեղաբաշխումներից որևէ մեկը համարժեք կոտորակ է առաջացնում:

Կոտորակներ և բացասական նշաններ

Թող ա և բ լինել ցանկացած ամբողջ թիվ: Հետևյալ երեք կոտորակները հավասարազոր են (նույն թիվը).

[ dfrac {a} {- b} = - dfrac {a} {b} = dfrac {-a} {b}. nonumber ]

Մաթեմատիկոսները նախընտրում են բացասական նշանը տեղադրել կամ համարիչում, կամ կոտորակի գծում: Նշանակում բացասական նշանի օգտագործումը հուսահատեցնում է:

Օրինակ 9

Կրճատել

[ dfrac {50x ^ 3} {- 75x ^ 5} չհամարվող ]

մինչև ամենացածր տերմինները:

Լուծում

Պարզ գործոնի համարիչը և հայտարարը և չեղյալ հայտարարել:

[ start {հարթեցված} dfrac {50x ^ 3} {- 75x ^ 5} & = dfrac {2 cdot 5 cdot 5 cdot x cdot x cdot x} {- 3 cdot 5 cdot 5 cdot x cdot x cdot x cdot x cdot x} & = dfrac {2 cdot չեղյալ {5} cdot չեղարկել {5} cdot չեղարկել {x} cdot չեղարկել {x} cdot cancel {x}} {- 3 cdot չեղարկել {5} cdot չեղարկել {5} cdot չեղարկել {x} cdot չեղարկել {x} cdot չեղարկել {x} cdot x cdot x} & = dfrac {2} {- 3 cdot x cdot x} & = dfrac {2} {- 3x ^ 2} վերջ {հարթեցված} չհամարվող ]

Այնուամենայնիվ, նախընտրելի է, որ հայտարարի մեջ բացասական նշաններ չլինեն, ուստի եկեք բացասական նշանը դնենք կոտորակային գծի վրա (համարիչը նույնպես կսազեր): Այսպիսով,

[ dfrac {50x ^ 3} {- 75x ^ 5} = - dfrac {2} {3x ^ 2} անթիվ ]

Մենք ունենք նաև հետևյալ արդյունքը.

Կոտորակներ և բացասական նշաններ

Թող (a ) և (b ) լինեն ցանկացած ամբողջ թվեր: Հետո,

[ dfrac {-a} {- b} = dfrac {a} {b}. non number ]

Օրինակ 10

Կրճատել

[ dfrac {-12xy ^ 2} {- 18x ^ 2y} չհամարվող ]

Լուծում

Ի տարբերություն 9-րդ օրինակի, ոմանք սիրում են նախ հոգ տանել պատասխանի նշանի մասին:

[ dfrac {-12xy ^ 2} {- 18x ^ 2y} = dfrac {12xy ^ 2} {18x ^ 2y} անթիվ ]

Այժմ մենք կարող ենք գործակից համարիչ և հայտարար նշանակել և չեղյալ համարել ընդհանուր գործոնները:

[ սկիզբ {հավասարեցված} & = dfrac {2 cdot 2 cdot 3 cdot x cdot y cdot y} {2 cdot 3 cdot 3 cdot x cdot x cdot y} & = dfrac { չեղարկել {2} cdot 2 չեղարկել {3} cdot չեղարկել {x} cdot y cdot չեղարկել {y}} { չեղարկել {2} cdot չեղարկել {3} cdot 3 cdot չեղարկել {x} cdot x cdot չեղարկել {y}} & = dfrac {2y} {3x} վերջ {հարթեցված} nonumber ]

Այսպիսով,

[ dfrac {-12xy ^ 2} {- 18x ^ 2y} = dfrac {2y} {3x}: non number ]

Exորավարժություններ

Կրճատել

[ dfrac {-21a ^ 2b ^ 3} {- 56a ^ 3b} չհամարվող ]

Պատասխանել

[ dfrac {3b ^ 2} {8a} nonumber ]

Exորավարժություններ

1-12 վարժություններում գտիր տրված թվերի GCD:

1. 72, 8

2. 76, 52

3. 52, 20

4. 56, 96

5. 36, 63

6. 63, 21

7. 72, 44

8. 10, 40

9. 16, 56

10. 54, 66

11. 84, 24

12. 75, 45


13-28 վարժություններում տրված կոտորակը իջեցրու ամենացածր տերմինների:

13. ( dfrac {22} {98} )

14. ( dfrac {28} {56} )

15. ( dfrac {93} {15} )

16. ( dfrac {90} {39} )

17. ( dfrac {69} {21} )

18. ( dfrac {74} {62} )

19. ( dfrac {74} {12} )

20. ( dfrac {66} {10} )

21. ( dfrac {66} {57} )

22. ( dfrac {34} {30} )

23. ( dfrac {33} {99} )

24. ( dfrac {20} {58} )

25. ( dfrac {69} {24} )

26. ( dfrac {18} {96} )

27. ( dfrac {46} {44} )

28. ( dfrac {92} {24} )


29. Արտահայտիր 3-ը ՝ 24 հայտարար հայտարար ունեցող համարժեք կոտորակի: 30. Արտահայտիր 3-ը ՝ հայտարար ՝ 8. համարժեք կոտորակի: 31. Արտահայտիր ( dfrac {25} {19} ) որպես 57% հայտարար հայտարարող համարժեք կոտորակ: 32. Արտահայտիր ( dfrac {29} {22} ) որպես 44-րդ հայտարար հայտարարող համարժեք կոտորակ. 33. Արտահայտել 2-ը `որպես հայտարար 2-ով համարժեք կոտորակ. 34. Արտահայտել 2-ը` որպես հայտարար `8-ով համարժեք կոտորակով: 35. Արտահայտել ( dfrac {18} {19} ) որպես 95% հայտարար ունեցող համարժեք կոտորակ. Արտահայտեք ( dfrac {17} {22} ) որպես 44% հայտարար ունեցող համարժեք կոտորակ. 37. Express ( dfrac {1} {3} ) որպես 24 համարի հայտարար ունեցող համարժեք կոտորակ. 38. Էքսպրես ( dfrac {15} {19} ) որպես 95% հայտարար հայտարարող համարժեք կոտորակ: 39. Արտահայտել 16-ը ՝ 4-րդ հայտարար հայտարարող համարժեք կոտորակի: Արտահայտեք 5-ը որպես 2-ը հայտարար հայտարարող համարժեք կոտորակ:


41-56 վարժություններում տրված կոտորակը իջեցրու նվազագույն տերմինների:

41. ( dfrac {34} {- 86} )

42. ( dfrac {−48} {14} )

43. ( dfrac {−72} {- 92} )

44. ( dfrac {27} {- 75} )

45. ( dfrac {−92} {82} )

46. ​​ ( dfrac {−44} {- 62} )

47. ( dfrac {−21} {33} )

48. ( dfrac {57} {- 99} )

49. ( dfrac {22} {- 98} )

50. ( dfrac {−33} {69} )

51. ( dfrac {42} {- 88} )

52. ( dfrac {−100} {48} )

53. ( dfrac {94} {- 6} )

54. ( dfrac {−36} {- 38} )

55. ( dfrac {10} {- 86} )

56. ( dfrac {−100} {- 46} )


57. Արտահայտեք ( dfrac {3} {2} ) որպես 62n հայտարար հայտարարող համարժեք կոտորակ:

58. Արտահայտեք ( dfrac {6} {25} ) որպես 50a հայտարար հայտարարող համարժեք կոտորակ:

59. Արտահայտեք ( dfrac {13} {10} ) որպես 60 մ հայտարար հայտարարող համարժեք կոտորակ:

60. Արտահայտեք ( dfrac {1} {16} ) որպես 80p հայտարար հայտարարող համարժեք կոտորակ:

61. Արտահայտեք ( dfrac {3} {2} ) որպես 50 ն հայտարար հայտարարող համարժեք կոտորակ:

62. Արտահայտեք ( dfrac {43} {38} ) որպես 76 ա հայտարարի համարժեք կոտորակ:

63. Արտահայտի՛ր 11-ը որպես համարժեք կոտորակ, որն ունի 4 մ հայտարար: 64. Արտահայտիր 13-ը որպես 6n հայտարար ունեցող համարժեք կոտորակ:

65. Արտահայտեք 3-ը որպես համարժեք կոտորակ, որն ունի 10 մ հայտարար:

66. Արտահայտիր 10-ը որպես 8 բ հայտարար հայտարարող համարժեք կոտորակ:

67. Արտահայտիր 6-ը որպես 5n հայտարար հայտարարող համարժեք կոտորակ:

68. Արտահայտիր 16-ը որպես համարժեք կոտորակ, որն ունի 2y հայտարար:


69-84 վարժություններում տրված կոտորակը իջեցրու ամենացածր տերմինների:

69. ( dfrac {82y ^ 5} {- 48y} )

70. ( dfrac {−40y ^ 5} {- 55y} )

71. ( dfrac {−77x ^ 5} {44x ^ 4} )

72. ( dfrac {−34x ^ 6} {- 80x} )

73. ( dfrac {−14y ^ 5} {54y ^ 2} )

74. ( dfrac {96y ^ 4} {- 40y ^ 2} )

75. ( dfrac {42x} {81x ^ 3} )

76. ( dfrac {26x ^ ​​2} {32x ^ 6} )

77. ( dfrac {−12x ^ 5} {14x ^ 6} )

78. ( dfrac {−28y ^ 4} {72y ^ 6} )

79. ( dfrac {−74x} {22x ^ 2} )

80. ( dfrac {56x ^ 2} {26x ^ ​​3} )

81. ( dfrac {−12y ^ 5} {98y ^ 6} )

82. ( dfrac {96x ^ 2} {14x ^ 4} )

83. ( dfrac {18x ^ 6} {- 54x ^ 2} )

84. ( dfrac {32x ^ 6} {62x ^ 2} )


85-100 վարժություններում տրված կոտորակը իջեցրու ամենացածր տերմինների:

85. ( dfrac {26y ^ 2x ^ 4} {- 62y ^ 6x ^ 2} )

86. ( dfrac {6x ^ 2y ^ 3} {40x ^ 3y ^ 2} )

87. ( dfrac {−2y ^ 6x ^ 4} {- 94y ^ 2x ^ 5} )

88. ( dfrac {90y ^ 6x ^ 3} {39y ^ 3x ^ 5} )

89. ( dfrac {30y ^ 5x ^ 5} {- 26yx ^ 4} )

90. ( dfrac {74x ^ 6y ^ 4} {- 52xy ^ 3} )

91. ( dfrac {36x ^ 3y ^ 2} {- 98x ^ 4y ^ 5} )

92. ( dfrac {84x ^ 3y} {16x ^ 4y ^ 2} )

93. ( dfrac {−8x ^ 6y ^ 3} {54x ^ 3y ^ 5} )

94. ( dfrac {70y ^ 5x ^ 2} {16y ^ 4x ^ 5} )

95. ( dfrac {34yx ^ 6} {- 58y ^ 5x ^ 4} )

96. ( dfrac {99y ^ 2x ^ 3} {88y ^ 6x} )

97. ( dfrac {−36y ^ 3x ^ 5} {51y ^ 2x} )

98. ( dfrac {44y ^ 5x ^ 5} {- 88y ^ 4x} )

99. ( dfrac {91y ^ 3x ^ 2} {- 28y ^ 5x ^ 5} )

100. ( dfrac {−76y ^ 2x} {- 57y ^ 5x ^ 6} )


101. Փոթորիկներ, Ազգային մթնոլորտային և օվկիանոսային վարչության տվյալների համաձայն, 2008 թ.-ին գրանցվել է 16 անուն փոթորիկ, որոնցից 8-ը վերածվել են փոթորիկների, իսկ 5-ը ՝ խոշոր:

թ) Անվանված փոթորիկների ո՞ր մասն է վերածվել փոթորիկների: Նվազեցրեք ձեր պատասխանը նվազագույն տերմինների:

ii) Անվանված փոթորիկների ո՞ր մասն էր խոշոր փոթորիկները: Նվազեցրեք ձեր պատասխանը նվազագույն տերմինների:

iii) Փոթորիկների ո՞ր մասն էր հիմնական: Նվազեցրեք ձեր պատասխանը նվազագույն տերմինների:

102. Վագրեր, Վագրերը ծայրաստիճան անկում են ապրում մարդկային ոտնձգությունների, իրենց բնակավայրի ավելի քան ինն տասներորդի կորստի և վագրերի մաշկի և մարմնի մասերի աճող առևտրի պատճառով: Associated Press-Times-Standard 01/24/10 Pressնշումը մեծանում է ՝ վագրը փրկելու համար:

թ) բնակության շրջանի կորուստը գրի՛ր որպես կոտորակ:

ii) Բառերով նկարագրիր, թե ինչ է ներկայացնում այս կոտորակի համարիչը և հայտարարը:

iii) Եթե կոտորակը ներկայացնում է ամբողջ սկզբնական բնակավայրի կորուստը, նախնական միջավայրի որքա՞ն մասն է մնում:


Պատասխանները

1. 8

3. 4

5. 9

7. 4

9. 8

11. 12

13. ( dfrac {11} {49} )

15. ( dfrac {31} {5} )

17. ( dfrac {23} {7} )

19. ( dfrac {37} {6} )

21. ( dfrac {22} {19} )

23. ( dfrac {1} {3} )

25. ( dfrac {23} {8} )

27. ( dfrac {23} {22} )

29. ( dfrac {72} {24} )

31. ( dfrac {75} {57} )

33. ( dfrac {4} {2} )

35. ( dfrac {90} {95} )

37. ( dfrac {8} {24} )

39. ( dfrac {64} {4} )

41. ( dfrac {−17} {43} )

43. ( dfrac {18} {23} )

45. ( dfrac {−46} {41} )

47. ( dfrac {- 7} {11} )

49. ( dfrac {−11} {49} )

51. ( dfrac {−21} {44} )

53. ( dfrac {−47} {3} )

55. ( dfrac {- 5} {43} )

57. ( dfrac {93 n} {62 n} )

59. ( dfrac {78 m} {60 m} )

61. ( dfrac {75 n} {50 n} )

63. ( dfrac {44 m} {4 m} )

65. ( dfrac {30 m} {10 m} )

67. ( dfrac {30 n} {5 n} )

69. ( dfrac {−41 y ^ 4} {24} )

71. ( dfrac {- 7x} {4} )

73. (- dfrac {7 y ^ 3} {27} )

75. ( dfrac {14} {27 x ^ 2} )

77. (- dfrac {6} {7x} )

79. (- dfrac {37} {11 x} )

81. (- dfrac {6} {49 y} )

83. (- dfrac {x ^ 4} {3} )

85. (- dfrac {13 x ^ 2} {31 y ^ 4} )

87. ( dfrac {y ^ 4} {47 x} )

89. (- dfrac {15 y ^ 4 x} {13} )

91. (- dfrac {18} {49xy ^ 3} )

93. (- dfrac {4 x ^ 3} {27 y ^ 2} )

95. (- dfrac {17 x ^ 2} {29 y ^ 4} )

97. (- dfrac {12yx ^ 4} {17} )

99. (- dfrac {13} {4y ^ 2x ^ 3} )

101.

թ) ( dfrac {1} {2} )

ii) ( dfrac {5} {16} )

iii) ( dfrac {5} {8} )


Դիտեք տեսանյութը: Համարժեք կոտորակների պատկերավորումը. Թվաբանություն. Քան ակադեմիա (Հոկտեմբեր 2021).