Հոդվածներ

5.9. Շեղման թեորեմ. Մաթեմատիկա


Ուսուցման նպատակները

  • Բացատրեք տարաձայնությունների թեորեմի իմաստը:
  • Վեկտորային դաշտի հոսքը հաշվարկելու համար օգտագործեք տարաձայնությունների թեորեմ:
  • Կիրառեք շեղման թեորեմը էլեկտրաստատիկ դաշտի վրա:

Մենք ուսումնասիրել ենք Հաշվի հիմնարար թեորեմի մի քանի վարկածներ ավելի բարձր չափսերով, որոնք դոմենի կողմնորոշված ​​սահմանի շուրջ ինտեգրալը կապում են կողմնորոշված ​​տիրույթի վրա այդ սուբյեկտի «ածանցյալի» հետ: Այս բաժնում մենք նշում ենք տարաձայնությունների թեորեմ, որը այս տեսակի վերջին թեորեմն է, որը մենք կուսումնասիրենք: Շեղման թեորեմը շատ կիրառություններ ունի ֆիզիկայում; մասնավորապես, շեղման թեորեմը օգտագործվում է մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների դաշտում `ջերմային հոսքի և զանգվածի պահպանման մոդելավորման հավասարումներ ստանալու համար: Մենք օգտագործում ենք թեորեմը հոսքի ինտեգրալները հաշվարկելու և այն էլեկտրաստատիկ դաշտերի վրա կիրառելու համար:

Թեորեմների ակնարկ

Տարաձայնության թեորեմը քննելուց առաջ օգտակար է սկսել մեր քննարկած Հաշվարկի հիմնարար թեորեմի տարբերակների ակնարկով.

  1. Հաշվի հիմնարար թեորեմ. [ Int_a ^ bf '(x) , dx = f (b) - f (a). ] Այս թեորեմը վերաբերում է ածանցյալի ինտեգրալին (f' ) գծի հատվածի վրա ( [a, b] ) (x ) - առանցքի երկայնքով ՝ սահմանի վրա գնահատված (f ) տարբերության:
  2. Գծային ինտեգրալների հիմնարար թեորեմ. [ Int_C vecs nabla f cdot d vecs r = f (P_1) - f (P_0), ], որտեղ (P_0 ) սկզբնական կետն է (C ) և (P_1 ) - ը (C ) - ի վերջնական կետն է: Գծային ինտեգրալների հիմնարար թեորեմը թույլ է տալիս, որ ուղին (C ) լինի ուղի հարթության կամ տարածության մեջ, այլ ոչ թե պարզապես (x ) - առանցքի գծային հատված: Եթե ​​գրադիենը մտածում ենք որպես ածանցյալ, ապա այս թեորեմը (C ) ճանապարհի վրա ( nabla f ) ածանցյալի ինտեգրալը կապում է (C ) սահմանում գնահատված (f ) տարբերության հետ: )
  3. Գրինի թեորեմը, շրջանառության ձևը. [ Iint_D (Q_x - P_y) , dA = int_C vecs F cdot d vecs r. ] Քանի որ (Q_x - P_y = text {curl} vecs F cdot mathbf { hat k} ) և curl- ը տեսակ ածանցյալ է, Գրինի թեորեմը կապում է ածանցյալ curl- ի ինտեգրալը ( vecs F ) հարթ տարածաշրջանի վրա (D ) և ( vecs F ) ինտեգրալի: ) (D ) սահմանի վրա:
  4. Գրինի թեորեմը, հոսքի ձևը. [ Iint_D (P_x + Q_y) , dA = int_C vecs F cdot vecs N , dS. ] Քանի որ (P_x + Q_y = text {div} vecs F ) և տարաձայնությունը սորտերի ածանցյալ է. Գրինի թեորեմի հոսքի ձևը կապում է ածանցյալ div ( vecs F ) պլանային շրջանի (D ) ամբողջի հետ ( vecs F ) ինտեգրալիի վրա (D ) սահմանը:
  5. Սթոքսի թեորեմը. [ Iint_S curl , vecs F cdot d vecs S = int_C vecs F cdot d vecs r. ] Եթե գանգուրը կարծում ենք որպես տեսակ ածանցյալ, ապա Stokes ' թեորեմը կապում է ածանցյալ ոլորման ( vecs F ) մակերեսի վրա (S ) (պարտադիր չէ, որ հարթ լինի) և (( vecs F )) ինտեգրալը (S ) սահմանի վրա:

Նշելով շեղման թեորեմը

Շեղման թեորեմը հետևում է այս մյուս թեորեմների ընդհանուր օրինակին: Եթե ​​տարաձայնությունը մտածում ենք որպես տեսակ ածանցյալ, ապա տարաձայնության թեորեմը կապում է ածանցյալ div ( vecs F ) ածանցյալի եռակի ինտեգրալիին ՝ պինդ սահմանի նկատմամբ ( vecs F ) հոսքի ինտեգրալին: , Ավելի կոնկրետ, շեղման թեորեմը վերաբերում է վեկտորային դաշտի հոսքի ինտեգրալին ( vecs F ) փակ մակերեսի վրա (S ) և ( vecs F ) տարաձայնության եռակի ինտեգրալին ՝ կցված ամուրի վրա (S )

Շեղման թեորեմ

Եկեք (S ) ըլլանք մաս-մաս, հարթ փակ մակերես, որը տարածում է ամուր (E ) տարածության մեջ: Ենթադրենք, որ (S ) ուղղված է դեպի դուրս, և թող ( vecs F ) վեկտորային դաշտ լինի շարունակական մասնակի ածանցյալներով ՝ (E ) պարունակող բաց տարածաշրջանի վրա (Նկար ( PageIndex {1} )) , Հետո

[ iiint_E տեքստ {div} vecs F , dV = iint_S vecs F cdot d vecs S. պիտակ {divtheorem} ]

Հիշեցնենք, որ Գրինի թեորեմի հոսքի ձևը ասում է, որ

[ iint_D text {div} vecs F , dA = int_C vecs F cdot vecs N , dS. ]

Հետևաբար, տարաձայնությունների թեորեմը Գրինի թեորեմի տարբերակն է մեկ բարձրագույն հարթությունում:

Շեղման թեորեմի ապացույցն այս տեքստի շրջանակներից դուրս է: Այնուամենայնիվ, մենք նայում ենք ոչ ֆորմալ ապացույցի, որը ընդհանուր պատկերացում է տալիս, թե ինչու է թեորեմը ճիշտ, բայց թեորեմը չի հաստատում ամբողջ խստությամբ: Այս բացատրությունը հետևում է ոչ պաշտոնական բացատրությանը, թե ինչու է Սթոքսի թեորեմը ճիշտ:

Ապացույց

Եկեք (B ) փոքր տուփ լինենք, որի կողմերը զուգահեռ են կոորդինատային հարթություններին (E ) (Նկար ( PageIndex {2a} )): Թող (B ) կենտրոնը ունենա կոորդինատներ ((x, y, z) ) և ենթադրենք, որ եզրերի երկարություններն են ( Delta x, , Delta y ) և ( Delta z ) , (Նկար ( PageIndex {1b} )): Տուփի վերևից դուրս եկող նորմալ վեկտորը ( mathbf { hat k} ) է, իսկ տուփի ներքևից դուրս եկող նորմալ վեկտորը ՝ (- mathbf { hat k} ): ( Vecs F = langle P, Q, R rangle ) կետի արտադրանքը ( mathbf { hat k} ) - ի հետ (R ) է և կետային արտադրանքը (- mathbf {) - ով: hat k} ) է (- R ): Տուփի վերեւի (և տուփի ներքեւի մասի) տարածքը ( Delta S ) ( Delta x Delta y ):

Տուփի վերևից հոսքը կարող է մոտավորվել ըստ (R ձախ (x, , y, , z + frac { Delta z} {2} աջ) , Delta x , Delta y ) (Նկար ( PageIndex {2c} )) և տուփի ներքևից հոսքը (- R ձախ (x, , y, , z - frac { Delta z } {2} աջ) , Դելտա x , Դելտա y ): Եթե ​​այս արժեքների տարբերությունը նշենք որպես ( Delta R ), ապա ուղղահայաց ուղղությամբ զուտ հոսքը կարող է մոտավորվել ( Delta R , Delta x , Delta y ) - ով: Այնուամենայնիվ,

[ Delta R , Delta x , Delta y = ձախ ( frac { Delta R} { Delta z} աջ) , Delta x , Delta y Delta z մոտավորապես ձախ ( frac { մասնակի R} { մասնակի z} աջ) , Delta V. nonumber ]

Հետեւաբար, ուղղահայաց ուղղությամբ զուտ հոսքը կարող է մոտավորվել ( ձախ ( frac { մասնակի R} { մասնակի z} աջ) Delta V ): Նմանապես, (x ) - ուղղությամբ զուտ հոսքը կարող է մոտավորվել ( ձախ ( frac { մասնակի P} { մասնակի x} աջ) , Delta V ) և զուտ հոսքի միջոցով (y ) - ուղղությունը կարող է մոտավորվել ըստ ( ձախ ( frac { մասնակի Q} { մասնակի y} աջ) , Դելտա V ): Հոսքերը բոլոր երեք ուղղություններով ավելացնելը տուփից դուրս ընդհանուր հոսքի մոտավորություն է տալիս.

[ text {Ընդհանուր հոսք} մոտավոր ձախ ( frac { մասնակի P} { մասնակի x} + frac { մասնակի Q} { մասնակի y} + frac { մասնակի R} { մասնակի z } աջ) Delta V = text {div} vecs F , Delta V. nonumber ]

Այս մոտավորությունը կամայականորեն մոտենում է ընդհանուր հոսքի արժեքին, քանի որ տուփի ծավալը զրոյի է հասնում:

( Text {div} vecs F , Delta V ) հանրագումարը (E ) մոտավոր բոլոր փոքր արկղերի վրա մոտավորապես ( iiint_E text {div} vecs F , dV ) , Մյուս կողմից, ( text {div} vecs F , Delta V ) հանրագումարը բոլոր փոքր տուփերի վրա մոտավոր (E ) - ը այս բոլոր տուփերի հոսքերի գումարն է: Stիշտ այնպես, ինչպես Սթոքսի թեորեմի ոչ ֆորմալ ապացույցում, այս հոսքերի ավելացումը բոլոր տուփերի վրա հանգեցնում է շատ տերմինների չեղարկման: Եթե ​​մոտավոր տուփը կիսում է դեմքը մեկ այլ մոտավոր տուփի հետ, ապա մեկ դեմքի հոսքը հոսքի բացասական է հարակից տուփի ընդհանուր դեմքի նկատմամբ: Այս երկու ինտեգրալները չեղյալ են հայտարարվում: Բոլոր հոսքերը գումարելիս գոյատևող հոսքի միակ ինտեգրալներն ընդամենը (E ) սահմանը մոտավոր դեմքերի վրայի ինտեգրալներն են: Քանի որ մոտավոր արկղերի ծավալները նեղանում են զրոյի, այս մոտավորությունը կամայականորեն մոտենում է հոսքին ավելի քան (S ):

( Տուփ )

Օրինակ ( PageIndex {1} ). Շեղման թեորեմի ստուգում

Հաստատեք տարաձայնության թեորեմը վեկտորային դաշտի համար ( vecs F = langle x - y, , x + z, , z - y rangle ) և մակերեսի (S ), որը բաղկացած է կոնից (x ^ 2) + y ^ 2 = z ^ 2, , 0 leq z leq 1 ), և կոնի շրջանաձեւ գագաթը (տե՛ս հետևյալ նկարը): Ենթադրենք, որ այս մակերեսը դրական կողմնորոշված ​​է:

Լուծում

Եկեք (E ) - ը լինի կոշտ կոն, որը կցված է (S ) - ով: Այս օրինակի թեորեմը ճշտելու համար մենք դա ցույց ենք տալիս

[ iiint_E տեքստ {div} vecs F , dV = iint_S vecs F cdot d vecs S nonumber ]

յուրաքանչյուր ինտեգրալը առանձին հաշվարկելով:

Եռակի ինտեգրալը հաշվարկելու համար նշենք, որ ( text {div} vecs F = P_x + Q_y + R_z = 2 ), ուստի եռակի ինտեգրալը

[ start {align *} iiint_E text {div} vecs F , dV & = 2 iiint_E dV [4pt] & = 2 , (Volume , of , E). վերջ {հարթեցնել *} ]

Circիշտ շրջանաձեւ կոնի ծավալը տալիս է ( pi r ^ 2 frac {h} {3} ): Այս դեպքում (h = r = 1 ): Հետեւաբար,

[ iiint_E տեքստ {div} vecs F , dV = 2 , (Volume , of , E) = frac {2 pi} {3}. nonumber ]

Հոսքի ինտեգրալը հաշվարկելու համար նախ նշեք, որ (S ) մասնակիորեն հարթ է. (S ) կարելի է գրել որպես հարթ մակերեսների միություն: Հետեւաբար, մենք հոսքի ինտեգրալը բաժանում ենք երկու մասի. Մեկ հոսքի ինտեգրալը կոնի շրջանաձեւ գագաթին և մեկ հոսքի ինտեգրալը կոնի մնացած մասում: Callանգահարեք շրջանաձեւ վերևը (S_1 ) և վերևի մասը (S_2 ): Մենք սկսում ենք հաշվարկելով հոսքը կոնի շրջանաձեւ վերին մասում: Ուշադրություն դարձրեք, որ (S_1 ) - ը պարամետրավորում ունի

[ vecs r (u, v) = langle u , cos v, , u , sin v, , 1 rangle, , 0 leq u leq 1, , 0 leq v leq 2 pi. nonumber ]

Դրանից հետո շոշափելի վեկտորներն են ՝ ( vecs t_u = langle cos v, , sin v, , 0 rangle ) և ( vecs t_v = langle -u , sin v, , u , cos v, 0 rangle ): Հետևաբար, հոսքի հոսքը (S_1 ) - ն է

[ start {align *} iint_ {S_1} vecs F cdot d vecs S & = int_0 ^ 1 int_0 ^ {2 pi} vecs F ( vecs r (u, v)) cdot ( vecs t_u անգամ vecs t_v) , dA [4pt] & = int_0 ^ 1 int_0 ^ {2 pi} langle u , cos v - u , sin v, , u , cos v + 1, , 1 - u , sin v rangle cdot langle 0,0, u rangle , dv , du [4pt] & = int_0 ^ 1 int_0 ^ {2 pi} u - u ^ 2 sin v , dv du [4pt] & = pi. վերջ {հարթեցնել *} ]

Այժմ մենք հաշվարկում ենք հոսքը ավելի քան (S_2 ): Այս մակերեսի պարամետրավորումն է

[ vecs r (u, v) = langle u , cos v, , u , sin v, , u rangle, , 0 leq u leq 1, , 0 leq v leq 2 pi. nonumber ]

Շոշափելի վեկտորներն են ( vecs t_u = langle cos v, , sin v, , 1 rangle ) և ( vecs t_v = langle -u , sin v, , u , cos v, 0 rangle ), այնպես որ խաչաձեւ արտադրանքն է

[ vecs t_u անգամ vecs t_v = langle - u , cos v, , -u , sin v, , u rangle. non number ]

Ուշադրություն դարձրեք, որ (x ) և (y ) բաղադրիչների բացասական նշաններն առաջացնում են կոնի բացասական (կամ ներսից) կողմնորոշում: Քանի որ մակերեսը դրական կողմնորոշված ​​է, հոսքի մեջ օգտագործում ենք վեկտոր ( vecs t_v անգամ vecs t_u = langle u , cos v, , u , sin v, , -u rangle ) անբաժանելի. Այդ դեպքում հոսքի հոսքը (S_2 ) է

[ start {align *} iint_ {S_2} vecs F cdot d vecs S & = int_0 ^ 1 int_0 ^ {2 pi} vecs F ( vecs r (u, v)) cdot ( vecs t_u անգամ vecs t_v) , dA [4pt] & = int_0 ^ 1 int_0 ^ {2 pi} langle u , cos v - u , sin v, , u , cos v + u, , u , - u sin v rangle cdot langle u , cos v, , u , sin v, , -u rangle , dv , du [4pt] & = int_0 ^ 1 int_0 ^ {2 pi} u ^ 2 cos ^ 2 v + 2u ^ 2 sin v - u ^ 2 , dv , du [4pt] & = - frac { pi} {3} end {align *} ]

Ընդհանուր հոսքը (S ) - ում `

[ iint_ {S} vecs F cdot d vecs S = iint_ {S_1} vecs F cdot d vecs S + iint_ {S_2} vecs F cdot d vecs S = frac { 2 pi} {3} = iiint_E տեքստ {div} vecs F , dV, nonumber ]

և այս օրինակի համար մենք ստուգել ենք տարաձայնությունների թեորեմը:

Ercորավարժություններ ( PageIndex {1} )

Հաստատեք տարաձայնության թեորեմը վեկտորային դաշտի համար ( vecs F (x, y, z) = langle x + y + z, , y, , 2x - y rangle ) և մակերեսի (S ) տրված գլան (x ^ 2 + y ^ 2 = 1, , 0 leq z leq 3 ) գումարած գլանի շրջանաձեւ վերևից և ներքևից: Ենթադրենք, որ (S ) դրական կողմնորոշված ​​է:

Ակնարկ

Հաշվարկել թե հոսքի ինտեգրալը, և թե եռակի ինտեգրալը տարաձայնության թեորեմի հետ և ստուգել, ​​որ դրանք հավասար են:

Պատասխանել

Երկու ինտեգրալները հավասար են (6 pi ):

Հիշենք, որ շարունակական դաշտի ( vecs F ) կետում տարաձայնությունը (P ) կետում դաշտի «արտահոսքի» չափումն է (P ) կետում: Եթե ​​ ( vecs F ) ներկայացնում է հեղուկի արագության դաշտը, ապա շեղումը կարելի է համարել որպես հեղուկի արտահոսող հեղուկի մեկ միավորի ծավալից պակաս հոսող հոսքի միավորի ծավալից պակաս: Շեղման թեորեմը հաստատում է այս մեկնաբանությունը: Դա տեսնելու համար թող (P ) կետ լինի և թող (B _ { tau} ) փոքր շառավղով գնդակ (r ) կենտրոնացված լինի (P ) - ում (Նկար ( PageIndex {3 } )): Եկեք (S _ { tau} ) լինենք (B _ { tau} ) սահմանային ոլորտը: Քանի որ շառավիղը փոքր է, և ( vecs F ) շարունակական է, ( text {div} vecs F (Q) մոտավոր text {div} vecs F (P) ) բոլոր մյուս կետերի համար ( Q ) գնդակի մեջ: Հետեւաբար, (S _ { tau} ) - ի միջև հոսքը կարող է մոտավոր գնահատվել ՝ օգտագործելով տարաձայնությունների թեորեմ.

Ercորավարժություններ ( PageIndex {2} )

Օգտագործեք տարաձայնությունների թեորեմ ՝ հոսքի ինտեգրալը [ iint_S vecs F cdot d vecs S, nonumber ] հաշվարկելու համար, որտեղ (S ) (0 leq x leq 2) տրված վանդակի սահմանն է, , 0 leq y leq 4, , 0 leq z leq 1 ) և ( vecs F = langle x ^ 2 + yz, , y - z, , 2x + 2y + 2z rangle ) (տե՛ս հետևյալ պատկերը)

Ակնարկ

Հաշվիր համապատասխան եռակի ինտեգրալը:

Պատասխանել

40

Օրինակ ( PageIndex {3} ). Կիրառելով Շեղման թեորեմը

Եկեք ( vecs v = left langle - frac {y} {z}, , frac {x} {z}, , 0 right rangle ) լինեն հեղուկի արագության դաշտը: Թող (C ) լինի (1 leq x leq 4, , 2 leq y leq 5, , 1 leq z leq 4 ) տրված պինդ խորանարդը, իսկ (S ) լինել այս խորանարդի սահմանը (տե՛ս հետևյալ նկարը): Գտեք հեղուկի հոսքի արագությունը (S ) - ով:

Լուծում

Հեղուկի հոսքի արագությունը (S ) - ով անցնում է ( iint_S vecs v cdot d vecs S ): Այս հոսքի ինտեգրալը հաշվարկելուց առաջ եկեք քննարկենք, թե որն է ինտեգրալի արժեքը: Հիմնվելով Նկար ( PageIndex {4} ) վրա ՝ մենք տեսնում ենք, որ եթե այս խորանարդը տեղադրենք հեղուկի մեջ (քանի դեռ խորանարդը չի պարունակում ծագումը), ապա հեղուկի մեջ խորանարդ մտնող հեղուկի արագությունը նույնն է խորանարդից դուրս եկող հեղուկի արագությունը: Դաշտը ռոտացիոն բնույթ ունի և տրված շրջանի համար զուգահեռ (xy ) - հարթությանը, որն ունի կենտրոն զ-Axis, այդ շրջանագծի երկայնքով վեկտորները բոլորը նույն չափի են: Այդպիսով մենք կարող ենք տեսնել, որ հոսքի արագությունը նույնն է խորանարդ մտնող և դուրս եկող: Խորանարդի հոսքը չեղյալ է հայտարարվում խորանարդից դուրս գալու հետևանքով, ուստի հեղուկի հոսքի արագությունը խորանարդի վրայով պետք է զրո լինի:

Այս ինտուիցիան ստուգելու համար մենք պետք է հաշվարկենք հոսքի ինտեգրալը: Հոսքի ինտեգրալը հաշվարկելիս ուղղակիորեն պահանջվում է հոսքի ինտեգրալը բաժանել վեց առանձին հոսքի ինտեգրալի ՝ մեկը խորանարդի յուրաքանչյուր դեմքի համար: Մենք նաև պետք է գտնենք շոշափելի վեկտորներ, հաշվարկենք դրանց խաչաձեւ արտադրանքը: Այնուամենայնիվ, օգտվելով տարաձայնությունների թեորեմից, այս հաշվարկը շատ ավելի արագ է ընթանում.

[ start {align *} iint_S vecs v cdot d vecs S & = iiint_C text {div} vecs v , dV [4pt]
& = iiint_C 0 , dV = 0. վերջ {հարթեցնել *} ]

Ուստի հոսքը զրոյական է, ինչպես սպասվում էր:

Ercորավարժություններ ( PageIndex {3} )

Եկեք ( vecs v = left langle frac {x} {z}, , frac {y} {z}, , 0 right rangle ) լինեն հեղուկի արագության դաշտը: Գտեք հեղուկի հոսքի արագությունը (S ) - ով:

Ակնարկ

Օգտագործեք տարաձայնությունների թեորեմ և հաշվարկեք եռակի ինտեգրալ

Պատասխանել

(9 , ln (16) )

Օրինակը ցույց է տալիս տարաձայնությունների թեորեմի ուշագրավ հետևանքը: Եկեք (S ) ըլլա մաս-մաս, հարթ փակ մակերես և թող ( vecs F ) լինի վեկտորային դաշտ, որը սահմանված է բաց տարածաշրջանի վրա, որը պարունակում է (S ) պարփակված մակերեսը: Եթե ​​ ( vecs F ) ունի (F = langle f (y, z), , g (x, z), , h (x, y) ձև) ձևը, ապա տարաձայնությունը ( vecs F ) զրո է: Տարաձայնության թեորեմով, ( vecs F ) - ի հոսքը (S ) - ով նույնպես զրո է: Սա որոշակի հոսքի ինտեգրալները աներևակայելիորեն հեշտ է հաշվարկել: Օրինակ ՝ ենթադրենք, որ մենք ուզում էինք հաշվարկել հոսքի ինտեգրալը ( iint_S vecs F cdot d vecs S ), որտեղ (S ) խորանարդ է և

[ vecs F = langle sin (y) , e ^ {yz}, , x ^ 2z ^ 2, , cos (xy) , e ^ { sin x} rangle. ]

Հոսքի ինտեգրալի ուղղակիորեն հաշվարկը դժվար կլինի, եթե չասենք անհնարին `օգտագործելով նախկինում ուսումնասիրած տեխնիկան: Առնվազն մենք պետք է հոսքի ինտեգրալը բաժանեինք վեց ինտեգրալի, մեկը խորանարդի յուրաքանչյուր դեմքի համար: Բայց, քանի որ այս դաշտի շեղումը զրո է, շեղման թեորեմը անմիջապես ցույց է տալիս, որ հոսքի ինտեգրալը զրո է:

Այժմ մենք կարող ենք օգտագործել տարաձայնության թեորեմը `արդարացնելու համար տարաձայնության ֆիզիկական մեկնաբանությունը, որը մենք ավելի վաղ քննարկեցինք: Հիշեցնենք, որ եթե ( vecs F ) շարունակական եռաչափ վեկտորային դաշտ է, և (P ) կետ է ( vecs F ) տիրույթում, ապա ( vecs F ) տիրույթի տարաձայնությունը at (P ) - ը ( vecs F ) - ի «արտահոսքի» չափումն է ՝ ((P )): Եթե ​​ ( vecs F ) ներկայացնում է հեղուկի արագության դաշտը, ապա ( vecs F ) - ի տարաձայնությունը (P ) - ում զուտ հոսքի արագության չափում է կետից դուրս (P ) ( հեղուկի հոսքը (P ) - ից պակաս հեղուկի հոսքը դեպի (P )): Տեսնելու համար, թե ինչպես է տարաձայնության թեորեմն արդարացնում այս մեկնաբանությունը, թող (B _ { tau} ) շատ փոքր շառավղով գնդիկ լինի ռ կենտրոնով (P ) և ենթադրել, որ (B _ { tau} ) գտնվում է ( vecs F ) տիրույթում: Ավելին, ենթադրենք, որ (B _ { tau} ) ունի դրական, արտաքին կողմնորոշում: Քանի որ (B _ { tau} ) շառավիղը փոքր է, և ( vecs F ) շարունակական է, ( vecs F ) շեղումը մոտավորապես հաստատուն է (B _ { tau} ) - ի վրա: Այսինքն, ifv (P ') ցանկացած կետ է (B _ { tau} ) - ում, ապա ( text {div} vecs F (P) մոտավոր text {div} vecs F (P ') ): Եկեք (S _ { tau} ) նշենք (B _ { tau} ) - ի սահմանագիծը: Մենք կարող ենք մոտավորապես հոսքը հոսել (S _ { tau} ) - ի միջև `օգտագործելով տարաձայնությունների թեորեմը հետևյալ կերպ.

[ start {align *} iint_ {S _ { tau}} vecs F cdot d vecs S & = iiint_ {B _ { tau}} text {div} vecs F , dV [4pt]
& մոտ iiint_ {B _ { tau}} տեքստ {div} vecs F (P) , dV [4pt]
& = text {div} vecs F (P) , V (B _ { tau}): վերջ {հարթեցնել *} ]

Երբ շառավղը (r ) փոքրացնում ենք զրոյի սահմանի միջոցով, ( text {div} vecs F (P) , V (B _ { tau}) ) քանակը կամայականորեն մոտենում է հոսքին: Հետեւաբար,

[ text {div} vecs F (P) = lim _ { tau rightarrow 0} frac {1} {V (B _ { tau})} iint_ {S _ { tau}} vecs F cdot d vecs S ]

և մենք կարող ենք շեղումը համարել (P ) - ով `որպես արտաքին հոսքի զուտ տեմպի չափը միավորի ծավալի համար` (P ): Քանի որ «արտահոսքը» ոչ պաշտոնական տերմին է արտաքին հոսքի զուտ տոկոսադրույքի համար ՝ մեկ միավորի ծավալով, մենք արդարացրել ենք տարաձայնությունների ֆիզիկական մեկնաբանությունը, որը քննարկեցինք ավելի վաղ և օգտագործեցինք տարաձայնությունների թեորեմ ՝ այս հիմնավորումը տալու համար:

Դիմում էլեկտրաստատիկ դաշտերին

Շեղման թեորեմը բազմաթիվ կիրառություններ ունի ֆիզիկայի և ճարտարագիտության մեջ: Այն թույլ է տալիս մեզ գրել շատ ֆիզիկական օրենքներ և՛ ինտեգրալ, և՛ դիֆերենցիալ ձևով (մոտավորապես այնպես, ինչպես Սթոքսի թեորեմը մեզ թույլ տվեց թարգմանել Ֆարադեյի օրենքի ինտեգրալ և դիֆերենցիալ ձևերի միջև): Ուսումնասիրության այնպիսի ոլորտներ, ինչպիսիք են հեղուկի դինամիկան, էլեկտրամագնիսականությունը և քվանտային մեխանիկան, ունեն հավասարումներ, որոնք նկարագրում են զանգվածի, իմպուլսի կամ էներգիայի պահպանումը, և տարաձայնությունների թեորեմը թույլ է տալիս մեզ տալ այդ հավասարումները ինչպես ինտեգրալ, այնպես էլ դիֆերենցիալ ձևերով:

Շեղման թեորեմի ամենատարածված կիրառումներից է էլեկտրաստատիկ դաշտեր, Այս առարկայի կարևոր արդյունքն է Գաուսի օրենքը, Այս օրենքը նշում է, որ եթե (S ) էլեկտրաստատիկ դաշտում փակ մակերես է ( վեկտորներ E ), ապա ( վեկտորներ E ) - ի հոսքը (S ) - ի միջակայքում ընդգրկված ընդհանուր լիցքն է ( S ) (բաժանված էլեկտրական հաստատունով): Այժմ մենք օգտագործում ենք տարաձայնությունների թեորեմը ՝ արդարացնելու համար այս օրենքի հատուկ դեպքը, երբ էլեկտրաստատիկ դաշտը առաջանում է ստացիոնար կետային լիցքով:

Եթե ​​ ((x, y, z) ) տարածության կետ է, ապա կետից մինչև սկզբնավորությունը հեռավորությունն է (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} ): Եկեք ( vecs F _ { tau} ) նշենք ճառագայթային վեկտորի դաշտը ( vecs F _ { tau} = dfrac {1} { tau ^ 2} ձախ langle dfrac {x} { tau} , , dfrac {y} { tau}, , dfrac {z} { tau} right rangle ). Վեկտորը տվյալ դիրքում տարածության կետերում միավորի ճառագայթային վեկտորի ուղղությամբ ( ձախ langle dfrac {x} { tau}, , dfrac {y} { tau}, , dfrac {z} { tau} աջ rangle ) և մասշտաբավորվում է ըստ քանակի ( 1 / tau ^ 2 ): Հետևաբար, վեկտորի մեծությունը տվյալ կետում հակադարձ համեմատական ​​է ծագումից վեկտորի հեռավորության քառակուսիին: Ենթադրենք, որ մենք ունենք վակուումում գոյություն ունեցող (q ) կուլոնների ստացիոնար լիցք: Լիցքը առաջացնում է էլեկտրաստատիկ դաշտ ( վեկտորներ E ) տրված

[ vecs E = dfrac {q} {4 pi epsilon_0} vecs F _ { tau}, ]

որտեղ ( epsilon_0 = 8.854 անգամ 10 ^ {- 12} ) ֆարադ (F) / մ մոտավորությունը էլեկտրական հաստատուն է: (Անընդհատ ( epsilon_0 ) - վակուումում էլեկտրական դաշտ ձևավորելու ժամանակ առաջացած դիմադրության չափիչ է): Ուշադրություն դարձրեք, որ ( vecs E ) - ը ճառագայթային վեկտորի դաշտ է, որը նման է [հղումը] նկարագրված գրավիտացիոն դաշտին: , Տարբերությունն այն է, որ այս դաշտը ցույց է տալիս դեպի դուրս, իսկ գրավիտացիոն դաշտը ՝ դեպի ներս: Որովհետեւ

[ vecs E = dfrac {q} {4 pi epsilon_0} vecs F _ { tau} = dfrac {q} {4 pi epsilon_0} ձախ ( dfrac {1} { tau ^ 2} ձախ langle dfrac {x} { tau}, , dfrac {y} { tau}, , dfrac {z} { tau} աջ rangle աջ), ]

մենք ասում ենք, որ էլեկտրաստատիկ դաշտերը ենթարկվում են հակադարձ քառակուսի օրենքի: Այսինքն ՝ տվյալ կետում էլեկտրաստատիկ ուժը հակադարձ համեմատական ​​է լիցքի աղբյուրից հեռավորության քառակուսիին (որն այս դեպքում ծագում է): Հաշվի առնելով այս վեկտորային դաշտը, մենք ցույց ենք տալիս, որ փակ մակերևույթի հոսքը զրո է, եթե լիցքը դուրս է (S ) - ից, և որ հոսքը (q / epsilon_0 ) է, եթե լիցքը ներսում է: (Ս ): Այլ կերպ ասած ՝ հոսքի հոսքը Ս մակերեսի ներսում գտնվող լիցքն է `բաժանված հաստատունով ( epsilon_0 ): Սա Գաուսի օրենքի հատուկ դեպք է, և այստեղ մենք օգտագործում ենք տարաձայնությունների թեորեմը `այս հատուկ դեպքն արդարացնելու համար:

Showույց տալու համար, որ (S ) հատման հոսքը մակերեսի ներսում լիցք է, որը բաժանված է հաստատուն ( epsilon_0 ), մեզ պետք են երկու միջանկյալ քայլեր: Սկզբից մենք ցույց ենք տալիս, որ ( vecs F _ { tau} ) տարաձայնությունը զրոյական է, ապա ցույց ենք տալիս, որ ( vecs F _ { tau} ) հոսքը ցանկացած հարթ մակերևույթի վրա (S ) կամ զրո կամ (4 pi ): Դրանից հետո մենք կարող ենք արդարացնել Գաուսի օրենքի այս հատուկ դեպքը:

Օրինակ ( PageIndex {4} ). (F _ { tau} ) - ի շեղումը զրո է

Ստուգեք, որ ( vecs F _ { tau} ) տարաձայնությունը զրո է, որտեղ սահմանված է ( vecs F _ { tau} ) (ծագումից հեռու):

Լուծում

Քանի որ ( tau = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} ), ստացողի կանոնը մեզ տալիս է

[ start {align *} dfrac { partial} { partial x} left ( dfrac {x} { tau ^ 3} right) & = dfrac { partial} { partial x} ձախ ( dfrac {x} {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {3/2}} աջ) [4pt]
& = dfrac {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {3/2} - x ձախ [ dfrac {3} {2} (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {1/2} 2x աջ]} {(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ 3} [4pt]
& = dfrac { tau ^ 3 -3x ^ 2 tau} { tau ^ 6} = dfrac { tau ^ 2 - 3x ^ 2} { tau ^ 5}: վերջ {հարթեցնել *} ]

Նմանապես,

[ dfrac { partial} { partial y} ձախ ( dfrac {y} { tau ^ 3} աջ) = dfrac { tau ^ 2 - 3y ^ 2} { tau ^ 5} և , dfrac { partial} { մասնակի z} ձախ ( dfrac {z} { tau ^ 3} աջ) = dfrac { tau ^ 2 - 3z ^ 2} { tau ^ 5 } չհամարվող ]

Հետեւաբար,

[ start {align *} text {div} vecs F _ { tau} & = dfrac { tau ^ 2 - 3x ^ 2} { tau ^ 5} + dfrac { tau ^ 2 - 3y ^ 2} { tau ^ 5} + dfrac { tau ^ 2 - 3z ^ 2} { tau ^ 5} [4pt]
& = dfrac {3 tau ^ 2 - 3 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)} { tau ^ 5} [4pt]
& = dfrac {3 tau ^ 2 - 3 tau ^ 2} { tau ^ 5} = 0. վերջ {հարթեցնել *} ]

Ուշադրություն դարձրեք, քանի որ ( vecs F _ { tau} ) տարաձայնությունը զրո է, և ( vecs E ) ( vecs F _ { tau} ) սանդղակավորվում է հաստատունով, էլեկտրաստատիկ դաշտի շեղումը ( vecs E ) նույնպես զրո է (բացառությամբ ծագման):

Հոսք սահուն մակերեսով

Եկեք (S ) լինենք կապակցված, մասամբ սահուն փակ մակերեսով և թող ( vecs F _ { tau} = dfrac {1} { tau ^ 2} ձախ langle dfrac {x} { tau} , , dfrac {y} { tau}, , dfrac {z} { tau} աջ rangle ): Հետո,

[ iint_S vecs F _ { tau} cdot d vecs S = սկիզբ {դեպքեր} 0, & տեքստ {եթե} S տեքստ {չի պարունակում ծագումը} 4 pi, & տեքստ {if} S տեքստը {պարունակում է ծագումը:} վերջ {դեպքեր} ]

Այլ կերպ ասած, այս թեորեմն ասում է, որ ( vecs F _ { tau} ) հոսքը ցանկացած մասամբ սահուն փակ մակերևույթի վրա (S ) կախված է միայն նրանից, թե արդյոք ծագումը գտնվում է (S ) - ի ներսում:

Ապացույց

Այս ապացույցի տրամաբանությունը հետևում է [հղման] տրամաբանությանը, միայն մենք ենք օգտագործում տարաձայնությունների թեորեմը, քան Գրինի թեորեմը:

Նախ ենթադրենք, որ (S ) չի պարունակում ծագումը: Այս դեպքում (S ) - ով կցված պինդը գտնվում է ( vecs F _ { tau} ) տիրույթում, և քանի որ ( vecs F _ { tau} ) տարաձայնությունը զրո է, մենք կարող է անմիջապես կիրառել տարաձայնությունների թեորեմը և պարզել, որ [ iint_S vecs F cdot d vecs S ] զրո է:

Հիմա ենթադրենք, որ (S ) իրոք ներառում է ծագումը: Հոսքը հաշվարկելու համար մենք չենք կարող պարզապես օգտագործել տարաձայնությունների թեորեմը, քանի որ դաշտը սկզբնաղբյուրով սահմանված չէ: Եկեք (S_a ) շառավղի գնդ լինի ա (S ) - ի ներսում կենտրոնացած է ծագման վրա: Ոլորտի արտաքին արտաքին վեկտորի դաշտը, գնդաձեւ կոորդինատներով, կազմում է

[ vecs t _ { phi} times vecs t _ { theta} = langle a ^ 2 cos theta , sin ^ 2 phi, , a ^ 2 sin theta , sin ^ 2 phi, , a ^ 2 sin phi , cos phi rangle ]

(տե՛ս [հղումը]): Հետևաբար, գնդի մակերևույթի վրա կետային արտադրանքը ( vecs F _ { tau} cdot vecs N ) (գնդաձեւ կոորդինատներում)

[ start {align *} vecs F _ { tau} cdot vecs N & = left langle dfrac { sin phi , cos theta} {a ^ 2}, , dfrac { sin phi , sin theta} {a ^ 2}, , dfrac { cos phi} {a ^ 2} right rangle cdot langle a ^ 2 cos theta , sin ^ 2 phi, a ^ 2 sin theta , sin ^ 2 phi, , a ^ 2 sin phi , cos phi rangle [4pt]
& = sin phi ( langle sin phi , cos theta, , sin phi , sin theta, , cos phi rangle cdot langle sin phi , cos theta, sin phi , sin theta, , cos phi rangle) [4pt]
& = sin phi. վերջ {հարթեցնել *} ]

( Vecs F _ { tau} ) հոսքը (S_a ) - ի միջով է

[ iint_ {S_a} vecs F _ { tau} cdot vecs N dS = int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ { pi} sin phi , d phi , d theta = 4 pi. ]

Հիմա հիշեք, որ մեզ հետաքրքրում է հոսքի հոսքը (S ), և պարտադիր չէ հոսքի հոսքը (S_a ): (S ) - ի միջև հոսքը հաշվարկելու համար թող ((E )) պինդ լինի մակերեսների միջեւ (S_a ) և (S ): Դրանից հետո (E ) - ի սահմանը բաղկացած է (S_a ) և (S ) -ներից: Նշեք այս սահմանը (S - S_a ) - ով ՝ նշելու համար, որ (S ) ուղղված է դեպի դուրս, բայց հիմա (S_a ) ուղղված է դեպի ներս: Մենք կցանկանայինք շեղման թեորեմը կիրառել պինդ (E ) - ի վրա: Ուշադրություն դարձրեք, որ տարաձայնության թեորեմը, ինչպես նշվեց, չի կարող կարգավորել այնպիսի պինդ տեսակ, ինչպիսին է (E ), քանի որ (E ) ունի անցք: Այնուամենայնիվ, տարաձայնությունների թեորեմը կարող է ընդլայնվել ՝ անցքերը պինդ մարմիններով անցքերով մշակելու համար, ճիշտ այնպես, ինչպես Գրինի թեորեմը կարող է տարածվել ՝ անցքեր ունեցող շրջանները կարգավորելու համար: Սա թույլ է տալիս մեզ օգտագործել տարաձայնությունների թեորեմը հետևյալ ձևով. Շեղման թեորեմով

[ start {align *} iint_ {S-S_a} vecs F _ { tau} cdot d vecs S & = iint_S vecs F _ { tau} cdot d vecs S - iint_ {S_a } vecs F _ { tau} cdot d vecs S [4pt]
& = iiint_E տեքստ {div} vecs F _ { tau} , dV [4pt]
& = iiint_E 0 , dV = 0. վերջ {հարթեցնել *} ]

Հետեւաբար,

[ iint_S vecs F _ { tau} cdot d vecs S = iint_ {S_a} vecs F _ { tau} cdot d vecs S = 4 pi, nonumber ]

և մենք ունենք մեր ցանկալի արդյունքը:

( Տուփ )

Այժմ մենք վերադառնում ենք սահուն մակերևույթի հոսքը հաշվարկելուն էլեկտրաստատիկ դաշտի համատեքստում ( vecs E = dfrac {q} {4 pi epsilon_0} vecs F _ { tau} ) կետային լիցքի կետում ծագում Եկեք (S ) լինենք մասամբ հարթ փակ մակերես, որն ընդգրկում է ծագումը: Հետո

[ start {align *} iint_S vecs E cdot d vecs S & = iint_S dfrac {q} {4 pi epsilon_0} vecs F _ { tau} cdot d vecs S [4pt]
& = dfrac {q} {4 pi epsilon_0} iint_S vecs F _ { tau} cdot d vecs S [4pt]
& = dfrac {q} { epsilon_0}: վերջ {հարթեցնել *} ]

Եթե ​​ (S ) չի ծագում ծագման մասին, ապա

[ iint_S vecs E cdot d vecs S = dfrac {q} {4 pi epsilon_0} iint_S vecs F _ { tau} cdot d vecs S = 0. non number ]

Հետևաբար, մենք արդարացրեցինք այն պնդումը, որը մենք նպատակադրեցինք արդարացնել. Փակ մակերևույթի հոսքը (S ) զրո է, եթե լիցքը դուրս է (S ) - ից, իսկ հոսքը ՝ (q / epsilon_0 ) եթե լիցքը գտնվում է (S ) - ի ներսում:

Այս վերլուծությունն աշխատում է միայն այն դեպքում, եթե ծագման վայրում կա մեկ կետային լիցք: Այս դեպքում Գաուսի օրենքը ասում է, որ ( vecs E ) - ի հոսքը (S ) - ով անցնում է (S ) - ով կցված ընդհանուր լիցքը: Գաուսի օրենքը կարող է տարածվել տարածության մեջ բազմաթիվ լիցքավորված պինդ մարմինների մշակման համար, ոչ միայն ծագման մեկ կետի լիցքի: Տրամաբանությունը նման է նախորդ վերլուծությանը, բայց այս տեքստի սահմաններից դուրս: Լիովին ընդհանուր առմամբ, Գաուսի օրենքը ասում է, որ եթե (S ) մասամբ հարթ փակ մակերես է և (Q ) (S ) - ի ներսում լիցքավորման ընդհանուր գումարն է, ապա ( վեկտորների E հոսքը) ) (S ) - ի վրայով գտնվում է (Q / epsilon_0 ):

Օրինակ ( PageIndex {5} ). Օգտագործելով Գաուսի օրենքը

Ենթադրենք, որ մենք տիեզերքում ունենք չորս անշարժ կետային լիցքեր, բոլորը 0.002 կուլոն (C) լիցքավորմամբ: Գանձումները տեղակայված են ((0,0,1), , (1,1,4), (-1,0,0) ) և ((- 2, -2,2) ) կետերում: , Եկեք ( vecs E ) նշենք այս կետային լիցքերով առաջացած էլեկտրաստատիկ դաշտը: Եթե ​​ (S ) շառավղի ոլորտը (2 ) կողմնորոշված ​​է դեպի դուրս և կենտրոնացած է ծագման վրա, ապա գտիր

[ iint_S vecs E cdot d vecs S. nonumber ]

Լուծում

Գաուսի օրենքի համաձայն, ( vecs E ) - ի հոսքը (S ) - ի սահմանում (S ) - ի ներսում գտնվող ընդհանուր լիցքն է բաժանված էլեկտրական հաստատունի: Քանի որ (S ) շառավիղ ունի (2 ), նկատեք, որ լիցքներից միայն երկուսն են (S ) - ի ներսում. Լիցքը (0,1,1) ) և լիցքը (( -1,0,0) ): Հետևաբար, (S ) - ի մեջ ներառված ընդհանուր գանձումը (0.004 ) է, իսկ Գաուսի օրենքով ՝

[ iint_S vecs E cdot d vecs S = dfrac {0.004} {8.854 անգամ 10 ^ {- 12}} մոտ 4.418 անգամ 10 ^ 9 , V - մ: չհամարվող ]

Exորավարժություններ ( PageIndex {4} )

Աշխատեք նախորդ օրինակի համար (S ) մակերեսի համար, որը 4 շառավղի ոլորտ է, որը կենտրոնացած է սկզբնամասում, ուղղված է դեպի դուրս:

Ակնարկ

Օգտագործեք Գաուսի օրենքը:

Պատասխանել

( մոտ 6,7777 անգամ 10 ^ 9 )

տարաձայնությունների թեորեմ
բարդ հոսքի ինտեգրալը ավելի հեշտ եռակի ինտեգրալի վերափոխելու համար օգտագործվող թեորեմ և հակառակը
Գաուսի օրենքը
եթե Ս մաս-մաս, հարթ փակ մակերես է վակուումում և (Q ) ընդհանուր ստացիոնար լիցքն է (S ) - ի ներսում, ապա էլեկտրաստատիկ դաշտի հոսքը ( վեկտորներ E ) ՝ անցնելով (S ) ՝ (Q / epsilon_0 )
հակադարձ քառակուսի օրենք
տվյալ կետում էլեկտրաստատիկ ուժը հակադարձ համեմատական ​​է լիցքի աղբյուրից հեռավորության քառակուսիին


Դիտեք տեսանյութը: Քննությունների մասին . Ինչպես եմ հանձնել (Հոկտեմբեր 2021).