Հոդվածներ

Թեյլորի ընդլայնում


Սերիայի հատուկ տեսակը, որը հայտնի է որպես Թեյլորի շարք, թույլ է տալիս մեզ արտահայտել ցանկացած մաթեմատիկական գործառույթ, իրական կամ բարդ, իր n ածանցյալների տեսանկյունից: Թեյլորի շարքը կարելի է անվանել նաև էներգիայի շարք, քանի որ յուրաքանչյուր տերմին (x ) - ի ուժ է ՝ բազմապատկած տարբեր հաստատունով

[f (x) = a_0x ^ 0 + a_1x ^ 1 + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + ... a_nx ^ n ]

(a_0, ; a_1, dots, a_n ) որոշվում են գործառույթների ածանցյալներով: Օրինակ (a_3 ) հաստատունը հիմնված է ֆունկցիայի երրորդ ածանցյալի վրա, (a_6 ) վեցերորդ ածանցյալի վրա կամ (f ^ {(6)} x ) և այլն:

Ակնհայտ է, որ ածանցյալների վերջավոր թվով գործառույթն ունենալու է վերջավոր թվով տերմիններ, ինչպես (f (x) = x ^ 4, ; f '(x) = 4x ^ 3, ; f "( x) = 12x ^ 2, ; զ "" (x) = 24x, ; f ^ {(4)} (x) = 24 ): Մյուս կողմից, անսահման տարբերվող գործառույթները, ինչպիսիք են ցուցիչ և եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, կարտահայտվեն որպես անսահման շարք, որոնց ֆունկցիան արտահայտելու ճշգրտությունը որոշվելու է օգտագործվող շարքի տերմինների քանակով:

Թեյլորի թեորեմի ապացույցը ներառում է Հաշվարկի հիմնարար թեորեմի և միջին արժեքի թեորեմի համադրություն, որտեղ մենք ինտեգրում ենք գործառույթ ՝ (f ^ {(n)} (x) ) ստանալու (f (x) ) Այս երկու թեորեմներն ասում են.

[ start {align} & text {F.T.C:} ; & int_ {a} ^ {x} f ^ {(n)} (x) cdot Delta x & = f ^ {(n-1)} (x) -f ^ {(n-1)} (a ) & տեքստ {MVT:} ; & int_ {a} ^ {x} f ^ {(n)} (x) cdot Delta x & = f ^ {(n)} (c) cdot (x-a). end {align} ]

Միջին արժեքի թեորեմի արագ վերանայումը մեզ ասում է, որ.

[ int_ {a} ^ {x} f '(x) cdot Delta x = f' (c) cdot (x-a). ]

.

Ուստի մենք գիտենք.

[f ^ {(n)} (գ) cdot (xa) = int_ {a} ^ {x} f ^ {(n)} (x) cdot Delta (x) = f ^ {(n -1)} (x) -f ^ {(n-1)} (ա) ]

կամ

[f ^ {(n)} (գ) cdot (x-a) = f ^ {(n-1)} (x) -f ^ {(n-1)} (ա): ]

Այժմ մենք կարող ենք մեկ անգամ ինտեգրել գործառույթը (f = f ^ {(n)} (x) ): Ձախ կողմը ինտեգրելը մեզ տալիս է.

[ int_ {a} ^ {x} f ^ {(n)} (գ) cdot (xa) cdot Դելտա x = f ^ {(n)} (գ) int_ {a} ^ {x } (xa) = f ^ {(n)} (գ) dfrac {(xa) ^ 2} {2}. ]

(f ^ {(n)} (x) ) պարզապես հաստատուն է և հավասար է (n ) - րդ ածանցյալին, որը գնահատվել է ինչ-որ պահի (c ), (a ) - ի և () x ):

Եվ ինտեգրելով ճիշտ կողմը.

[ start {align} int_ {a} ^ {x} f ^ {(n-1)} (x) cdot Delta x- int_ {a} ^ {x} f ^ {(n-1 )} (ա) cdot Դելտա x & = ձախ [f ^ {(n-2)} (x) -f ^ {(n-2)} (ա) աջ] -f ^ {(n- 1)} (ա) int_ {a} ^ {x} Դելտա x & տեքստ {($ f ^ {(n-1) հիշելը) (ա) $ հաստատուն է)} & = ձախ [f ^ {(n-2)} (x) -f ^ {(n-2)} (ա) աջ] -f ^ {(n-1)} (ա) (xa): end {align} ]

Երկու արդյունքների համատեղումը մեզ տալիս է.

[f ^ {(n)} (գ) dfrac {(xa) ^ 2} {2} = f ^ {(n-2)} (x) -f ^ {(n-1)} (ա) (xa): ]

Եթե ​​մենք մեկ անգամ ևս ինտեգրվենք, երրորդ անգամ, մենք հայտնվում ենք ձախ կողմում.

[ int_ {a} ^ {x} f ^ {(n)} (գ) dfrac {(xa) ^ 2} {2} cdot Դելտա x = f ^ {(n)} (գ) dfrac {(xa) ^ 3} {3 cdot 2 cdot 1} ; ; ; text {or} ; ; ; f ^ {(n)} (c) dfrac {(x-a) ^ 3} {3!}: ]

Աջ կողմում մենք ստանում ենք.

[ int_ {a} ^ {x} f ^ {(n-2)} (x) cdot Delta x - int_ {a} ^ {x} f ^ {(n-2)} (ա) cdot Delta x - int_ {a} ^ {x} f ^ {(n-1)} (a) (xa) cdot Delta x = ձախ [f ^ {(n-3)} (x) -f ^ {(n-3)} (ա) աջ] -f ^ {(n-2)} (ա) int_ {a} ^ {x} 1 cdot Delta x - f ^ {(n-1)} (ա) int_ {a} ^ {x} (xa) cdot Դելտա x ]

Երկու կողմերը համատեղելով.

[f ^ {(n)} (գ) dfrac {(xa) ^ 3} {3!} = ձախ [f ^ {(n-3)} (x) - f ^ {(n-3) } (ա) աջ] -f ^ {(n-2)} (ա) (xa) - f ^ {(n-1)} (ա) dfrac {(xa) ^ 2} {2}: ]

Այս ամբողջ զանգվածը չորրորդ անգամ ինտեգրելը, որտեղ մենք սկսեցինք (y = f ^ {(n)} (x) ) գործառույթը, տալիս է այնպես, ինչպես դուք արդեն գուշակել եք օրինաչափությունից.

[f ^ {(n)} (գ) dfrac {(xa) ^ 4} {4!} = ձախ [f ^ {(n-4)} (x) - f ^ {(n-4) } (a) right] -f ^ {(n-3)} (a) dfrac {(xa)} {1!} - f ^ {(n-2)} (a) dfrac {(xa) ^ 2} {2!} - f ^ {(n-1)} (ա) dfrac {(xa) ^ 3} {3!}: ]

Այժմ օրինակը պետք է պարզ լինի: Եթե ​​ (n ) միմյանց հաջորդող ժամանակներ ինտեգրվենք ՝ ի վերջո գտնելու համար (f (x) ), մենք կհայտնվենք ուշագրավ եզրակացության.

[f ^ {(n)} (գ) dfrac {(xa) ^ n} {n!} = f (x) -f (a) -f '(a) dfrac {(xa)} {1 !} - f '' (a) dfrac {(xa) ^ 2} {2!} - f '' '(a) dfrac {(xa) ^ 3} {3!} dots dots -f ^ {(n-2)} dfrac {(xa) ^ {(n-2)}} {(n-2)!} -f ^ {(n-1)} dfrac {(xa) ^ {(n -1)}} {(n-1)!} ]

ինչը պարզեցնում է.

[f (x) = sum_ {k = 0} ^ {n-1} f ^ {(k)} (ա) dfrac {(xa) ^ k} {k!} + f ^ {(n) } (գ) dfrac {(xa) ^ n} {n!}: ]

Ասվածն այն է, որ ցանկացած գործառույթ կարող է արտահայտվել որպես իր ((n-1) ) ածանցյալների մի շարք, յուրաքանչյուրը գնահատվում է ցանկացած կետում, (a ), գումարած իր (n ) ածանցյալը գնահատված կետ ՝ (a ) - ի և (x ) - ի միջև: Քանի որ շարքի պայմաններն են.

[f (x) = f (a) + f '(a) (xa) + f' '(a) dfrac {(xa) ^ 2} {2!} + f "» (a) dfrac {(xa) ^ 3} {3!} + կետ կետ + զ ^ {(n)} (գ) dfrac {(xa) ^ n} {n!}. ]

Պետք է ոչ միայն իմանալ (f (x) ) - ի արժեքը (f (a) ) - ում, այլ նաև (f '(a) ), (f' '(a) ), (f '' '(a) ) և այլն ... գտնելու համար (f (x) ), որտեղ (x ), այլ թիվ է, քան (a ):

Թեյլորի շարքի վերջին տերմինը փոքր-ինչ տարբերվում է նախորդ տերմիններից: Անհրաժեշտ է, որ հնարավոր լինի հաշվարկել (f ^ {(n)} (գ) dfrac {(xa) ^ n} {n!} ) (C ) - ի համար ինչ-որ տեղ (a ) և (x )

Թեթև տարբերվող ֆունկցիայի դեպքում, ինչպիսին է (f (x) = dfrac {x ^ 4} {8} ), (n ) - ի ածանցյալը միշտ հաստատուն է այնպես, որ (f ^ {(n)}) գ) ) այդ որոշակի հաստատունն է ՝ անկախ (c ) (f ^ {(n)} (c) ) –ում: Օրինակ:

[f (x) = dfrac {x ^ 4} {8}, ; f '(x) = dfrac {x ^ 3} {2}, ; f '' (x) = dfrac {3x ^ 2} {2}, ; f '' '(x) = 3x, ; f ^ {(4)} (x) = 3. ]

Այս դեպքում (f ^ {(n)} (գ) = f ^ {(4)} (x) = 3 ), որը միշտ կլինի 3 ՝ անկախ նրանից, թե ինչ եք մուտքագրում գործառույթը: Հիշեք (n ) - րդ ածանցյալը վերաբերում է ֆունկցիայի վերջին ածանցյալին:

Որպեսզի Թեյլորի սերիան (f (x) = dfrac {x ^ 4} {2} ) - ի համար գրենք կամ հաշվարկենք, նախ պետք է հաշվարկել դրա (n ) ածանցյալները, ինչը մենք արդեն արել ենք վերևում: Թեյլորի շարքը սահմանվում է որպես.

[ start {align} f (x) & = sum_ {k = 0} ^ {n-1} f ^ {(n)} (a) dfrac {(xa) ^ n} {n!} + f ^ {(n)} (c) dfrac {(xa) ^ n} {n!} f (x) & = f (a) + f '(a) dfrac {(xa)!} { 2!} + Կետ + f ^ {(4)} (գ) dfrac {(xa) ^ 4} {4!} dfrac {x ^ 4} {2} & = dfrac {a ^ 4 } {2} + 2a ^ 3 (xa) + 6a ^ 2 dfrac {(xa ^ 2)} {2!} + 12a dfrac {(xa) ^ 3} {3!} + 12 dfrac {(xa ) ^ 4} {4!}: end {align} ]

Պարզեցնելով դա մենք ստանում ենք.

[ dfrac {x ^ 4} {2} = dfrac {a ^ 4} {2} + 2a ^ 3 (xa) + 3a ^ 2 (xa) ^ 2 + 2a (xa) ^ 3 + dfrac { (xa) ^ 4} {12}: ]

(A ) - ի համար ընտրելու ամենահեշտ համարը հավանաբար 1-ն է, չնայած որ կարող եք ընտրել ցանկացած թիվ, որի համար ցանկանում եք (a ) համար, այնքան ժամանակ, քանի դեռ նրա (n ) ածանցյալները բոլորը սահմանված են (a ) ,

(A ) - ի փոխարինումը 1-ին տալիս է.

[f (x) = dfrac {x ^ 4} {2} = dfrac {1} {2} +2 (x-1) +3 (x-1) ^ 2 + 2 (x-1) ^ 3+ dfrac {(x-1) ^ 4} {2}: ]

Այժմ եկեք գնահատենք (f (x) ) ժամը (x = 6 ), օգտագործելով Թեյլորի շարքը.

[ start {align} f (6) & = dfrac {6 ^ 4} {2} = dfrac {1} {2} +2 (5) +3 (5) ^ 2 + 2 (5) ^ 3+ dfrac {(5) ^ 4} {2} & = dfrac {6 ^ 4} {2} = 0.5 + 10 + 75 + 250 + 312.5 & = dfrac {1296} {2} = 648 & = 648 end {align} ]

Տերմինների շարքի հանրագումարը ճշգրիտ համապատասխանում է. սակայն, ինչպես տեսնում եք, թույլ տարբերվող ֆունկցիայի համար Taylor Series գրելը գործնական բան չէ: Օրինակ, այս շարքում մենք պետք է վերջին տերմինով հաշվարկեինք ( dfrac {(5) ^ 4} {2} ), որպեսզի գտնեինք (f (6) ) կամ ( dfrac {(6) ^ 4} {2} ): Եթե ​​մենք ի վիճակի լինեինք հեշտությամբ հաշվարկել (5 ^ 4 ), ապա շատ ավելի հեշտ չէ՞ր գտնել (6 ^ 4 ) ուղղակիորեն ՝ առանց մի շարք հաշվարկների և գումարումների միջով անցնելու:

Պատասխանը դրական է, և այդպիսով, վերջավոր Թեյլորի շարքի կյանքը կարճատև է:


Հաշվիր գործառույթի Թեյլորի ընդլայնումը

Թեյլորի շարքի հաշվիչը թույլ է տալիս հաշվարկել ֆունկցիայի Թեյլորի ընդլայնումը:

Նկարագրություն

Առցանց Թեյլորի սերիայի հաշվիչ օգնում է որոշել Թեյլորի ընդլայնում մի կետի ֆունկցիայի: Մի կետում ֆունկցիայի Թեյլորի ընդլայնումը այդ կետի մոտ գտնվող ֆունկցիայի բազմանդամային մոտարկում է: Օգտագործված բազմանդամի մոտարկման աստիճանը Թեյլորի ընդլայնման կարգն է:

Հաշվիչը կարող է հաշվարկել ընդհանուր գործառույթների Թեյլորի ընդլայնումը:

Օրինակ ՝ 4-ի կարգի կոսինուսային գործառույթի 0-ում Թեյլորի ընդլայնումը հաշվարկելու համար պարզապես հաշվարկից հետո մուտքագրեք taylor_series_ Expansion (`cos (x) x04`), արդյունքը վերադարձվում է:

5 պատվիրելու ցուցիչ գործառույթի 0-ում dl հաշվարկելու համար պարզապես մուտքագրեք taylor_series_ Expansion (`exp (x) x05`), հաշվարկից հետո արդյունքը վերադարձվում է:

Թեյլորի ընդլայնումը «f: x-> cos (x) + sin (x) / 2» -ի 0-ի վրա հաշվարկելու համար 4-ը պատվիրելու համար պարզապես մուտքագրեք taylor_series_ Expansion (`cos (x) + sin (x) / 2x04`) հետո հաշվարկ, արդյունքը վերադարձվում է:

Թեյլորի շարքի հաշվիչը թույլ է տալիս հաշվարկել ֆունկցիայի Թեյլորի ընդլայնումը:


Թեյլորի ընդլայնում

Մեկ փոփոխական ֆունկցիան կարող է ընդլայնվել տվյալ կետի շուրջ Թեյլորի շարքի միջոցով.

Երբ փոքր է, ավելի բարձր կարգի տերմինները կարող են անտեսվել, որպեսզի գործառույթը մոտենա որպես քառակուսային ֆունկցիա

կամ նույնիսկ գծային ֆունկցիա

Բազմաբնույթ գործառույթը կարող է նաև ընդլայնվել Թեյլորի շարքերով.

որը կարող է արտահայտվել վեկտորային տեսքով ՝

որտեղ կա վեկտոր և, և, համապատասխանաբար, գրադիենտ վեկտորը և Հեսիայի մատրիցան (առաջին և երկրորդ կարգի ածանցյալներ մեկ փոփոխական դեպքում) ֆունկցիայի ՝

Եթե ​​երկրորդի ածանցյալները շարունակական են, ապա, այսինքն, սիմետրիկ է:

Երբ փոքր է (այսինքն ՝ փոքր է), ապա այն կարող է մոտավորվել քառակուսային ֆունկցիայով ՝ երրորդ կարգի սխալի տերմինով

կամ նույնիսկ երկրորդ կարգի սխալի տերմինով գծային ֆունկցիա

Բազմակողմանի գործառույթների մի ամբողջություն () կարող է արտահայտվել որպես վեկտորային գործառույթ

Ith () բաղադրիչի Թեյլորի ընդլայնումն է.

Այս բաղադրիչների առաջին երկու տերմինները կարող են գրվել վեկտորային տեսքով.

որտեղ է սահմանված Jacobian մատրիցը վեկտորի գործառույթի նկատմամբ.

Այնուամենայնիվ, 2-րդ կարգի տերմինն այլևս չի կարող արտահայտվել մատրիցայի տեսքով, քանի որ այն պահանջում է տենսորի նշում:

Նկատի ունեցեք, որ ֆունկցիայի Հեսսի մատրիցը կարելի է ստանալ որպես գրադիենտ վեկտորի Յակոբյան մատրիցա ՝

Նկատի ունեցեք, որ կարող է միշտ նույնը չլինել: Երբ, ավելի շատ հավասարումներ կան, քան փոփոխականները, խնդիրը չափազանց կաշկանդված է:


Պատկերացրեք, որ ձեզ գերի են վերցրել և դրել մութ խցում: Ձեր առևանգողները ասում են, որ դուք կարող եք վաստակել ձեր ազատությունը, բայց միայն այն դեպքում, եթե կարողանաք արտադրել մոտավոր արժեք ՝ 8.1 3 sqrt [3] <8.1> 3 8: 1

, Դրանից ավելի վատ ՝ ձեր մոտավորությունը պետք է ճիշտ լինի հինգ տասնորդականի վրա: Նույնիսկ առանց ձեր խցում հաշվիչ, դուք կարող եք օգտագործել Taylor շարքի առաջին մի քանի պայմաններ x 3 sqrt [3] 3 x

Մենք, անշուշտ, չենք կարողանա հաշվել անսահման թվով տերմիններ Թեյլորի շարքի ընդլայնման մեջ գործառույթի համար: Այնուամենայնիվ, քանի որ ավելի շատ տերմիններ են հաշվարկվում ֆունկցիայի Թեյլորի շարքի ընդլայնման մեջ, այդ գործառույթի մոտավորությունը բարելավվում է:


Եռանկյունաչափական գործառույթներ

Կրկին մենք սահմանափակում ենք մեր դիտարկումը այսպես կոչված Maclaurin շարքի վրա: Հիշեցնենք, որ այն & # 8217 թ. Թեյլորի շարքը գրված է x = x_0 կետի հարևանությամբ:

Կոսինուսային ֆունկցիա

Սկզբում ածանցյալներ են պետք: Տեսնենք.

Այսպիսով, 4-րդ քայլին մենք ստանում ենք նախնական գործառույթ և հետևաբար հետագայում կստանանք ածանցյալ գործիքներ նույն հաջորդականությամբ:

Այժմ, մենք պետք է ածանցյալներ գտնենք x_0 = 0 կետում:

Այսպիսով, մենք ունենք ածանցյալների արժեքներ հետևյալ հաջորդականությամբ. 0, -1,0,1 և այլն: Ուստի x- ի տարօրինակ ուժերը բացակայում են, քանի որ դրանց կողքին կան զրոներ: Բացի դրանից, նույնիսկ ուժերից առաջ նշանները փոխարինվում են ՝ սկսած -, ապա +, ապա - և այլն: Եկեք այս ամենը փոխարինենք ընդհանուր բանաձևով.

Հաջորդ գրաֆիկի վրա մենք կարող ենք տեսնել f (x) = cos գործառույթը և դրա մոտավորությունները բազմանդամներով ըստ n = 0, n = 1 և n = 2:

Սինուսի գործառույթ

Այժմ եկեք քննարկենք սինուսի գործառույթը.

Սինուսի ընդլայնումը Թեյլորի շարքում նման է կոսինուսին: Սկզբում ածանցյալներ ենք գտնում x_0 = 0 կետում: Տեսնենք.

Կրկին, 4-րդ քայլին մենք ստանում ենք նախնական գործառույթ և հետևաբար հետագայում կստանանք ածանցյալ գործիքներ նույն հաջորդականությամբ: Այսպիսով, մենք ունենք ածանցյալների արժեքներ հետևյալ հաջորդականությամբ. 1,0, -1,0 և այլն: Այս անգամ նույնիսկ x ուժերը բացակայում են, քանի որ զրոները կանգնած են համապատասխան տերմինների կողքին: Բացի այդ, x- ի տարօրինակ ուժերի առջև նշաններ են փոխարինվում `սկսած + -ից, ապա -, ապա + և այլն: Եկեք փոխարինենք դրանք ընդհանուր բանաձևով.

Այստեղ և # 8217s f (x) = sin գործառույթի գրաֆիկը և դրա մոտավորությունները բազմանդամներով ըստ n = 0, n = 1 և n = 2:

Հետևյալ ընդլայնումները արժե անգիր անել.

Կա եւս երկու ընդլայնում, որոնք լայնորեն կիրառվում են, և դուք կարող եք բանաձևերը ձեռք բերել ինքնուրույն ՝

Սա բավարար է խնդիրները լուծելու համար, չնայած անհրաժեշտության դեպքում ստուգեք ընդհանուր գործառույթների ավելի շատ ընդլայնումներ:


Օրինակ ՝ «անհնար» ինտեգրալների մոտավորացում

Գործնական աշխատանքներում շատ մարդիկ սովորություն են ունենում օգտագործել «հիմնական կանոնը» այն մասին, որ շարք կրճատելու թվային սխալը մոտավորապես այնքան մեծ է, որքան անտեսված առաջին տերմինը: Այս օրինակի մեր առաջին փորձից այդ տերմինը անբաժանելի էր x 4/24, որն ի հայտ եկավ 1/216 = 0.00463 (պակաս, քան պահանջվող հանդուրժողականությունը 0.01) Ուշադրություն դարձրեք, որ այն ավելի փոքր է, քան գործոնով կապված խիստ սխալը ե, Եթե ​​ինտեգրման վերին սահմանը շատ ավելի մեծ լիներ, քան 1, լրացուցիչ գործոնը ե գ կարող էր շատ մեծ լինել! Այդ իսկ պատճառով նախնական կանոնը կարող է վտանգավոր լինել, եթե անզգուշորեն օգտագործվի:

Որոշակի հատուկ հանգամանքներում, սակայն, ընդունված կանոնը ճիշտ է: Դա այն դեպքում, երբ Թեյլորի շարքը բավարարում է «փոխարինող շարքի գնահատման թեորեմը» (Stewart, էջ 632), որն Stewart- ն օգտագործում է այս տեսակի խնդիրները լուծելու համար: Օրինակ, եթե լիներ մեր օրինակի ինտեգրման մեջ ցուցիչը -x 2 (իրականում ավելի օգտակար ինտեգրալ, հավանականության հետ կապի պատճառով) մենք կունենայինք Stewart- ի օրինակ 8, էջ 660-661:


Բովանդակություն

Հույն հույն փիլիսոփա Eleենոն Ելեայից առաջինը եկել է այս շարքի գաղափարը: Արդյունքը «զենոյի պարոդոքս» կոչվող պարադոքսն է, ով կարծում էր, որ անհնար կլինի ավելացնել անսահման թվով արժեքներ և արդյունքում ստանալ մեկ վերջավոր արժեք:

Մեկ այլ հույն փիլիսոփա ՝ Արիստոտելը, գտավ փիլիսոփայական հարցի պատասխանը: Սակայն Արքիմեդն է եկել մաթեմատիկական լուծման ՝ օգտագործելով իր հյուծման մեթոդը: Նա կարողացավ ապացուցել, որ երբ ինչ-որ բան բաժանվում է անսահման թվով փոքրիկ կտորների, դրանք դեռ կավելանան մեկ ընդհանուրի, երբ բոլորը միացվեն միասին: [1] Հին չինացի մաթեմատիկոս Լյու Հուին նույն բանը ապացուցեց մի քանի հարյուր տարի անց: [2]

Թեյլորի շարքի ամենավաղ հայտնի օրինակները 1300-ական թվականներին Հնդկաստանում գտնվող Սաղգամագրամայի Մահդավայի աշխատանքն է: [3] Հետագայում հնդիկ մաթեմատիկոսները գրեցին նրա աշխատանքի մասին ՝ սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և արկտանկտի եռանկյունաչափական գործառույթները: Մահդավայի ոչ մի գրություն կամ գրառում դեռ գոյություն չունի այսօր: Այլ մաթեմատիկոսներ իրենց աշխատանքը հիմնեցին Մոդադավայի հայտնագործությունների վրա և ավելի շատ աշխատեցին այս շարքերի հետ մինչև 1500-ականները:

1600-ականներին այս տարածքում աշխատել է շոտլանդացի մաթեմատիկոս Jamesեյմս Գրեգորին: Գրեգորին ուսումնասիրել է Թեյլորի շարքերը և հրատարակել մի քանի Maclaurin շարք: 1715 թվականին Բրուք Թեյլորը հայտնաբերեց շարքը բոլոր գործառույթների վրա կիրառելու ընդհանուր մեթոդ: (Նախորդ բոլոր հետազոտությունները ցույց տվեցին, թե ինչպես կարելի է մեթոդը կիրառել միայն հատուկ գործառույթների վրա): [4] Քոլին Մակլաուրինը 1700-ականներին հրապարակեց Թեյլորի շարքի հատուկ դեպք: Այս շարքը, որը հիմնված է զրոյի շուրջ, կոչվում է Maclaurin շարք.

Թեյլորի շարքը կարող է օգտագործվել ցանկացած գործառույթ նկարագրելու համար ƒ(x), որը սահուն ֆունկցիա է (կամ, մաթեմատիկական իմաստով, «անսահման տարբերվող»): Ֆունկցիան ƒ կարող է լինել կամ իրական, կամ բարդ: Դրանից հետո Թեյլորի շարքը օգտագործվում է նկարագրելու համար, թե ինչպիսի տեսք ունի ֆունկցիան որոշ թվերի հարևանությամբ ա.

Այս Թեյլորի շարքը, որը գրվել է որպես էներգաբլոկ, նման է.

Այս բանաձևը կարող է նաև գրվել սիգմայի նոտագրության մեջ ՝

Ահա այստեղ ն! գործոնն է ն. ƒ (ն) (ա) է նրդ ածանցյալը ƒ կետում ա, a < displaystyle a> - ը գործառույթի տիրույթում գտնվող թիվ է: Եթե ​​ֆունկցիայի Թեյլորի շարքը հավասար է այդ գործառույթին, ապա ֆունկցիան կոչվում է «վերլուծական ֆունկցիա»:


Թեյլորի շարքի ընդլայնումը հիշելու հեշտ միջոց

Թեյլորի ընդլայնումը մաթեմատիկայի ամենագեղեցիկ գաղափարներից մեկն է: Ինտուիցիան պարզ է. Գործառույթների մեծ մասը սահուն է մեզ հետաքրքրող տիրույթներում: Եվ բազմանդամները նույնպես հարթ են: Այսպիսով, յուրաքանչյուր սահուն գործառույթի համար մենք պետք է կարողանանք գրել բազմանդամ, որը դրան լավ է մոտեցնում:

Եվ իրականում, եթե մեր բազմանդամը բավականաչափ տերմիններ պարունակի, ապա դա ճշգրտորեն հավասար կլինի սկզբնական գործառույթին: Քանի որ բազմանդամների հետ աշխատելը ավելի հեշտ է, քան գրեթե ցանկացած այլ գործառույթ, դա սովորաբար դժվար խնդիրները վերածում է հեշտերի:

Taylor fo r mula- ն բանալին է: Այն մեզ տալիս է հավասարություն բազմանդամի ընդլայնման համար ամեն հարթ գործառույթ f. Այնուամենայնիվ, չնայած դրա ինտուիցիան պարզ է, իրական բանաձևը ՝ ոչ: Դա կարող է բավականին վախեցնող լինել սկսնակների համար, և նույնիսկ մասնագետները դժվարանում են հիշել, եթե նրանք որոշ ժամանակ չեն տեսել:

Այս գրառման մեջ ես կբացատրեմ մի արագ և հեշտ հնարք, որը ես օգտագործում եմ Թեյլորի բանաձևը զրոյից վերստին բերելու համար, երբ դա հիշելու խնդիր ունենամ:

Սկսած Քերծվածքից

Թեյլորի ընդլայնման գաղափարը այն է, որ մենք կարող ենք յուրաքանչյուր սահուն գործառույթ վերաշարադրել որպես բազմանդամ տերմինների անսահման գումար: Առաջին քայլը հետևյալն է ՝ գրել ընդհանուր 9-րդ աստիճանի բազմանդամ: Ահա այն:

Որտեղ a0, a1,… գործակիցներ են յուրաքանչյուր բազմանդամ տերմինի վրա, և c- ն հաստատուն է, որը ներկայացնում է, որտեղ x առանցքի երկայնքով ուզում ենք սկսել մեր մոտավորումը (եթե մեզ չի հետաքրքրում, թե որտեղ ենք սկսում, պարզապես թող c = 0, որը տեխնիկապես ավելի շուտ հայտնի է որպես Մակլաուրին, քան Թեյլոր): Այս շարքը, որը հայտնի է որպես «ուժային սերիա», կարող է գրվել փակ ձևով, որպես հետևյալը.

Այստեղ նպատակն է գտնել այդ հավասարում a0, a1, the գործակիցները գտնելու խելացի միջոց ՝ հաշվի առնելով որոշ ֆունկցիա և c սկզբնական արժեք: Ահա դա անելու տրամաբանությունը: Բազմանդամները հարթ են, ուստի երաշխավորում են, որ դրանք տարբերելի են: Այսինքն, մենք կարող ենք հաշվարկել դրանց առաջին, երկրորդ, երրորդ և այլն ածանցյալները:

Այսպիսով, վերևում գտնվող մեր բազմանդամից սկսած, եկեք վերցնենք դրա առաջին մի քանի ածանցյալները ՝


Ավելին մասին

Թեյլորի շարքի ընդլայնում

Թեյլորի շարքի ընդլայնումը ներկայացնում է վերլուծական գործառույթ զ(x) որպես ընդարձակման կետի շուրջ տերմինների անսահման գումար x = ա :

f (x) = f (a) + f ′ (a) 1! (x - ա) + f ″ (ա) 2! (x - ա) 2 +… = ∑ մ = 0 & # 8734 զ (մ) (ա) մ! ⋅ (x - ա) մ

Թեյլորի շարքի ընդլայնումը պահանջում է գործառույթ ունենալ ընդարձակման կետի շուրջ ածանցյալներ մինչև անսահման կարգ:

Maclaurin շարքի ընդլայնում

Թեյլորի շարքի ընդլայնում շուրջ x = 0-ը կոչվում է Maclaurin շարքի ընդլայնում.

f (x) = f (0) + f ′ (0) 1! x + f ″ (0) 2! x 2 +… = ∑ մ = 0 & # 8734 զ (մ) (0) մ! x մ

Եթե ​​ընդլայնման կետը նշելու համար օգտագործում եք և՛ երրորդ փաստարկը, և՛՛ ExpansionPoint- ը, ապա ExpansionPoint- ի միջոցով նշված արժեքը գերակշռում է:

Եթե ​​var- ը վեկտոր է, ապա a- ի ընդլայնման կետը պետք է լինի scalar կամ նույն երկարության վեկտորը, ինչ var- ը: Եթե ​​var- ը վեկտոր է, իսկ a- ն `scalar, ապա a- ն ընդլայնվում է նույն երկարության վեկտորի, ինչ var- ն` a- ի հավասար բոլոր տարրերով:

Եթե ​​ընդլայնման կետը անվերջություն է կամ բացասական անվերջություն, ապա Թեյլորը հաշվարկում է Լորանի շարքի ընդլայնումը, որը հոսանքի շարք է 1 / var- ում:

Դուք կարող եք օգտագործել sympref գործառույթը `խորհրդանշական բազմանդամների ելքային կարգը փոփոխելու համար:


Դիտեք տեսանյութը: Lecture 11. Integrals u0026 Taylor Series (Հոկտեմբեր 2021).